Загальні властивості неперервних функцій
СОДЕРЖАНИЕ: Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних. Теорема 3. (Вейєрштрасса). Функція
Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.
Теорема 3. (Вейєрштрасса). Функція , визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.
Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].
Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.
Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область D відкрита. Наприклад, у = неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.
Теорема 4. (про знак функції). Якщо функція неперервна в точці А і f(А) 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.
Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:
якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.
Дійсно, нехай , наприклад, f(а) 0. Покажемо, що для будь-якого 0 можна знайти таке 0, що для всіх х (а — , а + ) виконується нерівність f(х) 0.
Побудуємо -окіл точки а і -окіл точки f(а) (рис. 3.75).
Якщо взяти = min (h1 h2 ), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2 і 2 такий, що f(х) 0.
Теорема 5 (про корінь функції). Якщо функція визначена і неперервна в деякій однозвязній області D, причому в цій області дві точки А (а1 а2 , ..., аn ) і В (b1, b2 , ..., bn ), в яких функція набуває значень різних знаків:
f(А) 0, f(В) 0,
то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.
Введемо поняття однозвязної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 t Т за допомогою системи функцій
неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.
Якщо точка М0 (, (t0 ), ,…, збігається з точкою , то крива називається простою замкненою кривою.
Розглянемо просту криву, задану рівняннями
х = х(t), y = y(t) (5.18)
на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається звязною. Для утворення однозвязної області необхідно розглядати замкнену криву (5.18).
Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розібється на дві області — внутрішню і зовнішню.
Область D на площині називається однозвязною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозвязні, а область в — неоднозвязна. Поняття звязної і однозвязної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.
Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чином: якщо у = f(х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента набуває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка така, що f () = 0.
Точка називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).
На рис. б — три корені, а на рис., a — один.
Теорема 6 (про проміжне значення) . Якщо функція неперервна в звязній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2 , то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М1 ) і f(М2 ), існує принаймні одна така точка М3 , яка лежить всередині D, що
f(М3 ) = С
Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:
якщо у = f(х) неперервна у проміжку і набуває різних значень у двох точках а і b сегмента [а, b] f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить між А і В, А С В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така точка , що С = f().
Доведення. Нехай А В і А С В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С.
Для цієї функції
Функція Н(х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f(х) і сталої (х)= С. Отже, до функції Н(х) застосована теорема про корінь. Тоді на [а, b] існує точка така, що Н() = 0, тобто
Звідси
що й треба було довести.
Теорема 7 (про найменше і найбільше значення ). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:
m f(X) M.
Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значеннями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х1 D, в якій функція f(X1 ) набуває найменшого значення f(Х1 ) = т ; і принаймні одна точка Х2 D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2 ) = М.
Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:
якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b].
m f(x) M.
На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки і такі, що
і одна точка х2 , в якій f(х2 ) = М.
Теорема 8 (Кантора). Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.
Теорему наводимо без доведення.