Лагові моделі. Метод Койка, Ш. Альмона
СОДЕРЖАНИЕ: Альтернативою підходу Койка до дистрибутивно-лагових моделей є поліноміальна дистрибутивно-лагова модель Ш. Альмона. Моделі виявилися дуже корисними в емпіричній економіці, тому що можуть перетворювати моделі на динамічні, за допомогою фактору часу.САМОСТІЙНА РОБОТА
з дисципліни «Економетрія»
на тему: «Лагові моделі. Метод Койка, Ш. Альмона»
2006
У регресійному аналізі , якщо регресійна модель включає не лише поточні, а й попередні (лагові, або затримані) значення незалежних змінних (х), вона має назву дистрибутивно-лагова модель. Ця модель має вигляд:
. (1.1)
. (1.2)
В економіці рідко трапляється миттєва залежність змінної y (залежної змінної) від іншої незалежної змінної (змінних) х. Дуже часто значення у змінюється через невеликий проміжок часу після зміни значення х. Такий проміжок часу називається часовим лагом.
Оцінка параметрів дистрибутивно-лагових моделей
Якщо припустити, що дистрибутивно-лагові моделі відіграють важливу роль в економіці, як можна оцінити параметри такої моделі? Нехай ми маємо таку дистрибутивно-лагову модель з однією пояснювальною змінною:
, (1.3)
Де ми не визначаємо довжину лагу. Така модель має назву нескінченна (лагова) модель, тоді як модель типу (1.2) називається скінченною дистрибутивно-лаговою моделлю, оскільки в ній визначена довжина лагу k. Надалі будемо використовувати модель (1.3) як загальний випадок. Оцінити невідомі параметри і і в моделі (1.3) можна за двома способами: послідовного оцінювання та апріорного оцінювання, припускаючи, що і мають певну систематичну закономірність.
Підхід Койка до дистрибутивно-лагових моделей
Койк запропонував досить цікавий метод оцінки дистрибутивно-лагових моделей. Припустимо, ми починаємо з дистрибутивно-лагової моделі з невизначеним лaгом (). Припускаючи, що і мають той самий знак, Койк припустив також, що вони змінюються в геометричній прогресії:
k = 0, 1, …, (1.4)
де такі, що 0 1 – темп зменшення дистрибутивного лагу, а (1- ) – швидкість пристосування. Співвідношення (1.4) показує, що кожний наступний коефіцієнт менший, ніж попередній (оскільки 1), тобто з кожним наступним кроком у минуле вплив лaгу на уt поступово зменшується, що є досить імовірним припущенням. Значення лaгового коефіцієнта к -залежить, крім загального 0 також і від . Чим ближче значення до 1, тим повільніший темп зменшення к , а чим ближче він до 0, тим швидше спадає к . У попередньому випадку віддалені в минулому значення х досить сильно впливали на уt , тоді як у нашому випадку їхній вплив на уt швидко зменшується. Це добре видно в табл. 1.1.
Таблиця 1.1
о |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
||
0.75 |
о |
0.75о |
0.56 о |
0.42 о |
0.32 о |
0.24 о |
... |
0.06 о |
0.25 |
о |
0.25 о |
0.06 о |
0.02 о |
0.004 о |
0.001 о |
… |
0 |
Слід зазначити, що метод Койка має такі переваги:
- припускаючи, що можуть бути відємними, Койк абстрагувався від зміни знака коефіцієнта при і ;
- завдяки тому, що 1 віддалені за часом, значення і стали менш впливовими, ніж поточні;
- сума і , яка складає довгостроковий мультиплікатор, є скінченною, тобто
. (1.5)
як результат (1.4), модель з кінцевим лагом (1.5) можна записати таким чином:
. (1.6)
Як бачимо, модель (1.6) також незручна для оцінки, оскільки залишається дуже велика (фактично нескінченна) кількість оцінюваних параметрів, крім того, параметр входить до моделі в нелінійній формі: тобто метод лінійної (за параметрами) регресії не можна застосувати до цієї моделі. Але Койк пропонує модифікований метод, який полягає в тому, що в модель (1.6) вводиться затримка на один період. Виходячи з цього, модель записується таким чином:
. (1.7)
Далі помножуємо (1.7) на і отримаємо:
. (1.8)
Віднявши (1.8) від (1.6), маємо:
, (1.9)
або
, (1.10)
де . Ця процедура відома як перетворення Койка . Порівнюючи (1.10) з (1.3), бачимо надзвичайне спрощення моделі. Якщо раніше нам треба було оцінювати параметр та нескінченну кількість параметрів і, тепер достатньо оцінити лише три змінних: ,о і , тобто немає причин очікувати мультиколінеарність. Фактично ми позбулись мультиколінеарності заміною хt-1 , хt - 2 … на одну змінну, тобто уt -1 .
Зазначимо деякі особливості трансформації Койка.
1. Трансформація Койка переводить дистрибутивно-лагову модель в авторегресивну, оскільки серед незалежних змінних залишається уt -1 .
2. Поява уt -1 може спричинити ряд статистичних проблем: уt -1 , як і уt , - стохастична; це означає, що в модель ми вводимо стохастичну змінну.
3. У початковій моделі (1.3) помилка дорівнювала t , а в перетвореній . Тепер статистичні властивості t залежать від статистичних властивостей t .
4. Наявність лагового значення у порушує одне з припущень d-тесту Дарбіна-Уотсона. Отже, нам потрібно розробити альтернативу для тестування серійної кореляції при лаговому у. Цією альтернативою є h-тест Дарбіна.
Підхід Ш. Альмона до дистрибутивно-лагових моделей: поліноміальний лаг Альмона
Хоча дистрибутивно-лагова модель Койка широко використовується на практиці, вона базується на припущенні, що коефіцієнти спадають у геометричній прогресії в міру зростання довжини лагу. Це припущення може бути занадто строгим у деяких ситуаціях, і схема дистрибутивно-лагових моделей Койка не спрацює. У складніших випадках параметри і можна виразити як функцію від і, тривалості лагу (часу) і підібрати відповідні криві, які відображатимуть цю функціональну залежність. Саме цей підхід і запропонований Ш.Альманом. Щоб проілюструвати його метод, повернемося до скінченної дистрибутивно-лагової моделі:
. (1.11)
ЇЇ можна записати в більш компактному вигляді:
. (1.12)
Відповідно до теореми Веєрштрасса Альмон припустив, що і можна апроксимувати поліномом відповідного ступеня від і, тривалості лагу. Наприклад:
. (1.13)
Щоб пояснити, як працює схема Альмона, припустимо, що і змінюються таким чином, що можна обрати поліноміальну апроксимацію другого ступеня (вигляд залежності краще за все обирати за зовнішнім виглядом графіка залежності величини параметра від лагу). Підставляючи (1.13) до (1.12), отримаємо:
. (1.14)
Визначаючи
(1.15)
можна переписати (1.14) як
. (1.16)
У моделі Альмона у залежить від штучно створених змінних Z, а не від початкових змінних х. Зауважимо, що (1.16) можна оцінити за звичайним методом найменших квадратів. Оцінки і аі , отримані таким чином, матимуть усі бажані статистичні властивості, якщо випадкова величина t задовольнятиме припущенням класичної моделі лінійної регресії. З цього боку модель Альмона має чітку перевагу перед моделлю Койка
Перед застосуванням методу Альмона потрібно вирішити такі практичні проблеми.
1. Максимальна тривалість лагу k має бути визначена заздалегідь. Це найголовніший недолік методу Альмона. Дослідник повинен визначити найпридатнішу тривалість лагу. На практиці, звичайно, припускають, що k достатньо мала.
2. Визначивши k, треба також визначити ступінь полінома т. В загальному випадку ступінь полінома має бути принаймні на одиницю більший за кількість точок екстремума кривої, що показує залежність і від і. Тобто заздалегідь потрібно знати кількість точок екстремуму, таким чином, вибір т є великою мірою субєктивним. Але в деяких випадках теорія може допомогти знайти потрібний вигляд кривої. На практиці припускають, що за допомогою полінома низького ступеня (скажімо, т дорівнює 2 або 3) можна отримати добрі результати. Якщо ми обрали певне значення т і хочемо зясувати, чи не буде кращим поліном вищого ступеня, потрібно діяти таким чином.
Переваги методу Альмона:
1) по-перше, він забезпечує гнучкий спосіб залучення до моделі цілого ряду лагових структур, у той час як модель Койка досить суворо вимагає від коефіцієнтів і щоб вони спадали в геометричній прогресії.
2) по-друге, на відміну від методу Койка, в моделі Альмона не потрібно турбуватися про те, що серед пояснювальних змінних є залежні, а отже, ми позбавляємось проблем, які можуть виникнути у звязку з цим.
3) нарешті, якщо обрано поліном досить низького ступеня, кількість оцінюваних коефіцієнтів (аі ) буде набагато менша, ніж початкова кількість їх ( і ).
Тепер повернемось до проблем, повязаних із застосуванням методу Альмона. По-перше, ступінь полінома, як і максимальне значення лагу, обирається дуже субєктивно. По-друге, з причин, зазначених вище, змінні Z можуть бути мультиколінеарними. Для ілюстрації методу Альмона розглянемо ілюстративний приклад
Додаткові властивості методу Альмона.
1. Стандартні помилки коефіцієнтів а отримані безпосередньо з методу найменших квадратів, але стандартні помилки деяких оцінених коефіцієнтів , що є нашою головною метою, не можна отримати таким чином. Ці стандартні помилки можна легко обчислити з оцінених коефіцієнтів а, використовуючи відому формулу із статистики.
2. Оцінки коефіцієнтів , називаються необмеженими оцінками в тому сенсі, що на них не накладається жодних попередніх обмежень. Однак у деяких ситуаціях на і можуть бути накладені так звані кінцеві точкові обмеження, якщо припустити, що 0 і і (поточний і k-ий лаговий коефіцієнт) дорівнюють нулеві. Через психологічні, інституціональні і технологічні причини значення пояснювальної змінної в поточному періоді може й не мати жодного впливу на поточне значення залежної змінної, що, таким чином, виправдовує нульове значення 0 . З тих самих причин після певного часу k пояснювальна змінна може й не впливати на залежну змінну, тобто і і теж дорівнюватиме нулеві. Також інколи при оцінці коефіцієнтів і на суму їх накладається таке обмеження: вона повинна дорівнювати одиниці.
Висновки
Хоча в емпіричній економетриці модель Койка досить популярна, вона не має теоретичного підґрунтя. Це ускладнення подолане за допомогою моделі адаптивних очікувань і моделі часткових пристосувань. У цих моделях враховується, яким чином економічні агенти формують свої очікування щодо невизначених економічних подій і як вони пристосовуються, якщо їхні очікування не збігаються із дійсністю.
Альтернативою підходу Койка до дистрибутивно-лагових моделей є поліноміальна дистрибутивно-лагова модель Ш. Альмона. Базуючись на теоремі Веєрштрассе, Альмон припустив, що лагові коефіцієнти і можна апроксимувати поліномом відповідного ступеня від і , тривалості лагу. Хоча метод Альмона уникає певних проблем, пов’язаних з моделлю Койка, його практична слабкість полягає в тому, що як ступінь поліному, так і максимальну довжину лагу дослідник повинен визначити перед початком самого дослідження.
Незважаючи на проблеми, що трапляються при оцінюванні, дистрибутивно-лагові моделі виявилися дуже корисними в емпіричній економіці, тому що вони перетворюють моделі, які б у будь-якому іншому випадку залишилися статистичними, на динамічні, за допомогою фактору часу. Такі моделі допомагають розрізняти короткостроковий і довгостроковий вплив на залежну змінну при одиничній зміні значення незалежної змінної (змінних). Таким чином, для оцінювання коротко- і довгострокової еластичності за ціною, доходом, нормою затрат та іншими схожими показниками такі моделі виявились дуже корисними.
ПЕРЕЛІК ЛІТЕРАТУРИ
1. Догарти Введение в эконометрику
2.Корольов О.А. Економетрія
3. Кулейнич В.И. Эконометрия
4. Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика
5. Магнус Я.Э. Катышев П.К., Береснецкий А.А. Экономика. Начальный курс
6. Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Економетрія