Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
СОДЕРЖАНИЕ: В настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования, единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений с начальным условием.Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В работе автора [1] предложена математическая модель, описывающая динамику численности некоторых популяций с ограниченным временем жизни особей. Модель представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений
с начальным условием
где 
, а оператор 
имеет вид 
, 
.
В настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования, единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений (1) с начальным условием (2). Рассмотрены также достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения, которые применяются к исследованию вопроса о вырождении популяций. Для изучения поведения решений используются принцип сжимающих отображений, монотонный метод [2, с. 43] и свойства М - матриц [3, с. 132].
2. Основные результаты
Введем некоторые обозначения.Пусть 
- длина вектора 
, 
- норма матрицы A = ( ai j ), [4, с. 196], A+ - матрица, составленная из элементов 
, Rm+ - множество векторов с неотрицательными компонентами. Если , то запись u0 означает, что ui0 при всех 
. Неравенства между векторами из Rm понимаются как неравенства между их комнонентами. Для фиксированного T0 под C+T будем понимать пространство неотрицательных непрерывных на отрезке [0,T] функций 
с нормой 
, где K0 - некоторая константа, [2, с. 11]. В системе (1) 
, при 
под 
понимается правосторонняя производная. Далее, 
, 
, 
, 
, 
. Функции 
предполагаются непрерывными в своих областях определения.
От системы уравнений (1) с начальным условием (2) перейдем к эквивалентной системе интегральных уравнений вида
где (Fx)(t) =
Здесь 
при 
, h(t) = 0 при 
, 
- отрезок интегрирования, 
. Примем в дальнейшем, что выполнено следующее предположение :
H) элементы матрицы 
определены, непрерывны и ограничены, 
; функции 
удовлетворяют условию Липшица 
, , 
, где D - некоторое выпуклое подмножество Rm+.
Пусть M1 и M2 такие постоянные, что 
, 
, . Зададим матрицы A,B,Q по формулам : 
, где 
при 
и 
при 
, 
, Q = I - A B, I - единичная матрица. Положим
(Lx)(t) =
где 
. Тогда 
и для всех 
таких, что 
, верно неравенство 
.
Теорема 1. Пусть предположение H) выполняется на множестве D = Rm+. Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное решение x=x(t), определенное на 
, и справедливы оценки 
, где 
.
Теорема 2. Пусть предположение H) выполняется на некотором прямоугольнике 
и существует 
, такой, что 
. Тогда система уравнений (3) имеет единственное непрерывное, ограниченное решение x=x(t), определенное на 
, и справедливы оценки 
.
Теорема 3. Пусть предположение H) выполняется либо на множестве D = Rm+, либо на некотором прямоугольнике D = D0. Пусть, кроме того, f(0) = 0 и Q является невырожденной М - матрицей. Тогда система уравнений (1) имеет нулевое решение x(t) = 0, которое является экспоненциально устойчивым, иначе для всех 
верно 
, где 
.
Приведем краткую схему доказательства этих теорем. В условиях теоремы 1 будем искать функцию w(t), удовлетворяющую неравенствам 
. Выберем 
. Используя оценку 
, приходим к неравенству 
, где 
, 
. Имеем, что при 
(поэлементно). Единичная матрица I является невырожденной М - матрицей. В силу непрерывной зависимости найдется такое a00, что (I - A0(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М - матриц, получаем, что существует 
, такой, что верно неравенство 
. Отсюда следует, что 
при всех . Зафиксируем T0 и обозначим через CwT множество всех функций , удовлетворяющих неравенству 
. Тогда из неравенств 
следует, что 
. Пусть множество 
. Для всех 
верно, что 
, где 
, 
, 
. Полагая 
, получаем, что отображение F является сжимающим. При доказательстве теоремы 2 функция w(t) ищется в виде w(t) = b0, где . Если существует , такой, что , то 
и является сжимающим отображением на CwT. Используя далее принцип сжимающих отображений, убеждаемся в справедливости утверждений теорем 1 и 2.
Для доказательства теоремы 3 строится оценка на решение 
, где 
, функция w(t) такова, что 
. Эти неравенства будут выполнены, если 
, где 
, 
при 
при 
. Матрица (I - A1(a) B) непрерывно зависит от a и 
(поэлементно) при 
. Так как Q является невырожденной М - матрицей, то найдется a = a0 0 такой, что (I - A1(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М - матриц, можно показать, что существуют 
и 
такие, что выполняется неравенство . В итоге получаем, что справедливы оценки на решение 
.
3. Заключение
Установленные выше результаты указывают на корректность применения представленной модели в целях описания динамики численности популяций. Это связано с тем, что решения модели обладают такими важными свойствами, как существование, единственность, неотрицательность и ограниченность, которые соответствуют смыслу моделируемых процессов.
Важным следствием теоремы 3 являются достаточные условия, при которых популяция вырождается, т.е. ее численность x(t) такова, что 
при 
. Предположение H) задает ограничения на интенсивности процессов рождения и гибели особей, тогда как условие f(0) = 0 означает, что нет внешних источников поступления новых особей. Заметим, в частности, что предположение H) и условие f(0) = 0 выполняются для линейных процессов рождения и гибели особей. В нелинейном случае этому предположению и условию удовлетворяют f(x) и 
, заданные в виде некоторых многочленов, рациональных функций либо функций с непрерывными частными производными. Функции такого вида широко используются в моделях биологических процессов, см., например, [5,6].
Нетрудно показать, что матрица Q будет невырожденной М - матрицей для малых 
или при достаточно малых ненулевых элементах матрицы B. Если в условиях теоремы 3 D = Rm+, то экспоненциальная оценка на решение x(t) справедлива при любом начальном значении x(0). Если же D = D0, то эта оценка выполняется для x(0), лежащих в некоторой окрестности точки x = 0. В обоих случаях конкретный вид начального распределения особей по возрасту 
не влияет на экспоненциальную оценку (вектор 
зависит только от значений x(0)). В рамках принятых предположений можно сделать следующий вывод: если в некоторых популяциях особи являются короткоживущими или интенсивности процесса рождения особей достаточно малы, то такие популяции обязательно вырождаются, причем независимо от начального распределения особей по возрасту.
В завершение рассмотрим пример. Одной из классических моделей динамики популяций является так называемая логистическая модель или модель Ферхюльста, которая описывается дифференциальным уравнением
с начальным условием 
, где 
, см., например, [5, c. 14]. Если учитывать ограниченность времени жизни особей, то в соответствии с (1) следует рассмотреть уравнение
с начальным условием (2). Здесь в качестве множества D можно рассматривать произвольный отрезок [0, d], 
. Пусть 
. Из теоремы 3 следует, что решение x(t) данного интегро-дифференциального уравнения таково, что при для любых начальных значений x(0). Можно показать, что этот результат справедлив и для 
. Неравенства 
задают на плоскости 
область параметров, при которых популяция вырождается. Кроме того, можно показать, что для 
решение 
при , независимо от значений x(0), где x* - единственный положительный корень уравнения 
С ростом t решение x(t) приближается к x* либо монотонно, либо с затухающими колебаниями. Отметим, что решение логистической модели таких колебаний не имеет.
В заключение укажем, что система уравнений (1) с начальным условием (2) является обобщением некоторых из моделей, рассмотренных в работе [7].
Список литературы
Перцев Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Ред. А.К. Гуц. Омск, 1994. С.119 - 129.
Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
Berman A., Plemmous R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York, Academic Press, 1979.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.
Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.
Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 - 101.