Методика изучения показательной и логарифмической функции в курсе средней школы Простейшие показательные

СОДЕРЖАНИЕ: Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины Математический факультет

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины

Математический факультет

Кафедра МПМ

Методика изучения показательной и логарифмической функции в курсе средней школы. Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Реферат

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Малайчук А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Образовательные цели изучения темы Показательная и логарифмическая функции в средней школе

2. Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения

З. Понятие обратной функции и методика его введения

4. Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции

Заключение

Литература

Введение

Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ). Можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа : r₁ r₂ . Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех a^r ¹ и наименьшим среди всех a^r ² , которое можно считать значением a .

1. Образовательные цели изучения темы Показательная и логарифмическая функции в средней школе

Изучение темы Показательная, логарифмическая и степенная функции в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:

; ;

тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; логарифмическая функция, ее свойства и график; основные логарифмические тождества:

; ;

тождественные преобразования логарифмических выражений; решение логарифмических уравнений, неравенств и систем; производная показательной функции; число е и натуральный логарифм; производная степенной функции; дифференциальное уравнение радиоактивного распада.

Основная цель – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степени, ознакомить их с показательной, логарифмической и степенной функциями и их свойствами (включая сведения о числе е и натуральных логарифмах); научить решать несложные показательные и логарифмические уравнения, их системы (содержащие также и иррациональные уравнения).

Рассматриваются свойства и графики трех элементарных функций: показательной, логарифмической и степенной. Систематизация свойств указанных функций осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Достаточное внимание должно быть уделено работе с логарифмическими тождествами: тождественные преобразования логарифмических выражений применяются как при изложении теоретических вопросов курса (например, при выводе формулы производной показательной функции), так и при выполнении различного рода упражнений, например, решение логарифмических уравнений и неравенств.

Приведен краткий обзор свойств степенной функции в зависимости от различных значений показателя р.

Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов (например, радиоактивный распад, изменение температуры тела); показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.

В ходе изучения свойств показательной, логарифмической и степенной функций учащиеся систематически решают простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований.

2. Методика изучения свойств степеней и логарифмов. Введение определения показательной школе показательной функций, ее свойства и их приложения

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=a^x (, ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(a^x )=R; E(a^x )=R_Т ; a^x возрастает при a1 и a^x убывает при 0a1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения a^x =b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log_a b, т.е. a^logab =b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом () и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. log_a 1=0

2. log_a a=1

3. log_a xy= log_a x+ log_a y

4. log_a x/y= log_a x- log_a y

5. log_a x^p = plog_a x

При доказательстве используется основное логарифмическое тождество:

x=a^logax ; y=a^logay

Рассмотрим доказательство 3:

xy=a^logax a^logay =a^logax+logay т.е. xy=a^logax+logay =a^logaxy , ч.т.д.

Основные свойства логарифма широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы.

№497 (Алгебра и начала анализа, 10-11)

Найти , если:

т.е. равны основания логарифмов, равны значения логарифмов равны логарифмируемые выражения. Этот прием рассуждения в дальнейшем будет применим при решении простейших логарифмических уравнений.

З. Понятие обратной функции и методика его введения

Наиболее доступным введение логарифмической функции можно было бы провести после введения понятия обратной функции. Однако методика изложения темы об обратной функции сложна из-за сложных самого материала. Тема Понятие об обратной функции приведена в учебнике Алгебры и начала анализа. 10-11 и рассчитана на необязательное изучение. В эту тему входят:

1) обратимость функций, связанное с решением следующих задач: вычислить значение функции по данному значению аргумента и найти значение аргументов, при которых функция принимает данное значение . Вторая задача не всегда имеет единственное решение (например, для , ). Функция принимает каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой, т.е. если обратима, а число принадлежит , то уравнения имеет решение и притом только одно.

2) Обратная функция – как новое понятие – поясняется на конкретных примерах.

Определение. Пусть - произвольная обратимая функция. Для любого числа из ее области значений имеется в точности одно значение , принадлежащее области определения , такое, что: . Поставив в соответствие каждому это значение , получим новую функцию с областью определения и областью значений .

Задача. Найти функцию, обратную функции

Покажем, что уравнения при любом значении имеет единственное решение .

, где .

Если вспомнить область значения данной функции , то получаем положительный ответ. Таким образом, наша функция обратима и обратная ей функция

Алгоритм решения таких задач: найти и данной функции ; поменять местами в формуле переменные , т.е. получить формулу и из полученного равенства выразить через .

В более сложных случаях (когда функция не является обратимой на всей области определения) следует пользоваться теоремой: об обратной функции:

Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (или убывающей).

Задача. Найти функции, обратные функции y=x² -3x+2.

x=y² -3y+2=y² -2y*3/2+9/4-9/4+2=(y-3/2)² -ј = (y-3/2)² =x+1/4, где x-1/4 = y₁ =3/2+(x+1/4)^1/2 и y₂ =3/2-(x+1/4)^1/2 .

D(y₁ )= D(y₂ )=E(x² -3x+2)=[-1/4;+)

Для нахождения областей значений обратных функций обратимся к графику, используя следующее свойство:

Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой y=x.

x² -3x+2=0 = x₁ =1; x₂ =2

x_в =3/2; y_в =-1/4

Из графика видно, что

E(y₁ )=[3/2;+), E(y₂ )=(-;3/2].

4. Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции

Методика изучения логарифмической функции

Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции:

1. ,

т.к. при решении уравнения

т.е. любое положительное число имеет логарифм по основанию .

2. ,

т.к. по определению логарифма любого действительного числа справедливо равенство:

т.е. функции вида принимает значение в точке .

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a1) или убывает (при 0a1).

Покажем, что при a1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a1 – возрастает.

Т.к. при a1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x1 и отрицательна для 0x1 (для основания 0a1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.

Производная показательной и логарифмической функции

Приступая к изучению производной показательной и логарифмической функций, учащиеся знакомятся с новым для них числом e. Необходимость появления этого числа связывается с решением задачи о касательной к графику показательной функции, с угловым коэффициентом, равным 1, т.е. без доказательства принимается следующее утверждение:

существует такое число, больше 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция y=e^x в точке 0 имеет производную, равную 1, т.е. (e^x -1)/ x - при x-0.

Теорема: функция e^ж дифференцируема в каждой точке области определения и (e^x )= e^x . Опр.: Натуральным логарифмом называется логарифмом по основанию е:

ln x = log_e x

Верно соотношение:

e^{ln a} =a = a^x =(e^{ln a} )^x =e^{x ln a} .

Теорема: показательная функция а^x дифференцируема в каждой точке области определения, и:

(a^x )=a^x ln a

Дифференцируемость логарифмической функции следует из того, что: графики у=а^х и у=log _a x симметричны относительно у=х. Показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке, а это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения.

Производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле: lnx=1/x.

x=e^ln ^x = x=(e^ln ^x ), n/r/ x=1 = (e^ln ^x )=1 = e^ln ^x (ln x)=1 = lnx=1/e^ln ^x =1/x.

Заключение

; ;

Литература

1. К.О. Ананченко Общая методика преподавания математики в школе, Мн., Унiверсiтэцкае,1997г.

2.Н.М.Рогановский Методика преподавания в средней школе, Мн., Высшая школа, 1990г.

3.Г.Фройденталь Математика как педагогическая задача,М., Просвещение, 1998г.

4.Н.Н. Математическая лаборатория, М., Просвещение, 1997г.

5.Ю.М.Колягин Методика преподавания математики в средней школе, М., Просвещение, 1999г.

6.А.А.Столяр Логические проблемы преподавания математики, Мн., Высшая школа, 2000г.

Скачать архив с текстом документа