Решение нелинейных уравнений
СОДЕРЖАНИЕ: Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.Лабораторная работа
Решение нелинейных уравнений
Задание
N =07
М=2
Дано уравнение: 
1. Найти все решения уравнения графически.
2. Уточнить значение одного из действительных решений уравнения с точностью до
e= 0,001:
2.1. *методом половинного деления;
2.2. *методом Ньютона - Рафсона;
2.3. методом секущих;
2.4. конечно-разностным методом Ньютона;
2.5. *методом простой итерации;
2.6. *методом хорд и касательных
2.7. комбинированным методом Ньютона.
3. Результаты расчетов оформить таблично с кратким описанием каждого использованного метода: расчетные формулы, выбор начального приближения, критерий остановки и пр.
4. Из методов пункта 2 задание на лабораторную работу предусматривает обязательное использование 4-х методов, отмеченных звездочками, и одного из остальных методов по усмотрению студента.
нелинейный уравнение графический ньютон итерация
1. Решение уравнения графически:
2. Метод половинного деления
Расчетная формула: следующее значение x получается делением отрезка пополам.
Начальное приближение: 
Критерий остановки: 
2
; 
.
Таблица результатов
| Метод половинного деления | ||||||||||
| k | ak | bk | xk | f(ak ) | f(bk ) | f(xk ) | |bk -ak | | f(xk )*f(ak ) | f(xk )*f(bk ) | |bk -ak |2 |
| 0 | 0 | 1,5 | 0,75 | -2,070 | 4,305 | -0,148 | 1,5 | 0,306360 | -1,000000 | - |
| 1 | 0,75 | 1,5 | 1,125 | -0,148 | 4,305 | 1,604 | 0,75 | -0,237392 | 6,905220 | - |
| 2 | 0,75 | 1,125 | 0,938 | -0,148 | 1,604 | 0,631 | 0,375 | -0,093388 | 1,012120 | - |
| 3 | 0,75 | 0,938 | 0,844 | -0,148 | 0,631 | 0,219 | 0,188 | -0,032412 | 0,138190 | - |
| 4 | 0,75 | 0,844 | 0,797 | -0,148 | 0,219 | 0,03 | 0,094 | -0,004440 | 0,006570 | - |
| 5 | 0,75 | 0,797 | 0,774 | -0,148 | 0,03 | -0,058 | 0,047 | 0,008584 | -0,001740 | - |
| 6 | 0,774 | 0,797 | 0,786 | -0,058 | 0,03 | -0,012 | 0,023 | 0,000696 | -0,000360 | - |
| 7 | 0,786 | 0,797 | 0,792 | -0,012 | 0,03 | 0,011 | 0,011 | -0,000132 | 0,000330 | - |
| 8 | 0,786 | 0,792 | 0,789 | -0,012 | 0,011 | -0,001 | 0,006 | 0,000012 | -0,000010 | - |
| 9 | 0,789 | 0,792 | 0,791 | -0,001 | 0,011 | 0,007 | 0,003 | -0,000007 | 0,000080 | - |
| 10 | 0,789 | 0,791 | 0,790 | -0,001 | 0,007 | 0,003 | 0,002 | -0,000003 | 0,000020 | - |
| 11 | 0,789 | 0,790 | 0,790 | -0,001 | 0,003 | 0,003 | 0,001 | + | ||
3. Метод Ньютона – Рафсона
Расчетная формула: 
, где 
Начальное приближение:
.
Критерий остановки: |f(xk+1
)-f(xk
)|; .
Таблица результатов:
| Метод Ньютона – Рафсона | ||||
| k | xk | f(xk ) | f(xk ) | |f(xk+1 )-f(xk )| |
| 0 | 0,75 | -0,1481 | 3,688 | - |
| 1 | 0,79 | 0,003 | 3,872 | - |
| 2 | 0,789 | -0,0008 | 3,868 | + |
4. Метод Ньютона – Рассела
Расчетная формула: 
Начальное приближение: : x = 0,75
Критерий остановки: |f(xk+1
)-f(xk
)|, .
Таблица результатов:
| Метод Ньютона – Рассела | ||||||
| k | xk | h | xk +h | f(xk ) | f(xk +h) | |f(xk+1 )-f(xk )| |
| 0 | 0,75 | 1 | 1,75 | -0,1481 | 6,789 | - |
| 1 | 0,771 | 1 | 1,771 | -0,0697 | 7,027 | - |
| 2 | 0,781 | 1 | 1,781 | -0,0316 | 7,141 | - |
| 3 | 0,785 | 1 | 1,785 | -0,0163 | 7,187 | - |
| 4 | 0,787 | 1 | 1,787 | -0,0086 | 7,211 | - |
| 5 | 0,788 | 1 | 1,788 | -0,0047 | 7,222 | - |
| 6 | 0,789 | 1 | 1,789 | -0,0008 | 7,234 | - |
| 7 | 0,789 | 1 | 1,789 | -0,0008 | 7,234 | + |
5. Метод простой итерации
Расчетная формула:. x
=
(x
), где (x)=x - kf(x), k=0.11
Начальное приближение: x= 0,75
Критерий остановки: |xk+1
-xk
|; .
Таблица результатов
| Метод простой итерации | |||
| k | xk | (xk ) | |xk+1 -xk | |
| 0 | 0,5 | 0,604 | - |
| 1 | 0,604 | 0,675 | - |
| 2 | 0,675 | 0,720 | - |
| 3 | 0,720 | 0,748 | - |
| 4 | 0,748 | 0,765 | - |
| 5 | 0,765 | 0,775 | - |
| 6 | 0,775 | 0,781 | - |
| 7 | 0,781 | 0,784 | - |
| 8 | 0,784 | 0,786 | - |
| 9 | 0,786 | 0,787 | - |
| 10 | 0,787 | 0,788 | - |
| 11 | 0,788 | 0,789 | - |
| 12 | 0,789 | 0,789 | + |
6. Метод хорд и касательных
Расчетная формула: 
,
,где 
.
Начальное приближение: 
,
Критерий остановки: 
; .
Таблица результатов:
| Метод хорд и касательных | |||||||||||
| k | ak | bk | f(ak ) | f(bk ) | f(ak ) | f(bk ) | f(ak ) | f(bk ) | f(ak ) *f(ak ) | f(bk ) *f(bk ) | |bk -ak |2 |
| 0 | 0 | 1,5 | -2,070 | 4,305 | 2 | 8,75 | 0 | 9 | 0 | 38,745 | - |
| 1 | 0,487 | 1,022 | -0,980 | 1,041 | 2,712 | 5,133 | 2,922 | 6,132 | -2,86 | 6,383 | - |
| 2 | 0,746 | 0,852 | -0,163 | 0,252 | 3,67 | 4,178 | 4,476 | 5,112 | -0,73 | 1,288 | - |
| 3 | 0,788 | 0,803 | -0,005 | 0,054 | 3,863 | 3,934 | 4,728 | 4,818 | -0,02 | 0,26 | - |
| 4 | 0,789 | 0,792 | -0,001 | 0,011 | 3,868 | 3,882 | 4,734 | 4,752 | -0,01 | 0,052 | - |
| 5 | 0,789 | 0,79 | -0,001 | 0,003 | 3,868 | 3,872 | 4,734 | 4,74 | -0,01 | 0,014 | + |
Вывод
| Название метода | Вычислительная сложность | Сложность реализации |
Глобальная сходимость |
Скорость сходимости |
|
| h | Произв. | ||||
| Метод Ньютона-Рафсона | - | + | +++ | - | квадратичная |
| Метод половинного деления | - | - | + | + | линейная |
| Метод простой итерации | - | - | + | - | линейная |
| Конечно-разностный метод | + | - | ++ | - | сверхлинейная (при хорошем выборе h) |
| Метод секущих | - | + | ++ | - | сверхлинейная |
| Метод хорд и касательных | - | + | +++ | квадратичная | |
| Метод хорд | - | + | +++ | - | Сначала лин., потом сверхлин. |