Геометрические свойства равнобедренных треугольников
СОДЕРЖАНИЕ: Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками.В. В. Богун
Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии.
Где же могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего в педагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьников и студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, поскольку работа находится на стыке двух разделов математики - элементарной геометрии и тригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна.
Существенными плюсами данных исследований являются следующие факты:
Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид;
Объяснение с помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основе правильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидами Гизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина);
Последний факт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям, поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярных учебниках в большинстве случаев лишь в виде голой теории, мы имеем сочетание теоретических и практических аспектов.
Для простоты изложения материала внесем ряд определений:
Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине.
Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого.
Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого.
Теорема 1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности
Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значению косинусу равных углов при основании.
Исходные данные:
Равнобедренный АВС (рис. 1); ВD = h основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2 а; АВ = ВС = b боковые стороны треугольника; DО = КО = LО = r - радиус вписанной в АВС окружности, ВАС = ВСА = .
Доказать:
(1)
Доказательство:
Формулы для вычисления площади АВС:
S АВС
.
S АВС
.
Рис. 1. Равнобедренный АВС с вписанной в него окружностью.
Получим:
 |
(1) |
Следствия из теоремы 1:
1.1.Отношение половины основания равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно котангенсу половинного угла при основании:
Так как 
,
а
то
. (2)
Однако из курса геометрии известно, что центр вписанной в любой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов.
1.2. Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании к косинусу полного угла при основании:
 |
(3) |
1.3. В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой и радиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковой стороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла при основании:
. (4)
Теорема 2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности
Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании или разнице единицы и косинуса двойного угла при основании:
Рис. 2. Равнобедренный АВС с описанной вокруг него окружностью.
Исходные данные:
Равнобедренный АВС (рис. 2); ВD = h - основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2 а; АВ = ВС = b - боковые стороны треугольника; АQ = BQ = CQ = R - радиус описанной вокруг АВС окружности, ВАС = ВСА = .
Доказать:
(5)
Доказательство:
Формулы для вычисления площади АВС:
S АВС =
S АВС = 
Получим: 
 |
(5) |
Следствия из теоремы 2:
2.1. Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании:
Так как
,
то
(6)
Поскольку
,
то
2.2. Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусам углам при основании:
 |
(7) |
2.3 В равнобедренном треугольнике отношение разницы между радиусом описанной окружности и основной высотой к величине первого равно косинусу двойного угла при основании:
 |
(8) |
Следствие из теорем 1 и 2:
В равнобедренном треугольнике отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности равно произведению тангенса половинного угла при основании и синуса двойного угла при основании:
(9)
В табл. 1 представлены взаимосвязи между линейными элементами равнобедренного треугольника (основная высота, половина основания, боковая сторона, радиусы вписанных и описанных окружностей), выражаемые через тригонометрические выражения равных углов при основании.
Таблица 1
Соотношения в равнобедренном треугольнике
 |
Y | |||||
| a | b | h | R | R | ||
| XX | aa | 1 |  |
 |
 |
 |
| bb |  |
1 |  |
 |
 |
|
| hh |  |
 |
1 |  |
 |
|
| RR |  |
 |
 |
1 |  |
|
| rr |  |
 |
 |
 |
1 | |
В предлагаемых ниже двух теоремах рассмотрены взаимосвязи между вписанными и описанными окружностями двух равнобедренных треугольников, имеющих один общий элемент. В первой теореме данным субъектом является основная высота, во второй - сторона основания. Что же касается совпадения боковых сторон равнобедренных треугольников, то здесь получим равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Теорема 3: О равных углах равнобедренных треугольников
Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то их центры вписанной и описанной окружностей соответственно совпадут.
Исходные данные:
Равнобедренные АВС и ЕBF c общей основной высотой ВD = h. DO 1 = r и ВО 2 = R - радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренных АВС и ЕBF соответственно.
ВАС = ВСА = EBF = ,
BEF = BFE = (рис. 3)
Рис. 3. Геометрическая интерпретация теоремы 3
Доказать:
h = R + r (10)
Доказательство:
Для равнобедренного АВС:
Для равнобедренного ЕBF:
По условию теоремы
ВАС = ВСА = EBF =
= , BEF = BFE = .
А так как
BEF = BFE =
,
получим:
Если
(10),
то 
Действительно,
,
что и требовалось доказать.
Следствия из теоремы 3:
3.1. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и угол между боковыми сторонами одного равен углам при основании второго, то отношение соответствующих оснований равно разнице величины, обратной по значению косинусам равных углов при основании второго, и единице:
Так как
и
,
то
 |
(11) |
3.2. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то отношение соответствующих боковых сторон равно половине величины, обратной по значению синусам равных углов при основании второго:
Поскольку
и 
,
то
.
 . |
(12) |
Теорема 4: О половинных углах равнобедренных треугольников
Если два равнобедренных треугольника имеют общее основание и вершина, являющаяся пересечением боковых сторон первого, совпадает с центром вписанной во второй треугольник окружности, то центр описанной вокруг первого треугольника окружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам второго.
Исходные данные:
Равнобедренные АВС и АОС с общим основанием АС = 2 а, DO = r = H радиус вписанной окружности и высота равнобедренных АВС и AOC соответственно. ВАС = ВСА = , OAC = OCA = 
(рис. 4).
Доказать:
(13)
Рис. 4. Геометрическая интерпретация теоремы 4
Доказательство:
Исходя из рис. 4, получим следующую цепочку соотношений:
Тогда
 |
(13) |
При этом согласно определению равнобедренные АВС и АСS являются полуподобными, поскольку
и наоборот, а равнобедренные АВС и АОС являются половинноподобными, поскольку удовлетворяют определению:
ВАС = ВСА = , OAC = OCA = 