Математические основы теории систем
СОДЕРЖАНИЕ: Саратовский Государственный Технический Университет Балаковский Институт Техники Технологии и Управления Кафедра: Специальность: Курсовая работаСаратовский Государственный Технический Университет
Балаковский Институт Техники Технологии и Управления
Кафедра:
Специальность:
Курсовая работа
МОТС
Выполнил:
Принял:
Балаково 2009г.
I-часть
Задание1: По виду электрической схемы построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.
Задание2: По построенной модели составить структурную схему и сигнальный граф.
Задание3: Используя формулу Мейсона найти передаточную функцию объекта управления.
Задание4: По передаточной функции объекта управления определить временные и частотные характеристики. Построить их зависимость: АЧХ, ФЧХ.
Задание5: По полученным зависимостям определить прямые и косвенные оценки качества объекта управления.
II-часть.
Задание1: По заданной корреляционной функции Kx(t) определить спектральную плотность Sx(w) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.
Задание2: По заданным статистическим характеристикам Se,Sv определить передаточную функцию формирующего фильтра y(р)
Задание3: Представить объект управления в виде
V(t) X(t) Y(t)
и оценить качество полученной системы по переходной характеристике.
Задание4: Сделать вывод по работе.
I-часть
Данные
| R1 | R2 | R3 | R4 | L1 | L2 | C2 | I2 |
| Ом | Гн. | 10-6 Ф | ? | ||||
| 328 | 395 | 118 | 215 | 24 | 24 | 19605 | |
L1 e(t) L2
1. Построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.
В схеме три элемента, запасающих энергию: 
, следовательно, математическая модель должна быть третьего порядка.
2. Построение математической модели.
Задаемся направлением контурных токов 
. Составляем три уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:
(1)
(2)
(3)
В уравнении (3) есть интеграл, поэтому дифференцируем его:
(3*)
В уравнениях (3*), (2), (3) есть производные, в качестве 
выбираем элементы с производными и производные берем на порядок ниже:
(4)
(5)
(6)
Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:
В полученных уравнениях имеется шесть переменных 
. Необходимо уйти от , выразив их через
Из выражения (1) выразим 
:
Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.
Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:
Получим матричное уравнение для выходной переменной:
2. Построение сигнального графа.
Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:
Построение графа произведем в два шага:
Шаг 1. Ставим точки входа, выхода системы 
и векторы параметров
Шаг 2. Соединяем все параметры связями согласно системе уравнений.
|
eX3
X3
X2
X2
i2
 |
|||
|
|||
 |
|||
X 1 X 1
3) Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона.
k-количество возможных путей от входа к выходу
-определитель графа
Pk -коэффициент передачи k пути от входа к выходу
-определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути
=1-(сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров)+(сумма всевозможных произведений из двух некасающихся контуров) - (сумма всевозможных комбинаций из трех некасающихся контуров)+…+…
Последовательность нахождения w(p) по формуле Мейсона:
1) В данном случае есть 1 путь от входа к выходу:
2) В системе имеется 4 замкнутых контуров:
3) Определитель системы включает 4 контура и 2 пары некасающихся контуров L1 ,L2 ; L1 ,L4
4) Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для 
записывается как выражение для , но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь Pi
.
Сомножитель 
для первого пути. При размыкании первого пути 2 контура размыкаются, кроме L2
,L4
5) Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:
Найдем переходную функцию и построим ее график:
 |
 |
 |
Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):
 |
Найдем фаза частотную характеристику (ФЧХ):
 |
Определим оценки качества системы: прямые и косвенные.
Прямые оценки определяются графически по графику переходного процесса.
 |
Время переходного процесса: tn=11
Перерегулирование:
Колебательность: п=0,5
Время нарастания регулируемой величины: t=0,385
Время первого согласования: tm=0,66
Косвенные оценки качества системы определяются по графику АЧХ.
 |
Колебательность:
Резонансная частота: wp=0,83
Частота среза: wсp=10
Полоса пропускания частот: 
II-часть
Задание1: По заданной корреляционной функции Kx(t) определить спектральную плотность Sx(w) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.
 |
По данной корреляционной функции определим спектральную плотность:
 |
 |
Найдем корни характеристических уравнений передаточной функции фильтра:
Изобразим эти корни на комплекснрй плоскости:
 |
Система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат во 2-ом квадранте, следовательно, условию устойчивости системы соответствуют корни:
P7= -0,583+7,05i
P9= - 0,550+9,98i
P10= -0,570
 |
Из этого следует, что передаточная функция фильтра будет иметь
следующий вид:
С учетом фильтра наша схема будет иметь следующий вид:
Найдем переходную функцию данной системы, построим ее график и определим прямые оценки качества системы.
 |
Вывод: По графику видно, что фильтр вносит в систему изменения, приводящие к неустойчивости системы. Вследствие чего оценки качества системы определить нельзя.