Використання алгебри матриць
СОДЕРЖАНИЕ: Використання алгебри матриць. В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі. Приклад 1.1. Використання алгебри матриць.
В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі.
Приклад 1.
Сезонний продаж товарів трьох видів (, , ) здійснюють три магазини (12 3). Обсяги реалізації цих товарів (в грош. од.) кожним магазином представлено у вигляді матриць
; В = ; С = ,
де в рядках вказано суми, отримані кожним магазином за відповідний сезон (зима, весна, літо, осінь), а в стовпчиках – суми, отримані за продаж відповідного товару (, , ) . Потрібно: 1) перевірити, що суми реалізації товарів першого і третього магазинів разом більші, ніж другого; 2) записати у вигляді матриці сукупні суми реалізації товарів трьома магазинами.
Розвязування.
Знаходимо обсяг реалізації товарів кожного виду першим і третім магазинами. Він дорівнює сумі А+С:
А+С =
Порівнюючи елементи матриці А+С з відповідними елементами матриці В, легко пересвідчитися, що у кожному сезоні перший і третій магазини разом продали кожному виду товарів більше, ніж другий магазин. Щоб записати у вигляді матриці дані про сукупний продаж магазинів, знайдемо матрицю А+В+С:
А+В+С =
Приклад 2.
Випуск готової продукції пяти підприємств включає чотири види виробів (, , , ). Для їх виробництва використовуються три різні типи сировини (І, ІІ, ІІІ). Дані щоденної продуктивності підприємств з кожного виробу (число виробів за дань) і витрат сировини на одиницю виробу (кг/шт.), а також число днів роботи кожного підприємства і вартість у гривнях 1 кг сировини кожного типу, наведено в таблиці.
Вироби |
Продуктивність підприємств шт. /день |
Витрати сировини, кг/шт. |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
І |
ІІ |
ІІІ |
|
6 |
10 |
0 |
6 |
2 |
5 |
3 |
4 |
|
4 |
3 |
0 |
4 |
5 |
10 |
4 |
6 |
|
0 |
15 |
10 |
3 |
4 |
2 |
5 |
5 |
|
3 |
5 |
8 |
7 |
6 |
4 |
8 |
6 |
|
Час роботи підприємств (дн.) |
Ціна сировини (грн./кг) |
|||||||
100 |
200 |
140 |
150 |
170 |
30 |
20 |
50 |
Потрібно визначити:
а) сумарну продуктивність кожного підприємства по кожному з виробів за весь виробничий період);
б) потреби кожного підприємства у різних типах сировини;
в) розміри кредитування підприємств для закупівлі сировини.
Розвязування.
Розглянемо матрицю А, що характеризує продуктивність підприємств, матрицю В – витрат сировини і С – матрицю цін, тоді
Продуктивність підприємств Вид виробу
1 2 3 4 5 1 2 3 4
А = Вид виробу В = Вид сировини
С= (30 20 50).
а) Кожний стовпчик матриці А відповідає денній продуктивності окремого підприємства з кожного виду продукції. Щоб отримати річну продуктивність j-го підприємства (j=1,2,3,4,5), потрібно помножити j-тий стовпець матриці А на кількість робочих днів цього підприємства. Час роботи кожного з підприємств запишемо у вигляді діагональної матриці
Т =
Тоді загальна продуктивність за виробничий період є добуток матриць А. Т:
АТ = =
підприємства
вироби
б) Витрати сировини кожного підприємства є добуток В. (АТ):
В. АТ = =
в) Вартість річного запасу сировини одержуємо як добуток матриці цін С на матрицю витрат В(АТ):
D = C. (B. (AT)) = (30 20 50)=
(692000 3038000 1223600 157500 1587800).
Отже, величини кредитування j-го підприємства на закупівлю сировини визначаються компонентами матриці D.
2. Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних рівнянь.
Приклад 3.
Для випуску виробів трьох видів (, , ) підприємство використовує сировину 3-х типів (S1 , S2 , S3 ). Норми витрат кожного з типів сировини на один виріб і обсяг витрат сировини за один день задано таблицею:
Вид сировини |
Норми витрат сировини на один виріб, ум. од. |
Витрати сировини за день, ум. од |
||
S1 |
9 |
3 |
4 |
2700 |
S2 |
7 |
1 |
6 |
2700 |
S3 |
14 |
5 |
6 |
4200 |
Знайти щоденний обсяг випуску кожного виду виробів.
Розвязування.
Припустимо, підприємство щодня виробляє х1 одиниць виробів виду , х2 одиниць – виду і х3 одиниць виробів виду . Тоді, відповідно з витратами
Сировини кожного виду, маємо систему:
РозвЯзавши цю систему, знайдено х1 =100, х2 =200, х3 =300. Це означає, що підприємство щоденно виробляє 100 виробів виду , 200 виробів виду і 300 виробів виду .
Приклад 4.
Два заводи виготовляють апарати для двох підприємство. Підприємствам необхідно отримати 120 і 80 апаратів відповідно. Перший завод випустив 150 апаратів, а другий – 50. Витрати на перевезення апаратів із заводів кожного підприємства такі:
Завод |
Витрати на перевезення, грош.од. |
|
1 |
2 |
|
1 |
10 |
20 |
2 |
5 |
25 |
Мінімальні витрати на перевезення становлять 2850 грош.од. Знайти оптимальний план перевезення апаратів.
Розвязування.
Позначимо хij – кількість апаратів, що надходять з і-го заводу до j-го підприємства. Тоді можемо скласти таку систему:
Розвязавши систему, наприклад, методом Гаусса, знайдемо х11 =100, х12 =50, х21 =20, х22 =30.