Интересные примеры в метрических пространствах
СОДЕРЖАНИЕ: В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб.1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную 
-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1 =(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2 =(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn =(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (nm) равно 2. Поэтому последовательность {еi } и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e2/2.
Рассмотрим в l2 множество П точек
x=(x1 , x2 , , xn , ...),
удовлетворяющих условиям:
| x1 |1, | x2 |1/2, ,| xn |1/2n -1 , ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2 . Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.
Пусть e0 задано. Выберем n так, что 1/2n -1 e/2. Каждой точке x=(x1 , x2 , , xn , ...)
из П сопоставим точку x*=(x1 , x2 , , xn , 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
r(x,x*)=
1/2n
-1
e/2.
Множество П* точек вида x*=(x1 , x2 , , xn , 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.
Доказательство: для e0, выберем n так, что 1/2n -1 e/2.
xП: x=(x1 , x2 , , xn , ...) сопоставим
x*=(x1 , x2 , , xn , 0, 0, ...) и x*П. При этом r(x,x*)e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)e/2.
Тогда: r(x,x**)r(x,x*)+r(x*,x**)e/2+e/2=e.
Множество П* содержит точки вида x*=(x1 , x2 , , xn , 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)e.