Экономико математические методы
СОДЕРЖАНИЕ: Контрольная работа по курсу «» Вариант 0 Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.Контрольная работа по курсу «Экономико-математические методы»
Вариант 0
Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.
Таблица 2. Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550 кг
| № варианта | Среднесуточный удой, кг | Потребность в | |
| кормовых единицах, кг | переваримом протеине, г | ||
| 0 | 12 | 10,3 | 1136 |
Рацион составляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма показано в табл. 3.
Таблица 3. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов
| Показатель | Комбикорм | Сено | Силос |
| Кормовые единицы, кг | 1 | 0,5 | 0,2 |
| Переваримый протеин, г | 160 | 60 | 30 |
| Себестоимость 1 кг корма, руб. | 4,2 | 0,9 | 0,6 |
Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующее допустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)
Таблица 4. Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребности в корм. ед.
| № варианта | Концентрированные корма, не менее | № варианта | Грубые корма, не более |
| 0 | 26% | 0 | 21% |
Составить рацион кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу вручную симплексным методом.
Решение:
Выразим все условия задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого обозначим через х1 – искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 – сена (кг) и через х3 – силоса (кг).
Составим систему ограничений:
1) условие по содержанию кормовых единиц в рационе:
1*х1+0,5*х2+0,2*х310,3
2) условие по содержанию переваримого протеина в рационе:
160*х1+60*х2+30*х31136
3) условие по содержанию концентратов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):
1*х12,678
4) условие по содержанию грубых кормов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):
0,5*х22,163
Целевая функция – минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3®min
Перейдем в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные:
1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3
2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136
3) 1*х1-х6=2,678
4) 0,5*х2+х7=2,163
Целевая функция – минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7®min
Дополнительные переменные имеют следующий экономический смысл:
х4 – количество кормовых единиц сверх минимума, кг
х5 – количество переваримого протеина сверх минимума, г
х6 – количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.
х7 – разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим содержанием в рационе, кг корм. ед.
В ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.
1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3
2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136
3) 1*х1-х6+у3=2,678
4) 0,5*х2+х7=2,163
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3®min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) ®0
Разрешим уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для удобства двумя строками:
1) у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)
2) у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)
3) у3=2,678-(1*х1-1*х6)
4) х7=2,163-(0,5*х2)
Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) ®min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) ®0
Заполним симплексную таблицу 1:
| i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | bi/aij |
| 1 | y1 | 10,300 | 1,000 | 0,500 | 0,200 | -1,000 | 0,000 | 0,000 | 10,300 |
| 2 | y2 | 1136,000 | 160,000 | 60,000 | 30,000 | 0,000 | -1,000 | 0,000 | 7,100 |
| 3 | y3 | 2,678 | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | -1,000 | 2,678 |
| 4 | x7 | 2,163 | 0,000 | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | - |
| m+1 | Z | 0,000 | -4,200 | -0,900 | -0,600 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | X |
| m+2 | F | 1151,141M | 157,8M | 60,1M | 29,6M | -M | -M | -M | x |
- Разрешающий столбец – х1.
- Разрешающая строка – у3.
- Заполняется симплексная таблица 2.
3.1. Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1 вводится в базис.
3.2. Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:
1/1=1
3.3. Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей:
2,678/1=2,678; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1
157,8М/(-1)=157,8М
3.4. Расчет остальных элементов таблицы:
Столбца bi:
10,300-1*2,678=7,622; 1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;
0-(-4,200)*2,678=11,248; 1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;
Столбца х2:
0,500-1,000*0,000=0,5000; 60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при расчете требуется постоянно умножать на 0,000
без изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.
Расчет элементов столбца х6:
0,000-1,000*(-1,000)=1,000; 0,000-160,000*(-1,000)=160,000;
0,000-0,000*(-1,000)=0,000; 0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;
-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.
Аналогично составляем симплексную таблицу 2:
| i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | bi/aij |
| 1 | y1 | 7,622 | -1,000 | 0,500 | 0,200 | -1,000 | 0,000 | 1,000 | 7,622 |
| 2 | y2 | 707,520 | -160,000 | 60,000 | 30,000 | 0,000 | -1,000 | 160,000 | 4,422 |
| 3 | x1 | 2,678 | -1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | -1,000 | -2,678 |
| 4 | x7 | 2,163 | 0,000 | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | - |
| m+1 | Z | 11,248 | -4,200 | -0,900 | -0,600 | 0,000 | 0,000 | -4,200 | X |
| m+2 | F | 728,552М | -157,8M | 60,1M | 29,6M | -M | -M | 156,8М | x |
Симплексная таблица 3:
| i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | x2 | x3 | x4 | x5 | y2 | bi/aij |
| 1 | y1 | -152,378 | -159,500 | -159,800 | -161,000 | -160,000 | 0,955 | ||
| 2 | x6 | 4,422 | 0,375 | 0,188 | 0,000 | -0,006 | 11,792 | ||
| 3 | x1 | 162,678 | 160,000 | 160,000 | 160,000 | 160,000 | 1,017 | ||
| 4 | x7 | 2,163 | 0,500 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 4,326 | ||
| m+1 | Z | 683,248 | 671,100 | 671,400 | 672,000 | 672,000 | X | ||
| m+2 | F | -24359,448M | 60,1M | -25058,4M | -25089M | -25089M | x |
Симплексная таблица 4:
| i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | х7 | x3 | x4 | x5 | y2 | bi/aij |
| 1 | y1 | -153,460 | -319,000 | -159,800 | -161,000 | -160,000 | 0,960 | ||
| 2 | x6 | 3,341 | 0,750 | 0,188 | 0,000 | -0,006 | -0,021 | ||
| 3 | x1 | 1,082 | 320,000 | 160,000 | 160,000 | 160,000 | -0,007 | ||
| 4 | х2 | 4,326 | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | -0,006 | ||
| m+1 | Z | 682,167 | 1342,200 | 671,400 | 672,000 | 672,000 | -4,269 | ||
| m+2 | F | -243360,53М | 120,2М | 160,4M | -25089M | -25089M | x |
Симплексная таблица 5:
| i | Базисные переменные | Свободные члены, bi | y3 | х7 | у1 | x4 | x5 | y2 | bi/aij |
| 1 | х3 | 27,295 | -319,000 | 1,000 | -1,200 | -25728,000 | - | ||
| 2 | x6 | -0,986 | 0,750 | -0,001 | 0,000 | -25568,006 | - | ||
| 3 | x1 | 2,678 | 320,000 | -1,001 | -25567,800 | -25408,000 | - | ||
| 4 | х2 | 4,326 | 1,000 | 0,000 | 0,000 | -25568,000 | - | ||
| m+1 | Z | 677,841 | 1342,200 | -4,202 | -25055,800 | -24896,000 | х | ||
| m+2 | F | 0М | 0М | 0M | 0M | 0M | x |
Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.
Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти 4000т зелено й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл. 6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.
Таблица 5. Количество зеленой массы с полей, т
| № варианта | Поле | ||||
| 1-е | 2-е | 3-е | 4-е | 5-е | |
| 0 | 800 | 1000 | 1200 | 400 | 600 |
Таблица 6. Потребность ферм в зеленой массе, т
| № варианта | Ферма | |||
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | |
| 0 | 1000 | 600 | 800 | 1600 |
Таблица 7. Расстояние от полей до ферм, км
| Поля | Ферма | |||
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | |
| 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 |
| 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 |
| 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 |
| 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 |
| 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 |
Составить такой план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется решить задачу методом потенциалов.
Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом«наилучшего» элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1
| Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Ui | |||
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | |||
| 1-е | 5 | 6 | 2- | 2- | 0 | |
| 400 | 400 | 800 | ||||
| 2-е | 9- | 7 | 4+ | 6+ | 5 | |
| 1000 | 1000 | |||||
| 3-е | 7+ | 1 | 4 | 5 | 3 | |
| 600 | 600 | 1200 | ||||
| 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | 0 | |
| 400- | 400 | |||||
| 5-е | 6 | 4 | 3 | 4- | 2 | |
| 600 | 600 | |||||
| Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | 4000 | Z |
| Vj | 4 | -2 | 2 | 2 | 17400 | |
Переходим к анализу первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.
Проверим, является ли план оптимальным. Если нет – улучшим его.
1. Рассчитаем значения потенциалов:
u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;
v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2
2. Рассчитаем характеристики для свободных клеток:
| d | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 8 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 4 | -1 | -1 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 4 | 0 | 2 |
| 5 | 0 | 4 | -1 | 0 |
3. Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3, для которой строим цепь.
4. Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.
| Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Ui | |||
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | |||
| 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 | 0 | |
| 44 | 756 | 800 | ||||
| 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 | 5 | |
| 756 | 244 | 1000 | ||||
| 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 | 3 | |
| 400 | 600 | 200 | 1200 | |||
| 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | 0 | |
| 400 | 400 | |||||
| 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 | 2 | |
| 200 | 400 | 600 | ||||
| Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | 4000 | Z |
| Vj | 6 | -2 | 2 | 2 | 15288 | |
Расчеты ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2
Перераспределяем по цепи поставку 400. Строим таблицу 3.
| Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Ui | |||
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | |||
| 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 | 0 | |
| 0 | 0 | 44 | 756 | 800 | ||
| 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 | 3 | |
| 0 | 0 | 756 | 244 | 1000 | ||
| 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 | 1 | |
| 0 | 600 | 0 | 600 | 1200 | ||
| 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | 1 | |
| 400 | 0 | 0 | 0 | 400 | ||
| 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 | 2 | |
| 600 | 0 | 0 | 0 | 600 | ||
| Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | 4000 | Z |
| Vj | 6 | 0 | 1 | 2 | 15288 | |
Анализ решения: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров
Решение методом линейного прораммирования:
1. Проверим, прежде всего условие равенства ресурсов:
С полей поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы
Потребность ферм в зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам потребителей.
2. Пусть Xij – количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем ограничения:
х11+х12+х13+х14=800
х21+х22+х23+х24=1000
х31+х32+х33+х34=1200
х41+х42+х43+х44=400
х51+х52+х53+х54=600
Из условия потребностей ферм:
х11+х21+х31+х41+х51=1000
х12+х22+х32+х42+х52=600
х13+х23+х33+х43+х53=800
х14+х24+х34+х44+х54=1600
Целевая функция задачи – количество тонна-километров:
Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+
9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+
7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+
5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+
6*х51+4*х52+3*х53+4*х54®min
Решим систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате выполнения программы, получаем решение:
| Поле | Ферма | Наличие зеленой массы, т | Сумма | |||
| 1-я | 2-я | 3-я | 4-я | |||
| 1-е | 5 | 6 | 2 | 2 | ||
| 0 | 0 | 44 | 756 | 800 | 800 | |
| 2-е | 9 | 7 | 4 | 6 | ||
| 0 | 0 | 756 | 244 | 1000 | 1000 | |
| 3-е | 7 | 1 | 4 | 5 | ||
| 0 | 600 | 0 | 600 | 1200 | 1200 | |
| 4-е | 5 | 2 | 2 | 4 | ||
| 400 | 0 | 0 | 0 | 400 | 400 | |
| 5-е | 6 | 4 | 3 | 4 | ||
| 600 | 0 | 0 | 0 | 600 | 600 | |
| Потребность в зеленой массе, т | 1000 | 600 | 800 | 1600 | Z | |
| Сумма | 1000 | 600 | 800 | 1600 | 15288 | |
Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров.