Комплексные числа и действия над ними

СОДЕРЖАНИЕ: Лекция 10 Комплексные числа и действия над ними Рассмотрим уравнение Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число

Лекция 10

Комплексные числа и действия над ними

Рассмотрим уравнение

Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число (мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению . Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида

, , .

Совокупность всех чисел называется множеством комплексных чисел. При этом число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как

а число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается как

Удобно изображать комплексные числа в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами . В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.

Операции умножения и деления комплексных чисел.

При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):

Пример.

При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.

Пример.

Комплексному числу можно приписать понятие модуля и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.

Модуль числа равен .

Аргументом числа называется полярный угол , (аргумент является многозначной функцией).

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

, где .

Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле

(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).

Следствием формулы умножения является следующая формула.

Формула возведения в степень (формула Муавра)

Пример.

, , ,

Формула извлечения корня -й степени

, .

Пример. Вычислить .

Запишем в тригонометрической форме:

Тогда получаем

при

Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа :, , .

Формула Эйлера

Пример использования.

Вычислить .

Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции через показательную функцию. Имеем:

откуда

Следовательно,

откуда

Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.

Отсюда следует

Ответ: .

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Рассмотрим уравнение

где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

, , ,

- произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение

назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения

имеет вид

если , - два различных вещественных числа; имеет вид

если и, наконец, решение имеет вид

если , - комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть

если , и в виде

если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение

Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

Получаем:

Подставляя , , в исходное уравнение, получаем:

Сокращая на и приводя подобные, получим

откуда

Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид

Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:

Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :

Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:

Далее,

Ответ: .

Пример . Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

откуда

где - мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть

Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде