Сигналы и их характеристики
СОДЕРЖАНИЕ: Использование электрических сигналов в технических системах. Классификация сигналов: непрерывные и дискретные, детерминированные и случайные, периодические, каузальные, финитные, когерентные и ортогональные. Длительность, ширина, объем и база сигнала.Тема: Сигналы и их характеристики
Сигнал - физический процесс, отображающий сообщение. В технических системах чаще всего используются электрические сигналы. Сигналы, как правило, являются функциями времени.
1. Классификация сигналов
Сигналы можно классифицировать по различным признакам:
1. Непрерывные ( аналоговые) - сигналы, которые описываются непрерывными функциями времени, т.е. принимают непрерывное множество значений на интервале определения. Дискретные - описываются дискретными функциями времени т.е. принимают конечное множество значений на интервале определения.
Детерминированные - сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени, т.е. значения которых определены в любой момент времени. Случайные - описываются случайными функциями времени, т.е. значения которых в любой момент времени является случайной величиной. Случайные процессы (СП) можно классифицировать на стационарные, нестационарные, эргодические и неэргодические, а так же, гауссовы, марковские и т.д.
3. Периодические - сигналы, значения которых повторяются через интервал, равный периоду
х (t) = х (t+nT), где n = 1,2,...,; T - период.
4. Kаузальные - сигналы, имеющие начало во времени.
5. Финитные - сигналы конечной длительности и равные нулю вне интервала определения.
6. Когерентные - сигналы, совпадающие во всех точках определения.
7. Ортогональные - сигналы противоположные когерентным.
2. Характеристики сигналов
1. Длительность сигнала ( время передачи) Тс - интервал времени, в течении которого существует сигнал.
2. Ширина спектра Fc - диапазон частот, в пределах которых сосредоточена основная мощность сигнала.
3. База сигнала - произведение ширины спектра сигнала на его длительность.
4. Динамический диапазон Dc - логарифм отношения максимальной мощности сигнала - Pmax к минимальной - Pmin ( минимально-различи-мая на уровне помех):
Dc = log (Pmax /Pmin ).
В выражениях, где может быть использованы логарифмы с любым основанием, основание логарифма не указывается.
Как правило, основание логарифма определяет единицу измерения (например: десятичный - [Бел], натуральный - [Непер]).
5. Объем сигнала определяется соотношениемVc = Tc Fc Dc .
6. Энергетические характеристики: мгновенная мощность - P (t); средняя мощность - Pср и энергия - E. Эти характеристики определяются соотношениями:
P (
t) =
x2
(
t); 
; 
(1)
где T = tmax - tmin .
3. Математические модели случайных сигнлов
Детерминированное, т.е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т.к получателю заранее известно, каким будет переда-ваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер [11].
Случайный (стохастический, вероятностный) процесс - процесс, который описывается случайными функциями времени.
Случайный процесс Х (t) может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени xi (t), называемых реализациями или выборками (см. рис.1).
 |
Рис.1. Реализации случайного процесса X (t)
Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: Fn (x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ), или плотность вероятности fn (x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ).
Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями,
поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f1
(x, t),
характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f2
(x1
, x2
; t1
, t2
),
характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.
Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)
; (2)
средний квадрат (начальный момент второго порядка)
; (3)
дисперсия (центральный момент второго порядка)
; (4)
корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса
. (5)
При этом справедливо следующее соотношение:
(6)
Стационарные процессы - процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.
Эргодические процессы - процесс, в которых результаты усреднения и по множеству совпадают.
Гауссовы процессы - процессы с нормальным законом распределения:
(7)
Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т.к большинство помех являются нормальными.
В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.
Марковский процесс - случайный процесс, у которых вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.
4. Формы аналитического описания сигналов
Сигналы могут быть представлены во временной, операторной или частотной области, связь между которыми определяется с помощью преобразований Фурье и Лапласа (см. рис.2).
Преобразование Лапласа:
L: 
L-1
: 
(8)
Преобразования Фурье:
F: 
F-1
: 
(9)
L:
L-1:
F-1 : p=jw
F: jw=p
Рис.2 Области представления сигналов
При этом могут быть использованы различные формы представления сигналов с виде функций, векторов, матриц, геометрическое и т.д.
При описании случайных процессов во временной области используется, так называемая, корреляционная теория случайных процессов, а при описании в частотной области - спектральная теория случайных процессов.
С учетом четности функций 
и 
и в соответствии с формулами Эйлера:
(10)
можно записать выражения для корреляционной функции Rx ( t) и энергетического спектра (спектральной плотности) случайного процесса Sx ( w), которые связанны преобразованием Фурье или формулами Винера - Хинчина
; (11)
. (12)
5. Геометрическое представление сигналов и их характеристик
Любые n - чисел можно представить в виде точки (вектора) в n -мерном пространстве, удаленной от начала координат на расстоянии D ,
где 
. (
13)
Сигнал длительностью Tс и шириной спектра Fс , в соответствии с теоремой Котельникова определяется N отсчетами, где N = 2Fc Tc .
Этот сигнал может быть представлен точкой в n - мерном пространстве или вектором, соединяющим эту точку с началом координат [5].
Длина этого вектора (норма) равна:
; (14)
где xi =x (n Dt) - значение сигнала в момент времени t = n. Dt.
Допустим: X - передаваемое сообщение, а Y - принимаемое. При этом они могут быть представлены векторами (рис.3).
X2 ,Y2
x2 X
d
y2 Y
g
X1 , Y1
0 a 1 a 2 x1 y1
Рис.3. Геометрическое представление сигналов
Определим связи между геометрическим и физическим представлением сигналов. Для угла между векторами X и Y можно записать
cos g = cos ( a1 - a2 ) = cos a1 cos a2 + sin a1 sin a2 =
=
(
15)
Для N - отсчетов:
cos
g
(16)
Найдем модуль формального вектора. Для этого рассмотрим кванто-ванный сигнал (рис. 4).
 |
Рис. 4. График сигнала
Рис.4. График сигнала
Средняя мощность сигнала
.
Энергия сигнала
.
Энергия кванта
.
Энергию квантованного сигнала можно определить по формуле
.
При этом модуль сигнала равен
.
Взаимная корреляционная функция равна
.
При этом
.
Это нормированная корреляционная функция
Если g = 90о , то rxy ( t) = 0 - сигналы ортогональны, т.е. независимы;
Если g = 0, то rxy ( t) = 1 - передаваемый сигнал равен принятому;
Вектор d - характеризует (помеху) ошибку. Определим дисперсию ошибки:
По вектору ошибки определяют, допустима ли ее величина.
Список литературы
1. Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. NewYork: JohnWiley Sons, 1996.
2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. Радиотехника. - М.: Высш. шк., 2000.
3. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ., под ред.А.М. Трахтмана. - М., Сов. радио, 1973, 368 с.
4. Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. - Харьков: ХПУ, 2000.
5. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. - М.: Высш. шк., 1982.
6. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. -М.: Наука, 1982.
7. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.
8. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ. М.: Мир, 1990.
9. Рудаков П. И, Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений Matlab 5. x. Диалог-МИФИ. 2000.
10. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002.