Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя
СОДЕРЖАНИЕ: Задача №1 Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости имеют вид: Определить модуль скорость ( ) и ускорение ( ) этой точки в момент времениЗадача №1
Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости 
и 
имеют вид:
Определить модуль скорость (
) и ускорение (
) этой точки в момент времени 
.
Решение
А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:
Следовательно, 
Б. . Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:
Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением 
.
Задача №2
Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте 
. Определите линейную и угловую скорости спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли 
. Радиус Земли 
Решение
На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести 
, которая во много раз превосходит силы тяготения, действующие на него со стороны других небесных тел, поэтому по второму закону Ньютона 
. Здесь 
— масса спутника, 
его центростремительное ускорение. По закону всемирного тяготения 
. Здесь 
— гравитационная постоянная, 
— расстояние от спутника до центра Земли, т.е. радиус круговой орбиты спутника (
), 
— масса Земли. Центростремительное ускорение спутника связано с линейной скоростью спутника соотношением 
или 
. Следовательно, получаем уравнение движения спутника на высоте 
: 
или 
Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой , находящееся на Земле, действует сила тяжести 
, равная по закону всемирного тяготения силе тяготения этого тела к Земле, поэтому 
или 
, откуда 
.
Таким образом, линейная скорость спутника равна 
,
а угловая скорость 
Задача №3
Шар массой 
движется со скоростью 
и сталкивается с покоящимся шаром массой 
и скоростью 
. Определить скорости шаров 
и 
после удара, если он абсолютно упругий, прямой, центральный.
Решение
Рассматриваемые в задаче оба шара образуют замкнутую систему и в случае упругого удара и импульс системы, и механическая (кинетическая) энергия сохраняется. Запишем оба закона сохранения (с учётом неподвижности второго шара до удара):
Таким образом, налетающий (первый) шар в результате удара уменьшил свою скорость с 1,05 м/с до 0,45 м/с, хотя и продолжил движение в прежнем направлении, а ранее неподвижный (второй) шар приобрёл скорость, равную 1,5 м/с и теперь оба шара движутся по одной прямой, и в одном направлении.
Задача №4
Баллон вместимостью 
наполнен азотом при температуре 
. Когда часть газа израсходовалась давление понизилось на 
. Определить массу 
израсходованного газа. Процесс считать изотермическим (при постоянной температуре).
Решение
Пусть 
— молярная масса азота;
— начальная и конечная масса газа; 
— расход газа.
— начальное и конечное давление газа в баллоне; 
— снижение давления газа;
— универсальная газовая постоянная.
Так как масса газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать ни законом Бойля-Мариотта, ни законом Шарля.равнением газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать законом Бойля-Мариотт Нужно для каждого состояния записать уравнение Менделеева-Клапейрона
, тогда 
Задача №5
Вычислить плотность азота 
, находящегося в баллоне под давлением 
и имеющего температуру 
.
Решение
Пусть — молярная масса азота;
— универсальная газовая постоянная;
— давление газа в баллоне;
— температура газа в баллоне.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для текущего состояния газа (с учётом, что 
):
.