Теорема Ферма Бесконечный спуск для нечетных показателей n
СОДЕРЖАНИЕ: Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n .
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя nтем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x
=
a
-
b
,
y
=2
ab
,
z
=
a
+
b
.
Другие формулы:x
= 
+ b
,
y
= + a
,
z
= + a
+ b
(1).
В (1) a
и b
любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a
– чётное, b
–
нечётное: a
=2
c
,
b
=
d
,
откуда=2
cd
.
После подстановки значений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d
(2),
где c и d любые целые положительные числа;c ,d и их суммывзаимно просты;
X , Y , Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d , то определены и целы все три числа X , Y , Z .
Предположим, что уравнение Ферма x
+ y
= z
имеет тройку целых положительных решений x
,
y
,
zпри нечётном целом положительном значении показателя n
,
n
2
. Запишем это уравнение следующим образом:
(
x
)
+ (
y
)
= (
z
)
(4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:
x
=
X
;
y
=
Y
;
z
=
Z
;
где X
,
Y
,
Z
из (2) (5).
Чтобы числаx , y , z были целыми, из всех трёх чисел X , Y , Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):
x
=
= (
);
y
=
= (
)
;
z
=
.
Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и
(n
– нечётное):
=
=
и
= 
=
.
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n :
d
=
g
; 2
c
=
h
,
следовательно, =
;
= 
.
Так как x
,
– целые, x
– по условию, а – из-за нечётн. n
, то g
+
h
=
k
,
где k
– целое.
Тройка решений g
,
h
,
k
удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x
первой тройки решений, потому что наибольшее число k
из g
,
h
,
k
меньше , так как =g
,
а
x
,
так как x
=(
)
. Число k
заведомо меньше числа z
.
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g , h , k , начиная с (4):
(
g
)
+ (
h
)
= (
k
)
;
g
==(
);
h
==(
);
k
=.
= =
и = =
.
d
=
p
; 2
c
=
q
,
следовательно, =
; = 
.
p
+
q
=
r
,
где r
– целое число. Все три числа p
,
q
,
r
меньше числа
из второй тройкирешений и r
k
. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до 
.
При данных конечных целых положительных числахx , y , z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n ( n 2) не существует.
Для чётных n
=2
m
не кратных 4
: (x
)
+(y
)=(z
), m
– нечётное. Если нет целых троек решений для показателяm
, то их нет и для 2
m
(это показал Эйлер). Для n
=4
и n
=4
k
(
k
=1,2,3…)
уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов