Математические предложения и методика их изучения

СОДЕРЖАНИЕ: Суждение, умозаключение, высказывание. Виды и логическая структура математических предложений. Подходы к пониманию теоремы. Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским. Процесс доказательства теорем. Основные формы косвенного доказательства.

Министерство образования Республики Беларусь

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Математические предложения и методика их изучения

Исполнитель:

Студентка группы М-31

Селиканова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Введение

Процесс доказательства теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”

В курсе планиметрии обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений. Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование или доказательство теорем.

1. Суждение, умозаключение, высказывание

Суждение – это такая форма мышления, в которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или отсутствие его свойств, связей.

Суждение – это форма связей понятий друг с другом, которая обладает двумя свойствами: 1) что-либо утверждает или отрицает; 2) является или истинным, или ложным.

Например: 1) любой параллелограмм есть ромб – ложно; 2) любой ромб есть параллелограмм – истинно; 3) “ есть функция” – суждение выражает связь понятий по объёму, т.е. - составная часть класса функций; вместе с тем ей присуще всё то, что свойственно функциям; 4) многочлен непрерывен при всех значениях независимой переменной – истинно.

Каждая наука есть определенная система суждений об объектах , являющихся предметом ее изучения.

Например : Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов – это суждение сформулировано в виде геометрического предложения, принадлежащего евклидовой геометрии , т. к. а) состоит из геометрических (сумма углов, треугольник 180 градусов) и логических (всякого, равна) терминов или символов; б) истинно т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии.

Суждения образуются в мышлении 2 способами: непосредственно и опосредовано.

Например : 1. Эта фигура – круг - суждения выражает результат восприятия.

2. x² =-2 – не имеет действительных корней суждений опосредованное, оно возникло в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением.

Умозаключение – процесс получения нового суждения – вывода из одного или нескольких данных суждений.

Например:

1) x² =-2 – уравнение;

2) квадрат действительного числа больше или равен нулю;

3) корень обращает уравнение в верное числовое равенство.

Из этих трех суждений получаем новое: уравнение x² =-2 не имеет действительных корней.

В математической логике используют термин “высказывание”, имеющий смысл, близкий к понятию “суждение”. Под высказываниями производятся следующие операции: а) отрицание высказывания; б) конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация.

Математическая логика, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов.

Для нее характерна формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного содержания предложений.

Например : (все растения красные)(все собаки – растения) =(все собаки красные).

2. Основные виды математических предложений

Математическое суждение принято называть предложением.

Например : “S есть P” - S - логическое подлежащее или субъект мысли (то, о чем идет речь в предложении); Р – логическое сказуемое или предикат мысли. Суждения часто даются в условной форме: “если есть А, то есть и В”.

Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Например :

Элементарные предложения:

дан DАВС; (x) АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВДДС.

Составные предложения:

1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то ВДДС – истинное.

2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и ВДДС – ложное.А

3. Если ДВ=ВС и ВД не перпендикулярно АС,

то АДДС – истинное.

Логические структуры для 1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не z, то не y.

Например:

1. Если число целое и положительное, то оно натуральное;

2. Если число целое и не натуральное, то оно не положительное.

Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без доказательства.

Постулат – это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

Например, понятие а||b определяется двумя постулатами:

1. (a)(b);

2. (a=b)(ab=0).

Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.

Можно отметить два подхода к пониманию теоремы:

А.В. Погорелов (геометрия “7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.

Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в) заключение.

Например, “если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.

Условие: сумма цифр числа n делится на 3

Заключение: само число делится на 3.

Разъяснительная часть: n – любое натуральное число.

Используя логическую символику, теорема представляется так:

- импликация (если …, то …).

Имея прямую теорему (), можно образовать новые теоремы:

1. - обратная;

2. - противоположная;

3. -обратная противоположной или контрапозитивная.

Эти теоремы обладают следующими свойствами:

а) () и () - одновременно истинны или ложны;

б) () и () - одновременно истинны или ложны.

Высказывание p называется необходимым условием для q, если импликация () есть истинное следствие. Например, чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.

p – четное число, q – число кратно 6. () – и.

Высказывание p называется достаточным условием для q, если импликация () есть истинное следствие. Например, чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25; q: кратно 5) (pq)

Замечание: Для определения необходимо условие следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.

Условие р называется необходимым и достаточным для q, если истины одновременно обе импликации: (pq) и (qp), т.е. имеет место эквивалентность.

Характеристическое свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества сходных объектов, позволяет его сконструировать.

Например, характеристическое свойство арифметической прогрессии:

начиная со второго члена, все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях)

Пример необходимого и достаточного условия:

3 Методика изучения теорем

Например: установить зависимость между сторонами в треугольнике; или свойства биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника эмпирически.

В процессе обучения у школьников должно быть сформировано следующее понимание термина “доказательство”:

1)допускаются истинными некоторые отношения и факты (которые составляют условие теорем);

2)от условия к заключению строится логическая последовательная цепочка предложений, каждое из них должно быть обосновано с помощью суждений, выраженных в условии, определений известных понятий, аксиом или ранее доказанных утверждений;

3)заключение является последним звеном в цепочке этих логически расположенных предложений.

Например: в курсе математики 5-6 классов этому способствуют задачи с таким содержанием: “Дополнить приведённое доказательство математических утверждений, выполняя указанные выше требования, предъявляемые к математическим доказательствам”.

“Если a:b=c, то a=bc. Доказать”

Условие: a:b=c. Заключение: a=bc.

Предложение

обоснование

1)a:b=c

2)a=bc

1) условие

2) почему?

В школьном обучении некоторые фрагменты математической теории излагаются содержательно (неформально), поэтому доказательство также содержательны, т.е. в них используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Среди таких правил можно выделить:

1)правило заключения: P; “если P, то Q” - вывод: “Q”.

2)правило введения конъюнкции: P; Q – вывод “P и Q”.

3)правило силлогизма: “если P, то Q”; “если Q, то R” - вывод “если P, то R”.

4)правило отрицания: “если A, то B”, “не B” - вывод “не А”.

5)правило контрапозиции: “если A, то B” - вывод “если не B, то не A”.

6)правило расширенной контрапозиции: “если A и B, то C” - вывод “если A и не С, то не B”.

7)Сведение к абсурду – “если Г, А=B”, “Г, А=не B” - вывод “Г= не А”, где Г – список посылок.

Правило контрапозиции и сведение к абсурду широко применяется в косвенных доказательствах, примером которого может служить доказательство от противного.

Косвенное доказательство некоторой теоремы Т состоит в том, что исходит из отрицания Т, называемого допущением косвенного доказательства и выводят из него ложное заключение применением правила сведения к абсурду.

Например: если а||с, и b||с, то a||b. Допущение: a||c и b||c, но a не|| b. Согласно определению параллельных прямых получаем: если a не|| b = $с (са сb), поэтому по правилу введения конъюнкции: из а||c и b||c. $с (са сb) имеем: a||c и b||c и $с (са сb). Но по аксиоме параллельных прямых (из Т) неверно, что: a||c и b||c и $ с (са сb), т.е. из наших допущений вывели противоречие, которое и доказывает теорему.

Специальные формы косвенного доказательства:

1)доказательство методом исключения : надо доказать предложение: “если B, то Q₁ ”, иначе: Г, Р=Q₁ : наряду с Q₁ рассматриваются все остальные возможности, которые являются: аксиомой, определением, ранее доказанной теоремой или следствием из них. Затем доказывается, что каждая из остальных возможностей, кроме Q₁ , ведёт к противоречию.

Например: если каждая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то эти прямые параллельны.

Требуется установить следование: “Г,Р” ®Q не ||; “Г” и a (если aa, ab) a||b.

Исходим из предложений: Q₁ :a||b; Q₂ :ab; Q₃ : a-b – скрещиваются.

Допущение Q₂ :ab даёт $a (aa и ) (достаточно провести произвольную плоскость через b, отличную от плоскости определяемой пересекающимися прямыми a и b) или: так как $a (aa и ) = не для всякой плоскости a (если aa, то ab), получаем “если Q₂ , то ”: если ab, то не для всякой a если aa, то ab).

Из “если Q₂ , то ” и “Р” по правилу отрицания имеем: :.

Аналогично допущение Q₃ : “a-b скрещиваются” приводит к не любой плоскости a (если aa, то ab) (достаточно через b и какую-нибудь точку прямой a провести плоскость). Получаем из: “если Q₃ , то ” и “Р” по правилу отрицания :.

Итак, получаем и, т. е. Q₂ и Q₃ – неверно, поэтому верно Q₁ : a||b.

2)Метод математической индукции – специальный метод доказательства, применяемый к предложениям типа: “xNP(x)”, т.е. к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу.

Схематически полная логическое доказательство теоремы можно составить так: 1) точное понятие; 2) включаем все посылки; 3) не опускают никаких промежуточных рассуждений; 4) явно указывающее правила вывода.

В практике школьного обучения математики наиболее часто используется прямое доказательство, основанное на содержательном доказательстве в свернутом виде: 1) интуитивное понятие; 2) опускают некоторые в частности, общие посылки; 3) опускают отдельные шаги; 4) не фиксируют использование логики.

Например: Диагонали прямоугольника равны.

Теорему можно доказать: а) с помощью осевой симметрии; б) с помощью равенства прямоугольников. Отметим, что различные доказательства теоремы отличаются как математическими посылками, (используемыми в них истинными предложениями данной теории), так и логикой (используемыми правилами).

Доказательство 1.

“Если четырёхугольник – прямоугольник, то его диагонали равны” или “Если ABCD – прямоугольник, то AC=BD”.

Точка D симметрична A; B – симметрична C относительно MN (это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы: “Серединный перпендикуляр и сторона прямоугольника являются осью симметрии). Значит, отрезок AC и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому AC=BD.

Доказательство 2.

, т.к. они прямоугольные (), AB=CD как противоположные стороны прямоугольника; AD – общая сторона. Следовательно, AB=CD.

Методика введения теорем предполагает подготовку учащихся к восприятию ее доказательства.

1) Для того, чтобы учащиеся поняли логические части доказательства, применяют метод целесообразных задач.

Например: При доказательстве того факта, что угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями основания и перпендикулярного сечения, необходимого предварительно решить по готовым чертежам следующие задачи:

1. По данным на рисунке найти и угол между прямыми BO и OC.

Замечание: угол между двумя прямыми (двумя плоскостями) острый.

2. Угол между плоскостями и равен , прямая OA перпендикулярна плоскости , ; прямая OB перпендикулярна плоскости , . Найти угол между прямыми OA и OB.

2) Для подготовки учащихся к восприятию доказательства теоремы можно использовать прием многократного доказательства (например, тройная прокрутка).

а) учитель излагает схему (идею, канву) доказательства. Возможно, при этом использование эвристической беседы, которая может быть или аналитико-синтетический или синтетический. Вопросы должны быть сформулированы четко, отражая наиболее важные логические этапы доказательства. После каждого вопроса необходима пауза для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти ответ:

б) учитель излагает доказательство теоремы в виде краткого рассказа, обосновывая каждый шаг;

в) повторение доказательства в полном объеме.

Еще один прием обучения доказательством – обучение учащихся составленного плана доказательства теоремы , при котором выполняются следующие этапы:

· даётся готовый план доказательства новой теоремы и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана. Преимущества : 1) план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач, которые учащиеся могут решить; 2) у учащихся появляется уверенность в том, что они смогут доказать новую теорему; 3) план позволяет охватить все доказательство в целом, у учащихся возникает чувство полного понимания;

· учащихся учат составлять план уже изученной теоремы . Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно.

Заключение

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

2. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

3. Г. Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

5. Ю.М. Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

6. А.А. Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.

Скачать архив с текстом документа