Графическое решение задачи линейного программирования в экономике
СОДЕРЖАНИЕ: Решение формализованной задачи линейного программирования графически и с помощью Excel. Получение максимальной прибыли и план выпуска продукции. План перевозок с минимальными расходами. Межотраслевая балансовая модель. Составление системы ограничений.МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
Контрольная работа
по дисциплине:
Экономическая информатика
Выполнила студентка:
гр. ПВ 09-1з
Проверил:
Краматорск, 2010
Задание № 1. Графическое решение задачи линейного программирования
Решить графически и с помощью Excel формализованную задачу линейного программирования.
3x1-x29,2x1+x250,x1+4x219;
f=x1+5x2. (max).
Графическое решение задачи линейного программирования
Экономический вывод:
Для получения максимальной прибыли в размере 35 ед. план выпуска продукции должен быть таким: изделие 1 - 9 единиц, выпуск изделия 2 - 16 единицы, выпуск изделия 3 - 19 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:
Избыточным является ресурс 2, недостаточным - 1 и 3.
| Пункты отправления |
Запасы |
Пункты назначения |
|||
| B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
||
| A1 |
180 |
2 |
3 |
4 |
3 |
| A2 |
60 |
5 |
3 |
1 |
2 |
| A3 |
80 |
2 |
1 |
4 |
2 |
| Потребности |
120 |
40 |
60 |
80 |
|
| Потребитель 1 |
Потреитель 2 |
Потребитель 3 |
Потребитель 4 |
||
| Поставщик 1 |
46 |
32 |
46 |
37 |
160 |
| Поставщик 2 |
31 |
6 |
4 |
18 |
60 |
| Поставщик 1 |
43 |
2 |
11 |
25 |
80 |
| 120 |
40 |
60 |
80 |
||
| Грузооборот |
875,8 |
т. - км |
|||
| Переменные |
|||||||
| x1 |
x2 |
||||||
| Значения |
11,8 |
26,4 |
|||||
| Нижн граница |
0 |
0 |
|||||
| Верх граница |
|||||||
| F |
1 |
5 |
=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C6: D6) |
max |
|||
| Коэффициенты целевой функции |
Значение |
Фактические ресурсы |
Неиспользованные ресурсы |
||||
| Коэффициенты |
|||||||
| Система ограничений |
-3 |
1 |
=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C9: D9) |
= |
-9 |
=G9-E9 |
|
| 2 |
1 |
=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C10: D10) |
= |
50 |
=G10-E10 |
||
| 1 |
-4 |
=СУММПРОИЗВ (C$3: D$3; C11: D11) |
= |
-19 |
=G11-E11 |
||
Задание №2. Транспортная задача
На две базы А1 и А2 поступил однородный груз в количестве а1 т на базу А1 и а2 т на базу А2. Полученный груз требуется перевезти в три пункта: b1 т в пункт B1, b2 т в пункт B2, b3 т в пункт B3. Расстояния между пунктами отправления и пунктами назначения указаны в матрице R. Составить план перевозок с минимальными расходами. Решить задачу при заданных запасах и потребностях.
Стоимость одного тонно-километра принять за единицу.
| Вариант |
А1 |
А2 |
B1 |
B2 |
B3 |
R |
| 6 |
200 |
230 |
190 |
100 |
140 |
12 5 16 14 10 8 |
Пусть xij - количество груза, перевезенного из пункта Аi в пункт Вj . Проверим соответствие запасов и потребностей: 200+230=430 = 190+100+140=430. Задача замкнутая. Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:
F = 12x11 +5x12 +16x13 +14x21 +10x22 +8x23 (min).
Система ограничений определяется следующими условиями:
а) количество вывозимых грузов равно запасам:
x11 + x12 + x13 = 200;
x21 + x22 + x23 = 230.
б) количество ввозимых грузов равно потребностям:
x11 + x21 = 190;
x12 + x22 = 100;
x13 + x23 = 140
в) количество вывозимых грузов неотрицательно:
x11 0; x12 0; x13 0
x21 0; x22 0; x23 0
Получили формализованную задачу:
F = 12x11 +5x12 +16x13 +14x21 +10x22 +8x23 (min).
x11 + x12 + x13 = 200;
x21 + x22 + x23 = 230.
x11 + x21 = 190;
x12 + x22 = 100;
x13 + x23 = 140
x11 0
x12 0
x13 0
x21 0
x22 0
x23 0
Экономический вывод:
Для получения грузооборота с минимальными расходами в размере 4048 т. км. Поставщик 1 должен предоставить потребителю 1 - 100 т груза, а потребителю 2 - 100 т груза. Поставщик 2 должен предоставить потребителю 1 - 90 т груза, а потребителю 3 - 140 т груза.
Таблица.
| Пункты отправления |
Запасы |
Пункты назначения |
||||||
| B1 |
B2 |
B3 |
||||||
| A1 |
200 |
12 |
5 |
16 |
||||
| A2 |
230 |
14 |
10 |
8 |
||||
| Потребности |
190 |
100 |
140 |
|||||
| Потре-битель 1 |
Потре-битель 2 |
Потре-битель 3 |
||||||
| Поставщик 1 |
100 |
100 |
0 |
200 |
||||
| Поставщик 2 |
90 |
0 |
140 |
230 |
||||
| 190 |
100 |
140 |
||||||
| Грузооборот |
4080 |
т. - км |
||||||
| Пункты отправления |
Запасы |
Пункты назначения |
||||||
| B1 |
B2 |
B3 |
||||||
| A1 |
200 |
12 |
5 |
16 |
||||
| A2 |
230 |
14 |
10 |
8 |
||||
| Потребности |
190 |
100 |
140 |
|||||
| Потребитель 1 |
Потребитель 2 |
Потребитель 3 |
||||||
| Поставщик 1 |
0 |
100 |
100 |
=СУММ (B9: D9) |
||||
| Поставщик 2 |
190 |
0 |
40 |
=СУММ (B10: D10) |
||||
| =СУММ (B9: B10) |
=СУММ (C9: C10) |
=СУММ (D9: D10) |
||||||
| Грузооборот |
=СУММПРОИЗВ (B9: D10; C3: E4) |
т. - км |
||||||
Задание № 3. Межотраслевая балансовая модель
Имеется трехотраслевая балансовая модель с матрицей коэффициентов затрат.
где aij - затраты i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли (в товарном или в денежном выражении).
Фонды накопления отраслей заданы числами d1, d2, d3.
Производственные мощности отраслей ограничивают возможности ее валового выпуска числами r1, r2, r3.
Определить оптимальный валовой выпуск всех отраслей, максимизирующий стоимость суммарного конечного продукта, если на конечный продукт накладывается некоторое ограничение.
Цена единицы конечного продукта 1, 2 и 3 отраслей соответственно равна: c1, c2, c3.
товарных единиц
k1: k2: k3 = 2: 1: 2;
R= (240, 420, 230), C= (2, 4,3).
Формализация задачи.
Пусть xi - валовой выпуск i-й отрасли, i=1,2,3. Так как на собственное производство, а также на производство продукции 2-й отрасли первая отрасль произведенную продукцию не расходует, суммарный конечный продукт равен произведенной продукции K1 =x1 .
Вся произведенная продукция будет продана и выручка составит c1 x1 .
Чтобы определить прибыль 1-й отрасли, из полученной ею выручки нужно вычесть суммы, затраченные на производство продукции 1-й, 2-й и 3-й отраслей:
К1 =x1 - (a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 ).
Аналогично для 2-й отрасли
K2 =x2 , К2=x2 - (a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 ).
Подставляя числовые значения, получим выражения для прибыли 1-й 2-й и 3-й отраслей:
К1 =x1 - (0,21x1 +0,07x2 +0,12x3 ).
К2 =x2 - (0,06x1 +0,03x2 +0,15x3 ).
К3 =x3 - (0,2x1 +0,14x2 +0,03x3 ).
Целевая функция - это цена всей проданной продукции: с1 К1 +с2 К2 +с3 К3 .
Следовательно, целевая функция задачи такая:
F=с1 К1 +с2 К2 +с3 К3 (max).
Подставляя в последнюю формулу значения с1 , c2, c3 выражения K1 , K2 , K3 получаем выражение для целевой функции
F = 2 (x1 - (0,21x1 +0,07x2 +0,12x3 )) +4 (x2 - (0,06x1 +0,03x2 +0,15x3 )) +3 (x3 - (0,2x1 +0,14x2 +0,03x3 )) (max).
Приведя подобные члены, получим: F=0.74x1 +3.32x2 +2.07x3 (max).
Ограничения задачи:
1) По производственным мощностям: x1 240, x2 420, x3 230
2) По комплектности: K2
: K3
= 1: 2. Это условие равносильно условию 
т.е. условию 
или 
.
4) Выпуск продукции: x1 0, x2 0, x3 0
Формализованная задача имеет вид:
F=0.74x1 +3.32x2 +2.07x3 (max).
x1
240,x2
420,x3
230,.
x1 0
x2 0
x3 0
| Матрица затрат |
0,21 |
0,07 |
0,12 |
| 0,06 |
0,03 |
0,15 |
|
| 0,2 |
0,14 |
0,03 |
|
| 240 |
0 |
0 |
|
| 0 |
0 |
230 |
|
| 0 |
420 |
0 |
|
| 240 |
420 |
230 |
|
| Целевая функция |
144 |
max |
|
| R |
300 |
200 |
350 |
| Матрица затрат |
0,21 |
0,07 |
0,12 |
| 0,06 |
0,03 |
0,15 |
|
| 0,2 |
0,14 |
0,03 |
|
| 240 |
0 |
0 |
|
| 0 |
0 |
230 |
|
| 0 |
420 |
0 |
|
| =СУММ (A7: A9) |
=СУММ (B7: B9) |
=СУММ (C7: C9) |
|
| Целевая функция |
=СУММПРОИЗВ (B2: D4; A7: C9) |
max |
|
| R |
300 |
200 |
350 |
Задание № 4. Задачи разных типов
Формализовать задачу линейного программирования и решить с помощью Excel. Сделать экономический вывод.
Задание 1.
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество единиц корма, расходуемых на одно животное, запасы кормов и цена 1 шкурки указаны в таблице.
| Вид корма |
Кол-во ед. на 1 животное |
Общее кол-во корма |
|
| лисица |
песец |
||
| I |
2 |
3 |
180 |
| II |
4 |
1 |
240 |
| III |
6 |
7 |
426 |
| Цена |
16 |
12 |
|
Определить, сколько лисиц и песцов необходимо выращивать, чтобы получить максимальную цену от продажи их шкурок.
Обозначим лисиц через x1 , песцов через - x2 .
Определим прибыль от выращивания животных. Прибыль от выращивания лисицы составляет по условию 16 ден. ед. План выращивания лисиц - x1 ед. Прибыль от выращивания песцов составляет по условию 12 ден. ед. План выращивания песцов - x2 ед. Суммарная прибыль от выращивания всех животных составит (16x1 +12x2 ) ден. ед. Тогда целевая функция имеет вид: F=16x1 +12x2 , - суммарная прибыль должна быть наибольшей.
Составим систему ограничений.
1. Ограничение на использование сырья.
Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 2 ед. корма 1, необходимо 2х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 3 ед. корма 1, необходимо 3х2 корма для песцов. Количество корма 1 для животных не должно превышать 180 единиц. Ограничение на использование корма 1: 2x1 +3x2 180
Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 4 ед. корма 2, необходимо 4х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 1 ед. корма 2, необходимо 1х2 корма для песцов. Количество корма 2 для животных не должно превышать 240 единиц. Ограничение на использование корма 2: 4x1 +1x2 240
Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 6 ед. корма 3, необходимо 6х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 7 ед. корма 3, необходимо 7х2 корма для песцов. Количество корма 3 для животных не должно превышать 426 единиц. Ограничение на использование корма 3: 6x1 +7x2 426
Получили математическую модель задачи:
| F=16x1 +12x2 ®max |
| 2x1 +3x2 180 4x1 +1x2 240 6x1 +7x2 426 |
| x1 0, x2 0 |
Решив задачу одним из способов, рассмотренных в приложении, получим значения переменных: x1 =57; x2 =12; Fmax =1056.
Решение задачи линейного программирования включает в себя не только формализацию и математическое решение, но и экономический анализ полученных результатов.
Экономический вывод:
Для получения максимальной прибыли в размере 1056 ден. ед. план развода животных должен быть таким: лисиц - 57 единиц, песец - 12 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:
Корм 1 - 150 единицы при запасе 180 ед. (остаток 30 единиц);
Корм 2 - 240 кг единицы при запасе 240 ед.;
Корм 3 - 426 единиц при запасе 426 ед. .
Избыточным является ресурс Корм 1, недостаточным - Корм 2 и Корм3.
| Вид корма |
Кол-во ед. на 1 животное |
Общее кол-во корма |
||
| лисица |
песец |
|||
| I |
2 |
3 |
180 |
|
| II |
4 |
1 |
240 |
|
| III |
6 |
7 |
426 |
|
| Цена |
16 |
12 |
||
| Оптимальное кол-во |
57 |
12 |
||
| Реальные затраты |
114 |
36 |
150 |
I |
| 228 |
12 |
240 |
II |
|
| 342 |
84 |
426 |
III |
|
| Целевая функция |
1056 |
max |
||
| Вид корма |
Кол-во ед. на 1 животное |
Общее кол-во корма |
||
| лисица |
песец |
|||
| I |
2 |
3 |
180 |
|
| II |
4 |
1 |
240 |
|
| III |
6 |
7 |
426 |
|
| Цена |
16 |
12 |
||
| Оптимальное кол-во |
57,0000003181818 |
11,9999997272727 |
||
| Реальные затраты |
=СУММПРОИЗВ (B12; B7) |
=СУММПРОИЗВ (C12; C7) |
180 |
I |
| =СУММПРОИЗВ (B12; B8) |
=СУММПРОИЗВ (C12; C8) |
=СУММ (B14: C14) |
II |
|
| =СУММПРОИЗВ (B12; B9) |
=СУММПРОИЗВ (C12; C9) |
=СУММ (B15: C15) |
III |
|
| Целевая функция |
=СУММПРОИЗВ (B12: C12; B10: C10) |
max |
||
Задание 2.
Для кормления подопытного животного ему необходимо давать ежедневно не менее 15 ед. химического вещества А1 (витамина или некоторой соли) и 15 ед. химического вещества А2. Не имея возможности давать вещество А1 или А2 в чистом виде, можно приобретать вещество В1 по 1 д. е. или В2 по 3 д. е. за 1 кг, причем каждый кг В1 содержит 1 ед. А1 и 3 ед. А2, а кг В2 - 6 ед. А1 и 2 ед. А2.
Запасы веществ на складе: В1 - 7 кг, В2 - 9 кг.
Определить оптимальную закупку веществ В1 и В2 для ежедневного рациона.
Формализация задачи:
Пусть x1 - количество В1, а x2 - количество В2, которое необходимо использовать в рационе. Тогда целевая функция - стоимость продуктов равна:
F = 1x1 +3x2 - min.
Составим систему ограничений.
1. Ограничение на содержание в рационе кормовых единиц - не менее 15 вещества А1 и не менее 15 вещества А2. В одной единице В1 содержится по 1 кормовой единице вещества А1 и 3 кормовые единицы вещества А2. В одной единице В2 содержится по 6 кормовых единиц вещества А1 и 2 кормовые единицы вещества А2.
2. Ограничение на содержание в рационе вещества А1 - не менее 15 единиц. Значит, 1x1 +6x2 15.
3. Аналогично рассуждая, составим ограничения на содержание вещества А2 - не менее 15 единиц. Значит, 3x1 +2x2 15.
4. Ограничение запасы вещества В1 и В2 x1 7; x2 9;
Так как x1 и x2 - количество продукта, то x1 и x2 неотрицательны.
Получили математическую модель задачи о смесях:
F = 1x1 +3x2 - min.
1x1 +6x2 15.
3x1 +2x2 15.
x1 7
x2 9
x1 0
x2 0
Решение: x1 =4; x2 =2; Fmin =10.
Экономический вывод:
В суточном рационе должно содержаться 4 единицы вещества В1 и 2 единицы вещества В2. Стоимость такого рациона составит 10 ден. ед.
Питательность рациона составит:
Вещество А1 - 16 единиц, А2 - 16 единиц.
| Хим вещество |
Вещество заменитель |
общее необходимое кол-во /cутки. |
|
| B1 |
B2 |
||
| A1 |
1 |
6 |
15 |
| A2 |
3 |
2 |
15 |
| цена |
1 |
3 |
|
| запасы |
7 |
9 |
|
| Оптимальная закупка |
B1 |
B2 |
|
| 4 |
2 |
||
| Реальные замена |
4 |
12 |
16 |
| 12 |
4 |
16 |
|
| Сумма |
4 |
6 |
|
| Целевая функция |
10 |
||
| Хим вещество |
Вещество заменитель |
общее нелбходимое кол-во / cутки. |
|
| B1 |
B2 |
||
| A1 |
1 |
6 |
15 |
| A2 |
3 |
2 |
15 |
| цена |
1 |
3 |
|
| запасы |
7 |
9 |
|
| Оптимальная закупка |
B1 |
B2 |
|
| 4 |
2 |
||
| Реальные замена |
=B9*B4 |
=C9*C4 |
=СУММ (B10: C10) |
| =B9*B5 |
=C9*C5 |
=СУММ (B11: C11) |
|
| Сумма |
=B9*B6 |
=C9*C6 |
|
| Целевая функция |
=СУММПРОИЗВ (B9: C9; B6: C6) |
||
Задание 3.
На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 180, 60 и 80 единиц.
Этот груз необходимо перевезти в 4 магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 60, 40 и 80 единиц груза.
Тарифы перевозок единицы груза из каждого склада во все магазины задаются матрицей
2 3 4 3
С = 5 3 1 2
2 1 4 2
Составить план перевозок, стоимость которых является минимальной.
| Пункты Отправления |
Запасы |
Пункты назначения |
|||||||
| B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
||||||
| A1 |
180 |
x11 |
2 |
X12 |
3 |
x1 3 |
4 |
x1 4 |
3 |
| A2 |
60 |
X21 |
5 |
x22 |
3 |
X23 |
1 |
x24 |
2 |
| A3 |
80 |
X31 |
2 |
X32 |
1 |
x33 |
4 |
x34 |
2 |
| Потребности |
120 |
60 |
40 |
80 |
|||||
Пусть число пунктов отправления и число пунктов назначения равно 4 (n=4, m=4). Запасы, потребности и стоимость перевозок указаны в таблице:
Пусть xij - количество груза, перевезенного из пункта Аi в пункт Вj . Проверим соответствие запасов и потребностей:
180+60+80=320 120+60+40+80=300.
Задача открытая.
Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:
F = 2x11 +3x12 +4x13 + 3x14 +5x21 +3x22 +1x23 +2x24 +2x31 +1x32 +4x33 +2x34 (min).
Система ограничений определяется следующими условиями:
а) количество вывозимых грузов не больше запасов:
x11 +x12 +x13 +x14 180;
x21 +x22 +x23 +x24 60;
x31 +x32 +x33 +x34 80.
б) количество ввозимых грузов равно потребностям:
x11 +x21 +x31 = 120;
x12 +x22 +x32 = 60;
x13 +x23 +x33 = 40;
x14 +x24 +x34 = 80;
в) количество вывозимых грузов неотрицательно:
x11 0; x12 0; x13 0; x14 0
x21 0; x22 0; x23 0; x24 0
x31 0; x32 0; x33 0; x34 0
Получили формализованную задачу:
F = 2x11 +3x12 +4x13 + 3x14 +5x21 +3x22 +1x23 +2x24 +2x31 +1x32 +4x33 +2x34 (min).
x11 +x12 +x13 +x14 180;
x21 +x22 +x23 +x24 60;
x31 +x32 +x33 +x34 80.
x11 +x21 +x31 = 120;
x12 +x22 +x32 = 60;
x13 +x23 +x33 = 40;
x14 +x24 +x34 = 80;
x11 0; x12 0; x13 0; x14 0; x21 0; x22 0; x23 0; x24 0; x31 0; x32 0;
x33 0; x34 0.
| Пункты отправления |
Запасы |
Пункты назначения |
|||
| B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
||
| A1 |
180 |
2 |
3 |
4 |
3 |
| A2 |
60 |
5 |
3 |
1 |
2 |
| A3 |
80 |
2 |
1 |
4 |
2 |
| Потребности |
120 |
40 |
60 |
80 |
|
| Потре-битель 1 |
Потре-битель 2 |
Потре-битель 3 |
Потре-битель 4 |
||
| Поставщик 1 |
46 |
32 |
46 |
37 |
160 |
| Поставщик 2 |
31 |
6 |
4 |
18 |
60 |
| Поставщик 1 |
43 |
2 |
11 |
25 |
80 |
| 120 |
40 |
60 |
80 |
||
| Грузооборот |
875,8 |
т. - км |
|||
| Пункты отправления |
Запасы |
Пункты назначения |
|||
| B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
||
| A1 |
180 |
2 |
3 |
4 |
3 |
| A2 |
60 |
5 |
3 |
1 |
2 |
| A3 |
80 |
2 |
1 |
4 |
2 |
| Потребности |
120 |
40 |
60 |
80 |
|
| Потребитель 1 |
Потребитель 2 |
Потребитель 3 |
Потребитель 4 |
||
| Поставщик 1 |
39,4444451388889 |
38,3333334166667 |
45,5555562777778 |
36,6666671666667 |
=СУММ (B11: E11) |
| Поставщик 2 |
37,7777775555556 |
0 |
3,88888869444445 |
18,33333375 |
=СУММ (B12: E12) |
| Поставщик 1 |
42,7777783055556 |
1,66666658333333 |
10,5555550277778 |
25,0000000833333 |
=СУММ (B13: E13) |
| =СУММ (B11: B13) |
=СУММ (C11: C13) |
=СУММ (D11: D13) |
=СУММ (E11: E13) |
||
| Грузооборот |
=СУММПРОИЗВ (B11: E13; C3: F5) |
т. - км |
|||