Безкінечно малі функції
СОДЕРЖАНИЕ: Безкінченно малі функції Визначення 1. Функція f(x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при хх0), якщоБезкінченно малі функції
Визначення 1. Функція f( x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при х - х0 ), якщо f( x)=0 .Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при
Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю , то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f ( x ) називається нескінченно малою в точці х=х0 , якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовільняющих нерівності , виконується нерівність і на язику послідовності: функція називається безкінечно малою в точці х=х0 , якщо для любої зводящоїсі до х0 послідовність являється нескінченно малою.
Теорема. Для виконання рівняння f( x)= A необхідно і достатньо, щоб функція була х - х0 нескінченно малою при х - х0
Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності.
Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при х - х0 , а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при х - х0 .
Нескінченно великі функції
Визначення. Функція f( x) називається безкінченно великою функцією в точці х= х0 (або при х - х0 ), якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність .
В цьому випадку пишуть f( x)= і говорять, що функція стремиться до нескінченності при х - х0 або, що вона має нескінченну межу в точці х = х0 .
Якщо виконується нерівність , то пишуть f( x)= і говорять, що функція має в точці х0 нескінченну межу, рівну .
Так наприклад, пишуть f( x)= , якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовольняючих нерівностями , виконується нерівність .
“На язику послідовності” це визначення записується так: , якщо для любої зводящої ??? до х0 послідовності значення аргументу х , елементи х n який більше x0 , відповідають послідовності значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака.
Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при . Так, наприклад: функція f(x) називається нескінченно великою при , якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність . При цьому пишуть f(x)= . Якщо виконується нерівність , то пишуть f(x)= ( ).
На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же звязок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот.
Насправді, нехай f(x)=0 і f(x)0 при .
Докажем, що .
Задамо довільне . Так як f(х) – нескінченно мала функція в точці х0 , то для числа 1/існує таке, що для всіх , задовільняющих нерівностям , виконується нерівність . Но тоді для тих же х виконується нерівність , т.с. - нескінченно велика функція в точці х=х0 , що і потрібно було доказати.