Геометрические векторы
СОДЕРЖАНИЕ: Основные определения геометрических векторов. Понятие коллинеарных и равных векторов. Простейшие операции над векторами, их проекция на ось. Понятие угла между векторами. Отсчет угла против часовой стрелки, положительная и отрицательная проекция.Дисциплина: Высшая математика
Тема: Геометрические векторы
1. Геометрические векторы. Основные определения
В математике, физике, теоретической механике приходится иметь дело с величинами двух типов: одни имеют чисто числовой характер; другие же имеют не только числовую характеристику, но и связаны с понятием о направлении в пространстве. Рассмотрим, например, температуру, массу, энергию, скорость, ускорение, силу. Отличие последних трех величин от первых трех состоит в том, что с ними должно быть связано понятие о направлении. Первые три величины, не связанные с понятием о направлении, называются скалярами. Остальные три величины, имеющие определенное направление, называются векторами.
Так, при измерении температуры, мы получим положительное или отрицательное число, характеризующее ее величину в градусах. Точно так же можно измерить массу, энергию.
Определение 1. Скаляром называется величина, характеризующаяся только числом.
Следовательно, скаляры - это обычные числа, и различие между двумя одинаковыми числами может заключаться лишь в их размерности (м и см, м и кг).
Если необходимо измерить такую величину, как скорость точки, то для этого знать два числа (путь и время) недостаточно. Необходимо еще знать, куда двигается точка, то есть ее направление движения.
Определение 2. Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
Следовательно, утверждать, что если обе точки движутся со скоростью 2 
, то их скорости равны, нет никакого основания. Необходимо знать в какие стороны они двигаются.
Из сказанного следует, что для описания скаляра достаточно написать число и указать его размерность. Для описания векторной величины используют направленные отрезки, длина которых при выбранном масштабе соответствует величине вектора, а направление - совпадает с направлением векторной величины. В дальнейшем эти отрезки и будем называть геометрическими векторами.
При изображении вектора одна точка, ограничивающая вектор, называется началом, а вторая - концом вектора. В конце вектора ставится стрелка. Для краткой записи вектор можно обозначить с помощью двух букв 
(первая соответствует началу, вторая - концу) или же одной буквы 
(здесь начало и конец не обозначены).
 |
Определение 3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается 
или 
.
Определение 4. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется ноль вектором и обозначается 
.
Определение 5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение 6. Два вектора и 
называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.
Записывается это так 
.
Из определения 6 следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом каждый новый вектор будет равен исходному.
Однако следует отметить, что все сказанное выше связано с так называемыми свободными векторами. Кроме них существуют еще передвижные и определенные векторы. У свободных векторов точку приложения можно выбирать где угодно. У передвижных - точку приложения можно перемещать вдоль самого вектора (например, сила, приложенная к твердому телу). У определенных векторов точка приложения должна быть зафиксирована (например, сила, действующая на жидкость). Но изучение всех векторов можно, в конечном счете, свести к изучению свободных векторов, поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только ими.
2. Простейшие операции над векторами
К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.
1) Сложение векторов.
Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов и 
, необходимо конец вектора совместить с началом . Вектор 
, соединяющий точки 
и 
, будет их суммой.
 |
Обозначается сума следующим образом: 
. Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов и совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.
 |
Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством
.
Если слагаемых больше, например, три: 
, поступают следующим образом. Строят вначале сумму 
, а затем, прибавляя 
, получают вектор 
.
 |
Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале 
, а затем прибавить , то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством:
.
Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору . Очевидно, 
.
2) Разность векторов.
Определение 2. Разностью двух векторов и называется такой вектор 
, сумма которого с вычитаемым дает вектор .
Значит, если 
, то 
.
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы 
и 
. Вектор 
соединяет концы векторов 
и и направлен от вычитаемого к уменьшаемому.
Видно, что если на векторах и построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.
3) Умножение вектора на число.
Определение 3. Произведением вектора на число 
называется вектор 
, определенный следующими условиями:
1) 
;
2) вектор коллинеарен вектору ;
3) векторы и направлены одинаково, если 
, и противоположно, если 
.
Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор 
можно рассматривать как результат умножения вектора на 
. Отсюда,
.
Из определения 3 следует, что если 
, то векторы и коллинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.
Определение 4. Любые два вектора и коллинеарны, если связаны соотношением , где - некоторое число.
Величину можно определить из отношения 
. Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.
Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:
; 
и сочетательным свойством
.
Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Обозначаются единичные векторы символами 
или 
.
Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом: 
.
3. Проекция вектора на ось
В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие угла между векторами.
Определение 1. Углом между векторами и называется наименьший угол 
, на который надо повернуть один из векторов до совмещения со вторым.
 |
Положительным считается отсчет угла против часовой стрелки.
Пусть необходимо найти проекцию вектора 
на ось 
. Выберем на оси начало отсчета 0 и масштаб. Совместим с началом отсчета единичный вектор 
. Тогда угол между 
и осью 
будет равен углу 
между 
и . Спроецируем начало и конец вектора на ось . Тогда длина отрезка 
, а 
. Длина же проекции вектора :
.
 |
Рис. 1
Определение 2. Проекцией вектора 
на ось 
называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось 
.
Очевидно, что если - острый угол, проекция положительна; если - тупой угол, то отрицательна; если 
, то проекция равна нулю.
Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ними:
.
Доказательство теоремы вытекает из Рис. 1.
Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство. Пусть 
. Обозначим проекцию точки 
через 
, точки 
- через 
, точки 
- через 
.
 |
Тогда
; 
; 
.
Но
.
Теорема 3. Если вектор умножить на число 
, то его проекция на ось умножится на то же число.
Докажем для случая 
:
.
Если 
, то
.
Литература
1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.
2. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
3. Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004. - 400c.
4. Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.