Фундаментальная группа. Конечные поля
СОДЕРЖАНИЕ: Конечные поля Цель работы: Изучить конструкцию и простейшие свойства конечных полей. В частности, изучить на примерах конечных полей понятие степени расширения, конструкцию и однозначную определенность поля разложения, простые поля, понятие примитивного элемента, строение конечной, мультипликативной подгруппы поля.Конечные поля
Цель работы: Изучить конструкцию и простейшие свойства конечных полей. В частности, изучить на примерах конечных полей понятие степени расширения, конструкцию и однозначную определенность поля разложения, простые поля, понятие примитивного элемента, строение конечной, мультипликативной подгруппы поля. Познакомиться с арифметикой конечных полей. Решить упражнение.
Докажем, что многочлен
неприводим над
.
.
Корней нет. = Многочлен неприводим.
Построим расширение поля 
степени 
. Пусть 
– корень 
, т.е.
,
тогда 
Получим 
: 
.
расширение степени 3.
Разделим
.
.=
Cоставим систему:
= 
Пусть 
, тогда 
= 
При =3 = 
=2
Отсюда получаем, что
следовательно 
. Если q порождает 
– то, он примитивный. Найдем порядок 
. Так как порядок элемента делит порядок группы, порядок может быть 2, 4, 31, 62, 124.
.
Элемент – не является примитивным элементом
GF
(125), т.к не выполняются условия.
Программа, проверяющая, будет ли примитивным элементом поля 
.
TForm1 *Form1;
class Polynom
{ public:
int *coef;
int deg;
Polynom();
Polynom(char *);
Polynom(int);
Polynom(Polynom *);
~Polynom();
Polynom operator =(string);
Polynom *operator *(Polynom *);
Polynom operator /(Polynom);
Polynom *operator %(Polynom *);
int operator [](int);
void operator ++();
bool operator (Polynom *);
bool operator ==(Polynom *);
Polynom *norm();
int coef_count();
char *print();
};
Polynom :: Polynom()
{ coef = new int[1];
coef[0] = 0;
deg = 0;
}
Polynom *Polynom :: norm()
{ int f = 0;
for(int i = 0; i = deg; i++)
if( coef[i] != 0 )
{ f = i;
break;
}
int deg_tmp = deg - f;
Polynom *tmp = new Polynom(deg_tmp+1);
for(int i = f; i = deg; i++)
tmp-coef[i-f] = coef[i];
return tmp;
}
Polynom :: Polynom(char *str)
{ deg = strlen(str)-1;
coef = new int[deg+1];
for(int i = 0; i = deg; i++)
coef[i] = str[i] - 48;
}
Polynom :: Polynom(int d)
{ deg = d-1;
coef = new int[d];
for(int i = 0; i = deg; i++)
coef[i] = 0;
}
Polynom :: Polynom(Polynom *p)
{ coef = p-coef;
deg = p-deg;
}
Polynom :: ~Polynom()
{ delete coef;
}
int Polynom :: operator[](int it)
{ return ( coef[it] );
}
int Polynom :: coef_count()
{ int count = 0;
for(int i = 0; i = deg; i++)
{ if( coef[i] 0 )
count++;
}
return count;
}
Polynom *Polynom :: operator*(Polynom *B)
{ Polynom *A = this;
Polynom *C = new Polynom(A-deg + B-deg + 1);
for(int i = A-deg; i = 0; i--)
{ for(int j = B-deg; j = 0; j--)
{ C-coef[i+j] += A-coef[i] * B-coef[j];
C-coef[i+j] %= 5;
}
}
return C;
}
bool Polynom :: operator (Polynom *b)
{ if( deg b-deg )
return true;
else
return false;
}
bool Polynom :: operator ==(Polynom *B)
{ Polynom *A = this;
if( A-deg != B-deg )
return false;
for(int i = 0; i = A-deg; i++)
if( A-coef[i] != B-coef[i] )
return false;
return true;
}
int obr(int a)
{ a = 5 - a;
a %= 5;
return a;
}
Polynom *Polynom :: operator %(Polynom *B)
{ Polynom *tmp = this;
if( tmp-deg B-deg )
{ return tmp;
}
for(int i = 0; i = B-deg-tmp-deg; i++)
if(tmp-coef[i] = 1)
{ int tmp_coef = tmp-coef[i];
tmp-coef[i] = 0;
for(int j = 1; j = B-deg; j++)
{ tmp-coef[j] += obr(B-coef[j])*tmp_coef;
tmp-coef[j] %= 5;
}
}
tmp = tmp-norm();
return tmp;
}
void Polynom :: operator++()
{ bool flag = false;
for(int i = deg; i = 0; i--)
{ coef[i]++;
coef[i] %= 5;
if( coef[i] == 0 )
{ flag = true;
}
else
flag = false;
if( flag == false )
break;
}
if( flag )
{ int *tmp = new int[deg+2];
tmp[0] = 1;
for(int i = 1; i = deg+1; i++)
{ tmp[i] = coef[i-1];
}
coef = tmp;
deg = deg+1;
}
}
char *Polynom :: print()
{ char *s = new char[deg*3+(deg-1)*3 + deg*3 + deg*3];
int i = 0, f = 0;
s[0] = 0;
while ( i = deg )
{ if (coef[i])
{ if(f)
strcat(s, + );
f = 1;
switch(deg-i)
{ case 0:
wsprintfA(s, %s%d, s, coef[i]);
break;
case 1:
if( coef[i] == 1 )
wsprintfA(s, %sq, s);
else
wsprintfA(s, %s%d*q, s, coef[i]);
break;
default:
if( coef[i] == 1)
wsprintfA(s, %sq^%d, s, deg-i);
else
wsprintfA(s, %s%d*q^%d, s, coef[i], deg-i);
};
}
i++;
}
if(!f)
strcat(s, 0);
return s;
}
bool TestPrimitive(Polynom *poly, Polynom *irr)
{ Polynom *tmp = poly;
Polynom *one = new Polynom(1);
for(int i = 2; i pow((double)5, irr-deg); i++)
{ poly = (*poly) * tmp;
poly = (*poly) % irr;
Form1-Memo1-Text = Form1-Memo1-Text + q^ + i + = + ;
Form1-Memo1-Text = Form1-Memo1-Text + poly-print();
Form1-Memo1-Lines-Add();
if( *poly == one i != pow((double)5, irr-deg)-1 )
{
Form1-Memo1-Text = Form1-Memo1-Text + i;
Form1-Memo1-Lines-Add();
return false;
}
}
return true;
}
Polynom *DecToBin(int q)
{ string m = ;
int a;
do
{ if( q % 2 == 0 )
m += 0;
else
m += 1;
q /= 2;
} while( q != 0 );
Polynom *poly = new Polynom(m.size());
for(int i = 0; i m.size(); i++)
poly-coef[i] = m[m.size()-i-1] + 48;
return poly;
}
Polynom *FindPrimitiveElement(Polynom *irr)
{ Polynom *test = new Polynom(4);
while( test-deg = irr-deg )
{
(*test)++;
Form1-Memo1-Text = Form1-Memo1-Text + q^ + 1 + = + ;
Form1-Memo1-Text = Form1-Memo1-Text + test-print();
Form1-Memo1-Lines-Add();
if( TestPrimitive(test, irr) )
break;
}
return test;
}
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
: TForm(Owner)
{
}
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{ Polynom *IrrPoly = new Polynom(LabeledEdit1-Text.c_str()); // Считываем многочлен
Memo1-Text = Memo1-Text + Неприводимый многочлен: + IrrPoly-print(); // Вывожу
Memo1-Lines-Add();
Polynom *prim = FindPrimitiveElement(IrrPoly); // Находимпримитивныйэлементполя
LabeledEdit2-Text = prim-print(); Результаты выполнения программы:
Фундаментальная группа
Цель работы: изучить определение и свойства фундаментальной группы топологического пространства. Познакомиться с понятием клеточного комплекса, со способом построения клеточного комплекса путем последовательного приклеивания клеток. Научиться задавать группы с помощью образующих и их соотношений (т. е. с помощью копредставлений) и распознавать группы по их копредставлениям. Научиться применять алгоритм вычисления фундаментальной группы клеточного комплекса.
Список групп-эталонов:
1. Циклические группы:
x
/
=
1,
x
–
любое
2. Бинарные группы диэдра:
= x, y /
=
=
, n 2
3. Бинарные группы тетраэдра и октаэдра:
= x, y /
=
=
,
, n =
1, 2
4. Группы вида:
= x
,
y
/
, k
2,
5. Прямые произведения вышеуказанных групп на циклические.
Во всех случаях индекс внизу показывает число элементов групп.
 |
На рисунке условно изображен двумерный клеточный комплекс, т.е. топологическое пространство, получающееся приклеиванием нескольких двумерных клеток (дисков) к одномерному комплексу (графу). Рисунок нужно понимать так: каждая «деталь» вида символизирует вершину графа, каждая склейка «отростков» вида
1. – ребро. Например, рисунок А символизирует граф на рисунке В. 
Далее требуется получить копредставление фундаментальной группы, для этого проделаем следующее:
1) По очереди разрезаем рёбра графа, обозначая их буквами и указывая направления до тех пор, пока не получится дерево (связанный граф без циклов), см. рис. ниже. Эти буквы будут служить образующими группы:
2) Выписываем соотношения (слова), которые показывают, как кривые проходят по разрезанным рёбрам. Эти соотношения таковы: 1. 
2. 
=1 3. 
=1 4. 
=1 5. 
=1 6. 
=1 3)Приводим выписанное копредставление к копредставлению одной из эталонных групп.
Введём
В итоге получается
, а именно
