Інтегральні характеристики векторних полів
СОДЕРЖАНИЕ: інтегральні характеристики векторних полів 1. Диференціальні операції другого порядку Нехай в області задані скалярне поле і векторне поле , причому функціїінтегральні характеристики векторних полів
1. Диференціальні операції другого порядку
Нехай в області 
задані скалярне поле 
і векторне поле 
, причому функції 
мають в області неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді 
і 
є диференційовними векторними полями, а 
– диференційовним скалярним полем.
До векторних полів і можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля 
– операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:
.
Операцію 
називають оператором Лапласа і позначають також символом 
:
.
З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді
.
Враховуючи, що
,
дістаємо
.
Функція 
, яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа 
, називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція 
є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд 
, при 
задовольняє рівняння Лапласа:
(потенціальне векторне поле 
є безвихровим) і
(векторне поле 
є соленоїдальним).
1. Дві інші повторні операції 
і 
пов’язані співвідношенням
, (1)
де 
– вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій 
.
2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів
Довільне неперервно диференційовне векторне поле 
може бути зображено у вигляді
, (2)
де 
– потенціальне поле, 
– соленоїдальне поле.
Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле є градієнтом деякого скалярного поля : 
. Тому для вектора із рівності (2) маємо
. (3)
Щоб векторне поле було соленоїдальним, воно має задовольняти умову 
, звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо
.
Таким чином, для скалярного потенціала поля отримуємо рівняння
, (4)
де 
– відома функція даного поля .
Отже, якщо функція є розв’язком рівняння (4), то, поклавши , , отримаємо зображення поля у вигляді (2), де – потенціальне поле, – соленоїдальне поле.
Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:
.
Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля у вигляді (2) не є єдиним.
2. Потік векторного поля
Розглянемо векторне поле , визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню 
. Нехай 
– поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні 
.
Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл
(5)
називається потоком векторного поля через поверхню в сторону, яка визначається вектором 
(кажуть також «потік через обрану сторону поверхні »).
Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток 
, а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.
Якщо 
– швидкість рухомої рідини, то 
є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню . Тому і у випадку довільного векторного поля інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню .
Розглянемо електричне поле 
точкового заряду 
, який міститься в точці 
. Знайдемо потік векторного поля через зовнішню сторону сфери радіуса 
з центром у точці . Нехай 
(
– точка на сфері ); тоді 
. Тому
,
де 
– діелектрична проникність середовища, 
.
Якщо в системі координат 
, а 
, то вираз (5) для потоку векторного поля можна записати у вигляді
. (6)
Кожен доданок у правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх сума, тобто потік 
, очевидно, не залежить від вибору системи координат.
3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі
Нехай в області визначено векторне поле ; – замкнена поверхня, яка обмежує область ; 
– одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні у точці .
Нехай, далі, 
та їхні частинні похідні 
неперервні в області . Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:
. (7)
Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є 
, а поверхневий інтеграл – потік векторного поля 
через поверхню . Тому формулу (7) можна записати у векторній формі:
. (8)
Фізичний зміст формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від дивергенції векторного поля . Щоб потік був відмінним від нуля, всередині області мають бути джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді є відмінною від нуля. Таким чином, характеризує джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва «розбіжність» або «дивергенція».
4. Властивості соленоїдального поля
Як відомо, векторне поле , яке задовольняє в області умову 
, називається соленоїдальним в цій області. Нехай область 
є об’ємно однозв’язною. Це означає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня лежить в області , то і область, яка обмежує поверхню , цілком належить області . Прикладами об’ємно однозв’язних областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор не є поверхнево однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами, не є об’ємно однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).
Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язній області має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільну замкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.
Відзначимо, що, якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в цій області) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бути відмінним від нуля. Так електричне поле 
точкового заряду, який міститься в точці , є соленоїдальним в кулі з викинутим центром (
при 
).
Слово «соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливим закон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.
Нехай – соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область, обмежену двома перерізами 
і 
та боковою поверхнею 
, яка складається із векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулу Остроградського-Гаусса (8). Оскільки в соленоїдальному полі 
, то потік векторного поля через поверхню області дорівнює нулю: 
( – одиничний вектор зовнішньої нормалі). На боковій поверхні маємо 
, тому 
.
Отже,
.
Рисунок 1 – Відрізок «векторної трубки»
Змінимо на перерізі напрям нормалі на протилежний (
– внутрішня нормаль до ). Тоді отримаємо
,
де обидва потоки через перерізи і обчислюються в напрямі векторних ліній.
Таким чином, у соленоїдальному (трубчастому) векторному полі потік через будь-який переріз векторної трубки набуває одного й того самого значення. Це і є закон збереження інтенсивності збереження векторної трубки.
5. Інваріантне означення дивергенції
Нехай в області , обмеженій поверхнею , визначено векторне поле . Запишемо формулу (8) для векторного поля в області . Застосовуючи до лівої частини цієї формули теорему про середнє, отримаємо
або
,
де 
– об’єм області , а 
– деяка точка області .
Зафіксуємо точку 
і стягуватимемо область до точки так, щоб залишалася внутрішньою точкою області . Тоді 
, а прямуватиме до . Внаслідок неперервності значення 
прямуватиме до . Таким чином, отримуємо
. (9)
У праву частину формули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) дає інваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторного поля залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системи координат.
6. Циркуляція векторного поля
Розглянемо векторне поле , визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку криву 
, на якій вказано напрям обходу (вибір напряму обходу називають також орієнтацією кривої). Нехай 
– одиничний дотичний вектор до кривої 
у точці , напрямлений в сторону обходу кривої.
Криволінійний інтеграл
(10)
називається циркуляцією векторного поля вздовж кривої у заданому напрямі.
Якщо взяти інший напрям обходу кривої (змінити орієнтацію), то вектор 
змінить напрям на протилежний, тому скалярний добуток 
, а, отже, і циркуляція (криволінійний інтеграл (10)) змінить знак.
Якщо 
– силове векторне поле, тобто 
– вектор сили, то циркуляція 
визначає роботу силового векторного поля вздовж кривої в заданому напрямі.
Якщо в прямокутній системі координат 
, а 
, то вираз (10) для циркуляції векторного поля можна записати в вигляді
. (11)
Кожний доданок у правій частині (11) залежить від вибору системи координат, проте їхня сума, тобто циркуляція 
, очевидно, не залежить від вибору системи координат.
Якщо ввести вектор 
, то циркуляцію можна записати у вигляді 
(порівняйте з правою частиною рівності (11)).
7. Формула Стокса у векторній формі
Нехай в області визначено векторне поле ; – замкнений контур, який лежить в області ; – довільна поверхня, межею якої є контур ; 
(«поверхня натягнута на контур »); – одиничний вектор нормалі на обраній стороні поверхні .
Нехай функції та їхні частинні похідні першого порядку неперервні на поверхні . Тоді справедлива формула Стокса
,
де орієнтація контуру узгоджена з орієнтацією поверхні . Ліва частина формули Стокса є циркуляцією векторного поля вздовж контура , а права частина визначає потік через поверхню векторного поля з координатами 
, тобто потік 
через поверхню . Тому формулу Стокса можна записати у векторній формі:
(12)
або
. (13)
Фізичний зміст формули Стокса: циркуляція векторного поля вздовж замкненого контуру дорівнює потоку ротора векторного поля через поверхню, натягнуту на цей контур.
8. Властивості потенціального поля
Як відомо, векторне поле , яке задовольняє в області умову 
, називається потенціальним у цій області ( – скалярний потенціал поля ). Якщо поле 
потенціальне в області , то 
і вираз 
є повним диференціалом функції в області . Це означає, що виконана умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування в просторі.
Таким чином, потенціальне в області поле має такі властивості.
1. Циркуляція потенціального поля вздовж довільного замкненого контуру 
дорівнює нулю:
.
2. Для довільних точок 
і 
області циркуляція потенціального поля 
вздовж кривої 
не залежить від вибору кривої 
і дорівнює різниці значень потенціала в точках і :
.
У випадку силового потенціального поля ця властивість означає, що робота такого поля вздовж кривої не залежить від вибору кривої, а залежить тільки від початкової і кінцевої точок і .
3. Потенціальне поле є безвихровим, тобто 
.
Нехай тепер дано векторне поле , яке задовольняє в області умову 
. Чи випливає звідси, що поле є потенціальним в області ? Відповідь на це запитання залежить від форми області . Якщо область є поверхнево однозв’язною, то із умови 
випливає, що існує функція 
така, що
.
Отже, 
, тобто поле є потенціальним в області .
Таким чином, умова є необхідною і достатньою умовою потенціальності поля у поверхнево однозв’язній області.
Потенціал потенціального поля у поверхнево однозв’язній області можна обчислити за формулою:
. (14)
Якщо область не є поверхнево однозв’язною, то умова не є достатньою для потенціальності поля в області .
9. Інваріантне означення ротора
Нехай в області визначено векторне поле . Зафіксуємо точку і деяку площину, яка проходить через цю точку. Нехай – одиничний вектор нормалі до площини, – замкнений контур, який лежить в площині і обмежує область таку, що 
– внутрішня точка області . Запишемо формулу (12) для векторного поля в області . Застосовуючи до правої частини цієї формули теорему про середнє, отримуємо
,
диференціальне векторне поле формула соленоїдальне
звідки
,
де 
– площа області , – деяка точка області .
Стягуватимемо область до точки так, щоб залишалася внутрішньою точкою області . Тоді 
, а прямуватимемо до . Внаслідок неперервності значення 
прямуватимемо до 
. Таким чином, отримуємо
.
У праву частину формули входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура і площа плоскої області). Тому дана формула дає інваріантне означення проекції в точці на напрям, який виражається заданим вектором .
Отже, проекція ротора векторного поля на довільний напрям, а отже, і сам залежить тільки від векторного поля і не залежить від вибору системи координат.
Для означення вектора вищезазначеним способом достатньо розглянути в заданій точці проекції на три довільних некомпланарних напрями. Такими трьома проекціями визначається однозначно.
Размещено на