Системы линейных уравнений и неравенств
СОДЕРЖАНИЕ: Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.Системы линейных уравнений и неравенств
Основные вопросы лекции: основные понятия и определения теории систем уравнений; система n линейных уравнений с n неизвестными; метод обратной матрицы; метод Крамера; метод Гаусса; теорема Кронекера-Капелли; система n линейных уравнений с m неизвестными; однородные системы линейных уравнений; фундаментальная система решений; структура общего решения.
Система mлинейных уравнений с nпеременными имеет вид:
или
(1)
где a11 , a12 , … , amn — произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и b1 ,b2 , … , bm - свободными членами уравнений.
Решением системы(1) называется такая совокупность nчисел х1 , х2 , ... , хn , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:
; В=(b1
, b2
, … , bn
)т
; Х=(x1
, x2
, … , xn
)т
где А— матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, X — матрица-столбец переменных; В — матрица-столбец свободных членов.
На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде:
А*Х=B (2)
А матрица состоящая из А, В, Х матриц называется расширенной матрицей:
- расширенная матрица.
Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных — заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Рассмотрим решение системы (1) mлинейных уравнений с nпеременными в общем виде:
(3)
Если m=n, то рассмотрим расширенную матрицу. Учитывая правую часть, приведем данную матрицу к треугольному виду:
Ситема линейных уравнении соотвествующее данной матрице запишем в следуюшем виде
(4)
Если в данном уравнении cnn 0, cn-1n-1 0, ... , c33 0, c22 0, a11 0 то, в первую очередь найдем
xn , а затем постепенно поднимаясь находим остольные решения - xn-1 , … , x3 , x2 , x1 .
Формула Крамера
Теорема Крамера. Пусть |A|— определитель матрицы системы А, а j — определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
(5)
Формулы (5) получили название формул Крамера.
Метод обратной матрицы
Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель =|A| называется определителем системы.
(1) уравнение можно записать в матричном виде
А*Х=B (6)
, 
, 
.
Умножая слева обе части матричного равенства (6) на матрицу А-1 ,получим А-1 (АХ)=А-1 В. Так как А-1 (АХ)=( А-1 А)Х=ЕХ=Х,то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец
Х=А-1 *B (7).
Система n линейных уравнений с n переменными
Решение системы n линейных уравнений с n переменными находять ниже укаженными методами:
1) Метод обратной матрицы;
2) Формула Крамера;
3) Метод Гаусса.
Теорема Кронекер – Капелли. Система m линейных уравнений с n переменными
Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1) имеет единственное решение.
2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. rn, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
Системы линейных однородных уравнений
Система mлинейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:
(8)
Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0; 0; ...; 0).
Систему (8) можно записать а виде:
А*Х=0 (9).
Если в системе (8) m=n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.
Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A)n.