Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

СОДЕРЖАНИЕ: Построение квадратичной двумерной стационарной системы, нахождение состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. Построение траектории в круге.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

(0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

(0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x³ +a₁ x² y+b₁ xy² +g₁ y³ +a₂ x² +b₂ xy+g₂ y² +b₃ x+g₃ y+d=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где F_k (x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)x³ +a₁ x² y+b₁ xy² +g₁ y³ +a₂ x² +b₂ xy+g₂ y² +b₃ x+g₃ y+d=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3x2+2a₁ xy+b₁ y² +2a₂ x+b₂ y+b₃ )(ax+by+a₁ x² +2b₁ xy+c₁ y² )+(a₁ x² +

2b₁ xy+3g₁ y² +b₂ x+2g₂ y+g₃ )(cx+dy+a₂ x² +2b₂ xy+c₂ y² )=(x3+a₁ x² y+b₁ xy² + (1.5)

g₁ y³ +a₂ x² +b₂ xy+g₂ y² +b₃ x+g₃ y+d)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

x^m yⁿ слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a₁₊ a₁ a₂ -f=0, (1.6₁ )

(2a₁ +2b₂ -f)a₁ +2a₂ b₁ -g+6b₁ =0, (1.6₂ )

2a₁ c₁ +(2b₁ +2c₂ -g)b₁ +(6b₂ -f)g₁ =0, (1.6₃ )

(4b₁ +c₂ -g)a₁ +(a₁ +4b₂ -f)b₁ +3a₂ g₁ +3c₁ =0, (1.6₄ )

c₁ b₁ +(3c₂ -g)g₁ =0; (1.6₅ )

ca₁ +(2a₁ -f)a₂ +a₂ b₂ -k+3a=0, (1.7₁ )

(2a+d-k)a₁ +2cb1+(4b₁ -g)a2+(a₁ +2b₂ -f)b2+2a₂ g₂ +3b=0, (1.7₂ )

2ba₁ +(a+2d-k)b₁ +3cg₁ +2c₁ a₂ +(2b₁ +c₂ -g)b₂ +(4b₂ -f)g₂ =0, (1.7₃ )

bb₁ +(3d-k)g₁ +c₁ b₂ +(2c₂ -g)g₂ =0; (1.7₄ )

(2a-k)a₂ +cb₂ +(a₁ -f)b₃ +a₂ g₃ =0, (1.8₁ )

2ba₂ +(a+d-k)b₂ +2cg₂ +(2b₁ -g)b₃ +(2b₂ -f)g₃ =0, (1.8₂ )

bb₂ +(2d-k)g₂ +c₁ b₃ +(c₂ -g)g₃ =0; (1.8₃ )

(a-k)b₃ +cg₃ -df=0, (1.9₁ )

bb₃ +(d-k)g₃ -dg=0, (1.9₂ )

dk=0. (1.9₃ )

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.9₃ ) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a₂ =c₁ =0, а коэффициенты a₁ , b₁ , g₁ интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.6₁ ) – (1.9₃ ) при этих предположениях будут иметь вид:

3a₁ -f=0, (1.10₁ )

g+6b₁ =0; (1.10₂ )

(2a₁ -f)a₂ +3a=0, (1.11₁ )

(4b₁ -g)a2+(a₁ +2b₂ -f)b2+3b=0, (1.11₂ )

(2b₁ +c₂ -g)b₂ +(4b₂ -f)g₂ =0, (1.11₃ )

(2c₂ -g)g₂ =0; (1.11₄ )

2aa₂ +cb₂ +(a₁ -f)b₃ =0, (1.12₁ )

2ba₂ +(a+d)b₂ +2cg₂ +(2b₁ -g)b₃ +(2b₂ -f)g₃ =0, (1.12₂ )

bb₂ +2dg₂ +(c₂ -g)g₃ =0; (1.12₃ )

ab₃ +cg₃ -df=0, (1.13₁ )

bb₃ +dg₃ -dg=0. (1.13₂ )

Из условий (1.10₁ ) и (1.10₂ ) получаем, что

f = 2a_1, g = 6b₁ .

Из условия (1.11₄ ) имеем

(2c₂ -g)g₂ =0.

Пусть g_2, тогда

2c₂ -g=0 и g=2c₂ ,

с другой стороны g = 6b₁ , значит

c₂ =3b₁ .

Имея условия f = 2a_1, g = 6b_1, c₂ =3b₁ , из соотношений (1.11₁ ) – (1.11₃ ), (1.12₁ ), (1.12₃ ) и (1.13₁ ) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

a_{2 =} , b₂ = ,

g₂ = , b₃ = ,

g₃ = ,(1.15)

d = .

Равенства (1.12₂ ) и (1.13₂ ) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₁ , b₁ , b₂ :

(2ab₁ -ba₁ )[3(32a₁ b₁ b₂ -15a₁ ² b₁ -16b₁ b₂ ² ) a+(8a₁ b₂ ² -18a₁ ² b₂ +9a₁ ³ ) b+

24(a₁ b₁ ² -b₁ ² b₂ ) c+(16a₁ b₁ b₂ -15a₁ ² b₁ ) d]=0, (1.16)

(2ab₁ -ba₁ )[12(7a₁ b₁ b₂ -3a₁ ² b₁ -4b₁ b₂ ² ) a² +6(3a₁ b₁ ² -4b₁ ² b₂ ) ac+(3a₁ ² b₁ -

-4a₁ b₁ b₂ ) bc+2(4a₁ ² b₂ -3a₁ ³ )bd –8a₁ b₁ ² cd+4a₁ ² b₁ d² ]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c ₁ = a ₂ = 0, c ₂ = 3 b ₁ .

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a₂ =c₁ =0, c₂ =3b₁ . (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a₁ x² +2b₁ xy)+n(cx+dy+2b₂ xy+3b₁ y² )=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ , получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a₁ -a)m= 0, (1.21₁ )

(2b₁ -b)m+(2b₂ -a)n=0, (1.21₂ )

(3b₁ -b)n=0; (1.21₃ )

(a-g)m+cn-pa=0, (1.22₁ )

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.22₂ )

pg= 0. (1.22₃ )

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p0. Тогда из условия (1.22₃ ) получаем, что g=0.

Условия (1.22₁ ), (1.22₂ ) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.23₁ )

bm+dn-bp= 0. (1.23₂ )

Из условий (1.21₁ ) и (1.21₃ ) имеем:

(a₁ -a)m= 0,

(3b₁ -b)n=0.

Пусть m0, тогда a₁ -a=0 и

a=a₁ , (1.24)

а при n0, получаем, что 3b₁ -b=0 и

b=3b_1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.21₂ ) находим выражение коэффициента m:

m=, (1.26)

а соотношение (1.23₁ ) даст значение коэффициента p:

p=. (1.27)

Из равенства (1.23₂ ), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a₁ b₁ -2b₁ b₂ ) a+(2a₁ b₂ -a₁ ² ) b-3b₁ ² c+a₁ b₁ d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c₁ =a₂ = 0, c₂ = 3b₁ .

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab₁ -ba₁ )[3(32a₁ b₁ b₂ -15a₁ ² b₁ -16b₁ b₂ ² ) a+(8a₁ b₂ ² -18a₁ ² b₂ +9a₁ ³ ) b+

24(a₁ b₁ ² -b₁ ² b₂ ) c+(16a₁ b₁ b₂ -15a₁ ² b₁ ) d]=0,

(2ab₁ -ba₁ )[12(7a₁ b₁ b₂ -3a₁ ² b₁ -4b₁ b₂ ² ) a² +6(3a₁ b₁ ² -4b₁ ² b₂ ) ac+(3a₁ ² b₁ -

-4a₁ b₁ b₂ ) bc+2(4a₁ ² b₂ -3a₁ ³ )bd –8a₁ b₁ ² cd+4a₁ ² b₁ d² ]=0,

[3(a₁ b₁ -2b₁ b₂ ) a+(2a₁ b₂ -a₁ ² ) b-3b₁ ² c+a₁ b₁ d] n=0.

Причем b₁ 0, a₁ 0, 2b₁ a-ba₁ 0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a₁ =, b₁ =1, b₂ =0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a-b-3c+d=0, (1.30)

-a+b+6c-d=0, (1.31)

-a² +d² +ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=a-b+d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=(-21a+b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=a,

c=-a, (1.35)

d=- a,

a₁ =, b₁ =1, a₂ =0, c₁ =0, b₂ =0, c₂ =3b₁ =3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a₂ =12a, b₂ = -a,

g₂ =a, b₃ =a² ,

g₃ = -a² ,d=a³ , (1.36)

m= -n, p= -an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x³ +12ax² -axy+ay² +a² x-a² y+a³ =0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y⁴ -11776ay³ +5480a² y² -825a³ y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y₀ =0, y₁ =a, y₂ =a, y₃ =a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x₀ =0, x₁ = -a, x₂ = -a, x₃ = -a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

1. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

(2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

==0.

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.

2. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

то есть

, .

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a0, то точка - устойчивый узел, если a0, то точка -неустойчивый узел.

3. Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

, .

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .

4. Исследуем точку .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

,

Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a0 и неустойчивый узел, если a0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

(2.9)

Введем новое время . Система (2.9) примет вид:

(2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

(2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N₁ (0,0) N₂ (0,).

Исследуем характер точек N₁ , N₂ .

1. Исследуем точку N₁ (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N₁ :

(2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₁ (0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N₂ (0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N₂ :

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N₂ (0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

(2.15)

При z=0, получаем:

(2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N₃ (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N₃ :

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₃ (0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

a	О	А	В	С
					N1	N2	N3
(-;0)	с	У+	с	У-	У+	с	У+
(0;+)	с	У-	с	У+	У+	с	У+

Примечание: через с, у⁺ , у^- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a0 и a0 дается соответственно рис. 1(а,б).

а ) (a0)

б) (a0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а0 – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N₃ , а – сепаратрисы примыкают к точке А и N₁ , а при а0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N₁ , w - сепаратрисы – к точке С и N₃ .

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а0 определяется рисунком 2а приложения, а при а0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Поведение траекторий системы (2.1)

а) (а0)

б) (а0)

Рис. 2

Скачать архив с текстом документа