Экономико математические методы

СОДЕРЖАНИЕ: Контрольная работа по курсу «» Вариант 0 Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.

Контрольная работа по курсу «Экономико-математические методы»

Вариант 0

Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.

Таблица 2. Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550 кг

№ варианта Среднесуточный удой, кг Потребность в
кормовых единицах, кг переваримом протеине, г
0 12 10,3 1136

Рацион составляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма показано в табл. 3.

Таблица 3. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов

Показатель Комбикорм Сено Силос
Кормовые единицы, кг 1 0,5 0,2
Переваримый протеин, г 160 60 30
Себестоимость 1 кг корма, руб. 4,2 0,9 0,6

Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующее допустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)

Таблица 4. Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребности в корм. ед.

№ варианта Концентрированные корма, не менее № варианта Грубые корма, не более
0 26% 0 21%

Составить рацион кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу вручную симплексным методом.

Решение:

Выразим все условия задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого обозначим через х1 – искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 – сена (кг) и через х3 – силоса (кг).

Составим систему ограничений:

1) условие по содержанию кормовых единиц в рационе:

1*х1+0,5*х2+0,2*х310,3

2) условие по содержанию переваримого протеина в рационе:

160*х1+60*х2+30*х31136

3) условие по содержанию концентратов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):

1*х12,678

4) условие по содержанию грубых кормов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):

0,5*х22,163

Целевая функция – минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3®min

Перейдем в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные:

1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3

2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136

3) 1*х1-х6=2,678

4) 0,5*х2+х7=2,163

Целевая функция – минимум себестоимости рациона:

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7®min

Дополнительные переменные имеют следующий экономический смысл:

х4 – количество кормовых единиц сверх минимума, кг

х5 – количество переваримого протеина сверх минимума, г

х6 – количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.

х7 – разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим содержанием в рационе, кг корм. ед.

В ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.

1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3

2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136

3) 1*х1-х6+у3=2,678

4) 0,5*х2+х7=2,163

Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3®min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) ®0

Разрешим уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для удобства двумя строками:

1) у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)

2) у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)

3) у3=2,678-(1*х1-1*х6)

4) х7=2,163-(0,5*х2)

Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) ®min

F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) ®0

Заполним симплексную таблицу 1:

i Базисные переменные Свободные члены, bi x1 x2 x3 x4 x5 x6 bi/aij
1 y1 10,300 1,000 0,500 0,200 -1,000 0,000 0,000 10,300
2 y2 1136,000 160,000 60,000 30,000 0,000 -1,000 0,000 7,100
3 y3 2,678 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -1,000 2,678
4 x7 2,163 0,000 0,500 0,000 0,000 0,000 0,000 -
m+1 Z 0,000 -4,200 -0,900 -0,600 0,000 0,000 0,000 X
m+2 F 1151,141M 157,8M 60,1M 29,6M -M -M -M x
  1. Разрешающий столбец – х1.
  2. Разрешающая строка – у3.
  3. Заполняется симплексная таблица 2.

3.1. Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1 вводится в базис.

3.2. Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:

1/1=1

3.3. Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей:

2,678/1=2,678; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1

157,8М/(-1)=157,8М

3.4. Расчет остальных элементов таблицы:

Столбца bi:

10,300-1*2,678=7,622; 1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;

0-(-4,200)*2,678=11,248; 1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;

Столбца х2:

0,500-1,000*0,000=0,5000; 60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при расчете требуется постоянно умножать на 0,000

без изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.

Расчет элементов столбца х6:

0,000-1,000*(-1,000)=1,000; 0,000-160,000*(-1,000)=160,000;

0,000-0,000*(-1,000)=0,000; 0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;

-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.

Аналогично составляем симплексную таблицу 2:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3 x2 x3 x4 x5 x6 bi/aij
1 y1 7,622 -1,000 0,500 0,200 -1,000 0,000 1,000 7,622
2 y2 707,520 -160,000 60,000 30,000 0,000 -1,000 160,000 4,422
3 x1 2,678 -1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -1,000 -2,678
4 x7 2,163 0,000 0,500 0,000 0,000 0,000 0,000 -
m+1 Z 11,248 -4,200 -0,900 -0,600 0,000 0,000 -4,200 X
m+2 F 728,552М -157,8M 60,1M 29,6M -M -M 156,8М x

Симплексная таблица 3:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3 x2 x3 x4 x5 y2 bi/aij
1 y1 -152,378 -159,500 -159,800 -161,000 -160,000 0,955
2 x6 4,422 0,375 0,188 0,000 -0,006 11,792
3 x1 162,678 160,000 160,000 160,000 160,000 1,017
4 x7 2,163 0,500 0,000 0,000 0,000 4,326
m+1 Z 683,248 671,100 671,400 672,000 672,000 X
m+2 F -24359,448M 60,1M -25058,4M -25089M -25089M x

Симплексная таблица 4:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3 х7 x3 x4 x5 y2 bi/aij
1 y1 -153,460 -319,000 -159,800 -161,000 -160,000 0,960
2 x6 3,341 0,750 0,188 0,000 -0,006 -0,021
3 x1 1,082 320,000 160,000 160,000 160,000 -0,007
4 х2 4,326 1,000 0,000 0,000 0,000 -0,006
m+1 Z 682,167 1342,200 671,400 672,000 672,000 -4,269
m+2 F -243360,53М 120,2М 160,4M -25089M -25089M x

Симплексная таблица 5:

i Базисные переменные Свободные члены, bi y3 х7 у1 x4 x5 y2 bi/aij
1 х3 27,295 -319,000 1,000 -1,200 -25728,000 -
2 x6 -0,986 0,750 -0,001 0,000 -25568,006 -
3 x1 2,678 320,000 -1,001 -25567,800 -25408,000 -
4 х2 4,326 1,000 0,000 0,000 -25568,000 -
m+1 Z 677,841 1342,200 -4,202 -25055,800 -24896,000 х
m+2 F 0M 0M 0M x

Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.

Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти 4000т зелено й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл. 6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.

Таблица 5. Количество зеленой массы с полей, т

№ варианта Поле
1-е 2-е 3-е 4-е 5-е
0 800 1000 1200 400 600

Таблица 6. Потребность ферм в зеленой массе, т

№ варианта Ферма
1-я 2-я 3-я 4-я
0 1000 600 800 1600

Таблица 7. Расстояние от полей до ферм, км

Поля Ферма
1-я 2-я 3-я 4-я
1-е 5 6 2 2
2-е 9 7 4 6
3-е 7 1 4 5
4-е 5 2 2 4
5-е 6 4 3 4

Составить такой план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется решить задачу методом потенциалов.

Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом«наилучшего» элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Ui
1-я 2-я 3-я 4-я
1-е 5 6 2- 2- 0
400 400 800
2-е 9- 7 4+ 6+ 5
1000 1000
3-е 7+ 1 4 5 3
600 600 1200
4-е 5 2 2 4 0
400- 400
5-е 6 4 3 4- 2
600 600
Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600 4000 Z
Vj 4 -2 2 2 17400

Переходим к анализу первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.

Проверим, является ли план оптимальным. Если нет – улучшим его.

1. Рассчитаем значения потенциалов:

u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;

v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2

2. Рассчитаем характеристики для свободных клеток:

d 1 2 3 4
1 5 8 0 0
2 0 4 -1 -1
3 0 0 0 0
4 1 4 0 2
5 0 4 -1 0

3. Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3, для которой строим цепь.

4. Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Ui
1-я 2-я 3-я 4-я
1-е 5 6 2 2 0
44 756 800
2-е 9 7 4 6 5
756 244 1000
3-е 7 1 4 5 3
400 600 200 1200
4-е 5 2 2 4 0
400 400
5-е 6 4 3 4 2
200 400 600
Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600 4000 Z
Vj 6 -2 2 2 15288

Расчеты ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2

Перераспределяем по цепи поставку 400. Строим таблицу 3.

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Ui
1-я 2-я 3-я 4-я
1-е 5 6 2 2 0
0 0 44 756 800
2-е 9 7 4 6 3
0 0 756 244 1000
3-е 7 1 4 5 1
0 600 0 600 1200
4-е 5 2 2 4 1
400 0 0 0 400
5-е 6 4 3 4 2
600 0 0 0 600
Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600 4000 Z
Vj 6 0 1 2 15288

Анализ решения: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров

Решение методом линейного прораммирования:

1. Проверим, прежде всего условие равенства ресурсов:

С полей поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы

Потребность ферм в зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам потребителей.

2. Пусть Xij – количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем ограничения:

х11+х12+х13+х14=800

х21+х22+х23+х24=1000

х31+х32+х33+х34=1200

х41+х42+х43+х44=400

х51+х52+х53+х54=600

Из условия потребностей ферм:

х11+х21+х31+х41+х51=1000

х12+х22+х32+х42+х52=600

х13+х23+х33+х43+х53=800

х14+х24+х34+х44+х54=1600

Целевая функция задачи – количество тонна-километров:

Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+

9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+

7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+

5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+

6*х51+4*х52+3*х53+4*х54®min

Решим систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате выполнения программы, получаем решение:

Поле Ферма Наличие зеленой массы, т Сумма
1-я 2-я 3-я 4-я
1-е 5 6 2 2
0 0 44 756 800 800
2-е 9 7 4 6
0 0 756 244 1000 1000
3-е 7 1 4 5
0 600 0 600 1200 1200
4-е 5 2 2 4
400 0 0 0 400 400
5-е 6 4 3 4
600 0 0 0 600 600
Потребность в зеленой массе, т 1000 600 800 1600 Z
Сумма 1000 600 800 1600 15288

Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров.

Скачать архив с текстом документа