Интеграл Пуассона
СОДЕРЖАНИЕ: Пусть –суммируемые на - периодические, комплекснозначные функции. Через.
Пусть ¦(x ) , g (x ),x R1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку
f
*
g(x)
=
dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и
cn ( f*g ) = cn ( f ) cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где {cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn
= 
-i n t
dt
, n = 0, ±1,±2,
Пусть ¦L1 (-p,p) . Рассмотрим при 0r 1 функцию
¦r
( x ) = 
n
( f ) r|
n
|
ei n x
, x [-p,p] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0r 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х)равны
cn
( fr
) = cn
r|
n
|
, n = 0 , ±1,±2,, а это согласно (1) значит, что ¦r
( x ) можно представить в виде свертки :
¦r
( x ) = 
, ( 3 )
где
, t [-p,p]. ( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 r1 , t [-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr
( t ) = 
, 0r 1, t [-p,p] . ( 5 )
Если ¦ L1 ( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = `cn ( f ) , n = 0,±1,±2,,из соотношения (2) мы получим :
fr
( x ) = 
=
, ( 6 )
где
F ( z ) = c0
( f ) + 2 
( z = reix
) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦L1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 r 1 , x [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = 
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |1+e(e0)функция и ¦ (x) = u (eix ) , x[-p, p] . Тогда
u (z) = 
( z = reix
, | z |1 ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=
, | z |1+ e .
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x ) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) 
;
б) 
;
в) для любого d0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции 
( -p, p ) , 1 p , имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции 
, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного e0 найдем d = d (e) такое, что 
. Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий максимальная функция и оператор слабого типа, которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция 
суммируема на любом интервале (-А, А), А 0 . Максимальной функцией для функции 
называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор 
называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из 
. Тогда
для п.в. 
.
Доказательство.
Покажем, что для и 
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*] . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть 
- такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора 
, найдем такую последовательность функций 
,что
,
( 14 )
для п.в. 
.
Согласно (13) при x (-2p,2p)
Учитывая , что по теореме 1 
для каждого x [-p,p] и (14)
Из последней оценки получим
при n®.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [-p,p] 
, когда точка reit
стремится к eix
по некасательному к окружности 
пути.
[*]
Мы считаем , что f (x)
продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y)
, если x,y
[-2p,2p] иx-y=2
p
) и f (x) = 0
, если |x
|2p.