Интеграл дифференциального уравнения
СОДЕРЖАНИЕ: Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.АНО ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ЕКАТЕРИНЫ ВЕЛИКОЙ»
Контрольное задание
По дисциплине: «Математика»
Москва 2010 г.
Контрольное задание:
Упражнения
1. Дана последовательность аn =(3n-5)/(4n+1). Установить номер n0 , начиная с которого выполняется неравенство аn -А 1/500.
Отв. n0 =719.
Найти:
2. lim (3-х)/(х2 -81).Отв. –1/108.
х9
3. lim (5х2 -8)/(х3 -3х2 +11).Отв. 0.
х
Проверить непрерывность следующих функций:
4. у=5х/(х3 +8).Отв. При всех х–2 функция непрерывна.
5. у=(х2 +4)/ (х2 -36). Отв. Функция непрерывна при всех значениях
х6.
6. Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х2 -1).
Отв . Точки х1 =–1/4 и х2 =1/4.
Задача 1
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение
Выполним разделение переменных, для этого разделим обе части уравнения на 
:
Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:
Ответ
Задача 2
Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение:
Решение
Решение однородных дифференциальных уравнений осуществляется при помощи подстановки:
,
С учетом этого, исходное уравнение примет вид:
Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на 
, получим,
Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:
Возвращаясь к переменной y , получим общий интеграл исходного уравнения:
Ответ
Задача 3
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение
Покажем, что данное уравнение является однородным, т.е. может быть представлено в виде, 
. Преобразуем правую часть уравнения:
Следовательно, данное уравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку,
С учетом этого, уравнение примет вид:
Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на 
,
Проинтегрируем обе части уравнения,
Возвращаясь к переменной y , получим,
Ответ
Задача 4
Решить линейное дифференциальное уравнение:
Решение
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то решение дифференциального уравнения будет иметь вид:
Ответ
Задача 5
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
,
где 
– частное решение исходного неоднородного ДУ, 
– общее решение соответствующего однородного уравнения: 
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни характеристического уравнения действительные и совпадают, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид:
Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде,
,
где A
, B
, C
– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x
от 
и подставим полученные результаты в исходное уравнение:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их:
Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид:
Окончательно, общее решение исходного ДУ:
Ответ
Задача 6
Решить уравнение:
Решение
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
,
где 
– частное решение исходного неоднородного ДУ, 
– общее решение соответствующего однородного уравнения: 
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид:
Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде,
,
где A
, B
, C
– неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x
от 
и подставим полученные результаты в исходное уравнение:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их:
Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид:
Окончательно, общее решение исходного ДУ:
Ответ
Комментарии к решению
В задаче №1, опечатка в предполагаемом ответе, упущен показатель степени при x .
В задаче №3, ответ следует оставить в виде, содержащем модуль 
, т.к. нет достаточных оснований его снять.