Функциональный анализ
СОДЕРЖАНИЕ: Функциональный анализ Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394). Абсолютно непрерывной называется такая функция , заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей , сумма модулей разностей значений функции в концах интервалов меньше чем .Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).
Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak ,bk ) с суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.
Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.
Теорема. Функция 
, представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.
Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.
Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.
Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.
Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.
Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).
Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.
Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.
Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.
Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел ab : 1|a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.
Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу.
Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: aК р(aх)= aр(х).
Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).
Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: aК ||aх||= |a|||х||.
Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у) р(х+у).
Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Еl ={х: р(х)l}выпукло и поглощающее, р(х) - полунорма.
Нормированным называется такое векторное пр-во Х над полем К, если определена функция нормы |||| из Х в R, такая, что для нее справедливы следующие условия:
Норма неотрицательна и равна нулю лишь в том случае, когда сам элемент равен нулю: ||х||0, ||х||=0 х=0.
Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: aК ||aх||= |a|||х||.
Выполнено нер-во треугольника: ||х||+ ||у||||х+у||.
Метрическим пр-вом называется мн-во Х на котором задана бинарная функция r(х,у), для которой справедливы следующие условия:
r(х,у)=0 титт х=у. r(х,у)= r(у,х). r(х,z)r(х,у) +r(у,z).
Полным называется такое метрическое пр-во, в котором любая фундаментальная посл-ть сх-ся.
Топологическим пр-вом называется такое множество Х в котором определена система его подмножеств t, называемая топологией, такая, что для нее справедливы условия:
Мн-во Х и пусто мн-во принадлежит t. Объединение и пересечение мн-в из t лежит в t.
Базой топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в W из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы мн-в из W.
Хаусдорфова топология (????).
Теорема. Пусть Х – векторное топологическое пр-во, тогда существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.
Порождающая система полунорм (???).
Теорема. Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаусдорфова и существует счетный набор порождающих полунорм.
Банаховы пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).
Банаховым пр-вом называется полное нормированное пр-во.
Теорема. Для того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая посл-ть вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы к-рых не стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Теорема Бера. Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).
Сжимающим называется такое отображение ¦ полного метрического пр-ва ¦: Х®Х, что существует число r1, такое что rr (х,у)r(¦(х),¦(у)).
Теорема. Для сжимающего отображения ¦ существует единственная неподвижная точка ¦(х)=х.
Теорема Бера. Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных мн-в.
Теорема о пополнении (КГТ 12).
Пополнением метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены следующие усл-я:
Y полно. Х лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.
Теорема. Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х изометричны, причем изометрия, связывающая их, оставляет на месте точки Х.
Сепарабельность, компактность, критерий Хаусдорфа.
Сепарабельным называется такое топологическое пр-во Х, что в нем существует счетное всюду плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестности.
Компактным подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что из любого покрытия мн-ва А системой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.
Предкомпактом называется множество, замыкание к-го компакт.
e-сеть для мн-ва В является такое мн-во А, что для любого элемента из В найдется элемент из А, отстоящий от него не далее, чем на e.
Критерий Хаусдорфа. Пусть Х – полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А предкомпактно титт, когда для каждого e0 мн-во А обладает конечной e-сетью.
Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.
Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в Rn .
Теорема. Пусть Х – компактное метрическое пр-во и ¦ - непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда ¦ ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.
Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы ||||1 и ||||2 , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||1 ||x||2 b||x||1 при всех x из X.
Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.
Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).
Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой ||¦||=max|¦(x)|. Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям:
Мн-во А равномерно ограниченно т.е. для любой функции ¦ существует единое для всех число С, такое что модуль ¦ не превосходит это число: $С ¦|¦(х)|С.
Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции ¦ и для любых двух точек х и у найдутся такие числа e и d, что как только расстояние между точками меньше, чем d разность аргументов функции ¦ меньше e: ¦e0 $d0, справедливо |¦(х)-¦(у)|e , если r(х,у) d.
Критерий предкомпактности единичного шара (КГТ 74).
Теорема. Пусть Х – лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар B={x: ||x||1}не является предкомпактным мн-вом.
Евклидовы пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.
Евклидовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена операция ( , ): ХХ®С.
(х,х)0. (х,х)=0 х=0.
.
(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).
Утв. Норму в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом: 
.
Утв. Метрику в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:r(х,у)=||x-y||.
Теорема. Для любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:
|(x,y)|||x||||y||.
Предгильбертовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:
Определена операция ( , ): ХХ®С.
(х,х)0.
.
(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).
Гильбертовым пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.
Утв. Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с добавлением условия (х,х)0 при x отличных от нуля.
Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.
Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.
Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как 
.
Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {xa }, что при различных a и b (хa ,хb )=0.
Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.
Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {xa }, что при различных a и b (хa ,хb )=0 и для всех векторов xa ||xa ||=1 .
Ортогонализацией л.н.з. системы векторов {ya }называется процесс, ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {xa },являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые оболочки обоих систем совпадают.
Неравенство Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.
Коэффициентами Фурье элемента ¦ из евклидова пр-ва X по о.н.с. {jk } называется последовательность чисел ck =(¦,jk ).
Рядом Фурье по о.н.с. {jk } называется ряд S ck jk .
Неравенство Бесселя. Для любого элемента ¦ из евклидова пр-ва X и о.н.с. {jk
} справедливо нер-во: 
.
Замкнутой называется такая о.н.с. {jk
}, что для любого ¦ из евклидова пр-ва X справедливо равенство Парсеваля: 
.
Теорема Рисса-Фишера. Пусть {jk
} о.н.с. в полном евклидова пр-ва X и пусть числа ck
таковы, что 
сх-ся. Тогда существует такой элемент ¦ из X, что ck
=(¦,jk
) и 
.
Базисы, равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пр-в.
Теорема. Любые два сепарабельных Гильбертовых пр-ва изоморфны между собой.
Лин-ые операторы в нормированных пр-вах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пр-в Т(l1,l2).
Лин. оператором (отображением) А из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y над полем К называется отображение для которого выполнена аксиомы лин-ости и уравновешенности: (aА)х=a(Ах), А(aх+bу)= aА(х)+ bА(у).
Норма оператора. Пусть Х, Y – нормированные пр-ва. Тогда норму оператора А можно задать так: 
.
Задача. Следующие нормы эквивалентны:
; 
; 
; ||A||=inf C: х ||Ax||C||x||.
Непрерывным называется такой лин-ый оператор А, что для любой последовательности xn сходящейся к х последовательность А(xn ) сходится к А(х).
Ограниченным называется такой лин-ый оператор из лин. пр-ва Х в лин. пр-во Y, что он переводит ограниченное мн-во в ограниченное.
Задача. Оператор непрерывен титт, когда он ограничен.
Задача. Оператор непрерывен титт, когда он непрерывен в одной точке.
Лемма Цорна – Куратовского. Существование разрывных лин-ых функций на бесконечномерном нормированном пр-ве. Теорема Хана-Банаха в действительном случае.
Лин. функционалом определенном на лин-ом пр-ве X называется числовая функция.
Выпуклым фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x,y из X и 1a0 выполнено соотношение: p(ax+(1-a)y)ap(x)+(1-a)p(y).
Положительно-однородным фун-лом на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л p, что для любых x из X и a0 p(ax)= ap(x).
Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.
Продолжением лин-ого фун-ла ¦0 , определенного на подпространстве X0 действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦0 (x) для всех x из X0 .
Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)p(x) для всех x из X.
Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0 , подчиненные на X0 p(x). Тогда ¦0 может быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного p(x) на всем X.
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия.
Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел l справедливы соотношения: p(x+y)p(x)+p(y), p(lx)=| l|p(x).
Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0 , такой, что |¦0 (x)|p(x) для x из X0 . Тогда Существует лин-ый фун-л ¦, являющийся продолжением ¦0 , такой, что |¦ (x)|p(x) для x из X.
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (прямая теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (обратная теорема).
Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве.
Непрерывные лин-ые фун-лы на 
С[а,в] (прямая теорема).
Сопряженные операторы.
Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A.
Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется такой лин. оператор A* , который отображает пр-во Y* в X* .
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Существование непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье.
Слабая сходимость. * слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.