Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики
СОДЕРЖАНИЕ: Рассмотрение методики введения в школьный курс математики понятий синуса, косинуса, тангенса, основных тригонометрических тождеств (на геометрическом и алгебраическом материалах), функций, преобразований, способов решения уравнений и неравенств.Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
Математический факультет
Кафедра МПМ
Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-42 Головачева А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества
2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от 0° до 180°
3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры
4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению
Заключение
Литература
Введение
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800 ; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен общефункциональный взгляд на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина тригонометрические функции.
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества
Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия ,
и
острых углов треугольника вводится для углов от
до
, как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.
Назовите катеты в ABC,
APN. Назовите гипотенузы в
LKM и
EFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?
Следующие выражения прилежащий и противолежащий отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.
Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. Это определение уже работает при доказательстве теоремы Пифагора.
С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. sin , tg
Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.
Для синуса это доказывается так:
=
,
так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.
Из определений ,
и
получаем следующие правила:
- Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус
;
- Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус
;
- Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс
.
По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.
Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=, LM=
, гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).
Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.
После введения понятий ,
и
рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.
Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти A,
B, c.
Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти A,
B, b.
Задача №3. Дано: a, A. Требуется найти
A, b, c.
Задача №4. Дано: a, B. Требуется найти
A, b, c.
Задача №5. Дано: a, A. Требуется найти
B, a, b.
По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Вводятся основные тригонометрические тождества:
,
,
,
.
В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:
,
.
Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла и
возрастают, а
- убывает; 2) для любого острого угла
:
,
; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:
,
, тогда
,
.
,
тогда из равенства правых частей получаем:
.
, тогда
.
Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:
Пусть и
- острые углы,
и
, и она пересекает стороны углов
и
в точках
и
соответственно.
Так как , то точка
лежит между точками
и
, тогда
. А значит, по свойству наклонных,
(через сравнение их проекций). Так как
,
, то косинус убывает. А так как
, то синус возрастает.
2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от
до

Расширение области определения тригонометрических функций от до
происходит в теме: Декартовы координаты на плоскости.
Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость угол
. Пусть точка
имеет координаты
и
.
,
, то из треугольника
:
,
.
Определяются значения
и
этими формулами для любого угла (для
0
-исключается).
Можно найти значения этих функций для углов 900
, 00
, 1800
. Доказывается, что для любого угла , 00
1800
,
.
повернем подвижный радиус на угол 1800
-=
по гипотенузе и острому углу: = OB1
=OB; A1
B1
=AB = x = -x1
,y = y1
=
Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800 ; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен общефункциональный взгляд на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина тригонометрические функции.
Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:
1) построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;
2) обозначить величину острого угла А буквой ;
3) измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;
4) вычислить отношение
5) записать значение cos (делается следующая запись cos в которой для не указывается его конкретное значение);
6) измерить транспортиром угол , найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: Косинус угла зависит только от градусной меры угла. Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370 . Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370 , они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370 , измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370 . Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg связывается еще две формулы:
Определение cos, sin, tg углов от 00 до 1800 являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.
В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. Справедливы ли эти тождества для углов от 00 до 1800 . Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?
Сравним доказательства основного тригонометрического тождества: для острых углов и для углов от 00
до 1800
:
00 900 |
00 1800 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
В курсе Алгебра 9 обобщается определение cos, tg и sin на случай произвольного угла и вводится понятие ctg . Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.
Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.
3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:
· в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;
· затем введенные понятия обобщаются для углов от до
;
· тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:
a) Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;
b) Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);
c) Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;
d) Утверждение функциональной точки зрения на ,
, и
(трактовка
,
, и
как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);
e) Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;
f) Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.
В курсе Алгебра 9 учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения и
определимы при
, т.к
угла поворота можно найти соответствующее значение дробей
и
. Выражение
имеет смысл при
, кроме углов поворота
,
, …, т.к. имеет смысл дробь
.
Каждому допустимому значению соответствует единственное значение
,
,
и
. Поэтому
,
,
и
являются функциями угла
. Их называют тригонометрическими функциями.
Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:
1. область значения и
-
, для
и
- множество всех действительных чисел
2. промежутки знакопостоянства: , то значит
зависит от знака
и т.д.
3. ,
и
являются нечетными функциями, а
является четной функцией
4. при изменении угла на целое число оборотов значение ,
,
,
не изменится (под обратным понимаем поворот на
).
Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если
положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е.
.
Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.
Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где
.
Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:
1 четверть: ,
;
2 четверть: ,
;
и т.д.
Определение тригонометрической функции выглядит так:
Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной
окружностью. Пусть точка единичной окружности получена при повороте точки
на угол в
радиан. Ордината точки
- это синус угла
. Числовая
функция, заданная формулой
, называется синусом числа, каждому числу
ставится в соответствие число
.
Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:
;
.
Построим график функции
на
.
Делим единичную окружность и отрезок
на 16 равных частей.
Через точку проводим прямую, параллельную
. Проводим прямую
до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции
, называемого синусоидой.
Отрезок оси
, с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.
Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида
, где
, значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси
.
Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке
равно значению синуса в точке
. Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние
в отрицательном направлении оси
. Поэтому график функции
также является синусоидой.
Для функций
и
определяется аналогично. Область определения
- множество всех чисел, где
.
Построение графика: проведем касательную к единичной окружности в точке
.
Пусть произвольное число, для которого
. Тогда точка
не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая
пересекает
в некоторой точке
с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая
проходит через точки
и
. Поэтому она имеет уравнение
.
Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой
находим, что ордината точки
равна
. Итак, ордината точки пересечения прямых
и
равна
. Поэтому прямую
называют линией тангенсов.
Нетрудно доказать, что абсцисса точки
пересечения прямой
с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку
, равна
при
.
Поэтому прямую m называют линией котангенсов.
Область значений
- вся числовая прямая. Докажем это для функции
. Пусть
- произвольное действительное число. Рассмотрим точку
. Как только что было показано,
равен
. Следовательно, функция
принимает любое действительное значение
, ч.т.д.
Построение графика аналогично построению
.
Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:
1) Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).
2) Для функции выбираем отрезок
, для функции
-
и делим их на то же равное число частей.
3) По окружности находим соответствующее число значений этих функций.
4) Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.
4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению
Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.
1) Функции тригонометрических функций для углов от до
(прямоугольный треугольник, планиметрия);
2) Тригонометрические функции для углов от до
(тема: Декартовы координаты на плоскости; геометрия);
3) Тригонометрические функции для любого действительного числа.
Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение выделить эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.
К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.
Например:
1) В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .
2) В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.
3) В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см,
. Определите
.
4) В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.
Найдите угол B.
Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.
Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
6. ;
, ч.т.д.
;
-
.
С другой стороны:
-
-
-
- теорема сложения.
и по доказанной формуле.
Для доказательства суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:
,
,
,
.
Проведём радиус , длина которого равна
, на угол
: и получили радиус
, где
и на угол
и получим радиус
, где
.
,
:
,
.
- прямоугольник. Повернём его на угол
вокруг точки
:
;
;
, т.е.
;
, т.е:
;
, по
Аналогично:
Тогда:
и т.д.
К функциям от углов можно прийти и из геометрических соображений.
Формулы приведения для и
выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:
{определяем четность, в которой оканчивается угол
- II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти – - . Изменяется ли название функции – нет, поэтому:}
= - cos
.
Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.
,
а затем применяется уже известная формула.
Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив .
Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:
={
,
}=
=,
но:
Таким образом:
Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.
Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.
В курсе алгебры 9 класса изучается тема: Элементы тригонометрии (30 часов):
1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;
2) основные тригонометрические тождества:
Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;
3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;
4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:
Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:
Задача №1.
Доказать тождество:
Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:
8
cos4
+sin8
=2sin8
cos4
+2sin4
cos4
=2cos4
(sin8
+sin4
)=4cos4
sin6
cos2
, и т.д.
Задачи №2.
Упростить выражение
а)
Можно применить формулы понижения степени:
=
{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле:
} =
б)
Задача №3
Преобразовать в произведение:
а) cos5+sin8
+cos9
+cos12
=(cos5
+cos12
)+(cos8
+cos9
)=
=2cos17/2cos7/2
+2cos17/2
cos
/2=2cos17/2
(cos7/2
+cos
/2)=
=4cos17/2cos2
cos3/2
=4cos3/2
cos2
cos17/2
б) 3+4cos4+cos8
=3(1+cos4
)+(cos4
+cos8
)=6cos2
2
+
+2cos6cos2
=2 cos2
(3cos2
+cos6
)=2cos2
((cos2
+|cos6
)+
+2cos2)=2cos2
(2cos4
cos2
+2cos2
)=4cos2
2
(cos4
+cos2
)=
=4cos2
2cos2
2
=8cos4
2
Задача №4
Найти sin4
+cos4
, если известно, что:
sin-cos
=1/2
sin4
+cos4
=(sin2
+cos2
)2
-2sin2
cos2
=1-2sin2
cos2
=
=1-1/2sin2
2={sin4
-cos
=1/2
(sin
-cos
)2
=
=1-2sincos
=1/4
sin2
=3/4}=
Задача №5
Вычислить:
sin=-cos(2arctg4/3)={обозначим arctg4/3 через y, тогда получим cos2y, который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу
и получим}=
Заключение
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: Косинус угла зависит только от градусной меры угла. Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370 . Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370 , они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370 , измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370 . Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
Литература
1. К.О. Ананченко Общая методика преподавания математики в школе, Мн., Унiверсiтэцкае,1997г.
2.Н.М.Рогановский Методика преподавания в средней школе, Мн., Высшая школа, 1990г.
3.Г.Фройденталь Математика как педагогическая задача,М., Просвещение, 1998г.
4.Н.Н. Математическая лаборатория, М., Просвещение, 1997г.
5.Ю.М.Колягин Методика преподавания математики в средней школе, М., Просвещение, 1999г.
6.А.А.Столяр Логические проблемы преподавания математики, Мн., Высшая школа, 2000г.