Колебания и волны. Оптика. Квантовая и ядерная физика

СОДЕРЖАНИЕ: Федеральное агентство по образованию Глазовский инженерно-экономический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ижевский государственный технический университет»

Федеральное агентство по образованию

Глазовский инженерно-экономический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ижевский государственный технический университет»

Кафедра «Естественно-научные и гуманитарные дисциплины»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по учебной дисциплине «Физика»

на тему: «Колебания и волны. Оптика. Квантовая и ядерная физика»

Выполнила студентка

2 курса, гр. 3211

Проверил А.Б. Федоров

Глазов, 2010

Содержание

Введение…..…………….………………..……………………………….……….4

1. Механические гармонические колебания. Гармонический осциллятор….. 8

2. Корпускулярно-волновой дуализм в микромире. Гипотеза де - Бройля. Некоторые свойства волн де - Бройля. Вероятностный смысл волн де – Бройля………………………………………………………………………………….17

3. Свободные колебания……………………………………..….………………26

4. Электромагнитные волны….. …………………………………..……...…….27

5. Интерференция света ………………………………………...….…...…...….28

6. Дифракция света …………………………………………………...............…29

7. Волновая оптика...…………………………………………………………….29

8. Оптика………………..…….………………….………………….………...….30

9. Основные понятия квантовой механики …....…………………….….……..31

10. Основные понятия квантовой механики ………………….……………….32

11. Квантовая физика. Строение атома ……………..........................................33

12. Ядерная физика ………...……………………...………………..….………..34

Заключение..……………………………………………………….……………..36

Литература……………………………………………..………………………...37

Приложения…………………………………………………………………..….38

Введение

При изучении темы «Колебания» параллельно рассматриваются механические и электромагнитные колебания. Рассматриваются понятия фазы, разности фаз, амплитуды, частоты, периода колебаний, использование графического метода представления гармонического колебания. Любые колебания линейной системы всегда можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными частотами, амплитудами и начальными фазами.

Изучение темы «Волны» начинается с изучения механических волн, распространяющихся в упругих средах. Здесь внимание приковано на картину мгновенного распределения смещений и скоростей в бегущей волне, различие между бегущей и стоячей волнами, зависимость фазовой скорости от частоты колебаний, связи между групповой и фазовой скоростями и их равенстве в отсутствии дисперсии волн. Особое внимание уделяется условию интерференции волн, энергетическому соотношению при интерференции волн, перераспределению энергии при образовании минимумов и максимумов интенсивности. При изучении электромагнитных волн, необходимо ясно представлять физический смысл уравнений Максвелла и рассмотреть свойства этих волн. Нужно четко представлять, что переменные электрическое и магнитное поля взаимосвязаны, они поддерживают друг друга и могут существовать независимо от источника, их породившего, распространяясь в пространстве в виде электромагнитной волны. Другими словами, электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Под энергией электромагнитного поля следует подразумевать сумму энергий электрического и магнитного полей. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является колеблющийся электрический диполь. Следует помнить, что если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

В настоящее время волновая оптика является частью общего учения о распространении волн. При изучении явлений интерференции, дифракции, объясняемых с позиций волновой природы света, обращается внимание на общность этих явлений для волн любой природы. Но световые волны имеют специфические особенности, когерентность, монохроматичность, которые обусловлены конечной длительностью свечения отдельного атома.

При изучении интерференции света особое внимание обращается на такие вопросы, как цвета тонких пленок, полосы равной толщины и равного наклона. При интерференции света имеет место суперпозиция, связанная с перераспределением энергии, а не с взаимодействием волн.

Рассматривая явление дифракции, изучается метод зон Френеля, графический метод сложения амплитуд, что способствует пониманию дифракции на одной щели, дифракционной решетке. Кроме того, изучается дифракция на пространственной решетке и формула Вульфа — Брэгга, являющейся основной в рентгено-структурном анализе, имеющем важнейшее практическое применение.

Поперечность световых волн была экспериментально установлена при изучении явления поляризации света, которое имеет большое практическое применение. При изучении этого явления особое внимание обращается на способы получения поляризованного света и применение законов Брюстера, Малюса, на явление вращения плоскости поляризации в кристаллах и растворах, эффект Керра.

При изучении явления дисперсии света, рассматривается сущность электронной теории этого явления, отличие нормальной дисперсии и аномальной.

При движении заряженных частиц в веществе в том случае, когда их скорость движения превышает фазовую скорость световых волн в этой среде, возникает излучение Вавилова — Черенкова, которое нужно рассматривать как классическое явление.

Переход от классической физики и квантовой связан с проблемой теплового излучения и, в частности, с вопросом распределения энергии по частотам в спектре абсолютно черного тела. Изучая тему «Квантовая природа излучения», необходимо знать гипотезу Планка о квантовании энергии осцилляторов и уяснить, что на основании формулы Планка могут быть получены законы Стефана — Больцмана и Вина.

Развитие гипотезы Планка привело к созданию представлений о квантовых свойствах света. Кванты света получили название фотонов. С позиций квантовой теории света объясняются такие явления, как фотоэлектрический эффект и эффект Комптона. При изучении фотоэффекта следует знать формулу Эйнштейна и на ее основании уметь объяснить закономерности, установленные Столетовым.

Рассматривая эффект Комптона, необходимо обратить внимание на универсальный характер законов сохранения, которые оказываются справедливыми в каждом отдельном акте взаимодействия фотона с электроном.

Изучая световое давление, важно понять, что это явление может быть объяснено как на основе волновых представлений о свете, так и с точки зрения квантовой теории.

В итоге изучения этого раздела сформировывается представление о том, что электромагнитное излучение имеет двойственную корпускулярно-волновую природу (корпускулярно-волновой дуализм). Корпускулярно-волновой дуализм является проявлением взаимосвязи двух основных форм материи: вещества и поля.

Задачи на гармонические колебания охватывают такие вопросы, как определение амплитуды скорости, ускорения, энергии, периода механических колебаний, силы тока, напряжения, энергии и частоты электромагнитных колебаний.

Волновые процессы представлены задачами, в которых определяются частота, длина, скорость распространения, энергия и объемная плотность энергии механических и электромагнитных волн.

Задачи по теме «Интерференция света» включают расчет интерференционной картины от двух когерентных источников, интерференцию в тонких пленках, полосы равной толщины и равного наклона.

Тема «Дифракция света» представлена задачами на определение количества зон Френеля, дифракции в параллельных лучах на одной щели, на плоской и пространственной дифракционных решетках, разрешающей способности дифракционной решетки.

Задачи по теме «Поляризация света» охватывают такие вопросы, как применение законов Брюстера, Малюса, определение степени поляризации, вращение плоскости поляризации в растворах и кристаллах.

Тема «Распространение света в веществе» включают законы теплового излучения, фотоэффект, эффект Комптона, давление света.

Изучение Элементов атомной и ядерной физики начинается с элементов квантовой механики и рассмотрения таких вопросов, как корпускулярно-волновой дуализм материи, гипотезы де Бройля, что движение любой частицы согласно этой гипотезе всегда сопровождается волновым процессом. Исходя из соотношений неопределенностей Гейзенберга, определяются границы применимости классической механики и, что из этих соотношений вытекает необходимость описания состояния микрочастиц с помощью волновой функции. Рассматривается применение уравнения Шредингера к стационарным состояниям (прямоугольная потенциальная яма бесконечной глубины), правила квантования энергии, орбитального момента импульса в атоме водорода и выяснение смысла трех квантовых чисел. При изучении темы «Периодическая система элементов» необходимо обращается внимание на физический смысл спинового числа и принцип запрета Паули, на основе которого рассматривается распределение электронов в атоме по состояниям.

При изучении элементов физики атомного ядра и элементарных частиц, рассматривается состав атомного ядра и его характеристики: масса, линейные размеры, момент импульса, магнитный момент ядра, дефект массы ядра, энергия и удельная энергия связи ядра. Рассматривая состав ядра и взаимодействие нуклонов в ядре, выявляются свойства ядерных сил и их обменная природа.

В процессе изучения радиоактивного распада ядер рассматривается дискретный характер энергетического спектра - частиц и - излучения, свидетельствующий о квантовании энергии ядер; закономерности - распада, связанного с законами сохранения энергии и момента импульса.

При изучении темы «Ядерные реакции», нельзя забывать, что во всех ядерных реакциях выполняются законы сохранения: энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда, числа нуклонов. Особое внимание уделяется реакциям синтеза легких и деления тяжелых ядер, вопросам ядерной энергетики и проблемам управления термоядерными реакциями.

В задачах данной темы рассматриваются следующие вопросы: определение длины волны де Бройля движущихся частиц, соотношения неопределенностей Гейзенберга, применение уравнения Шредингера для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, рентгеновское излучение и закон Мозли, закон радиоактивного распада, определение дефекта массы, энергии связи и удельной энергии связи ядра, энергии ядерных реакций.

1. Механические электромагнитные колебания. Гармонический осциллятор.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковы­ми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Рэлеем (1842—1919), А. Г. Столетовым, русским инжене­ром-экспериментатором П. Н. Лебедевым (1866—1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л. И. Мандельштам (1879—1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колеба­ния величины s описываются уравнением типа

, (1)

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, w₀ — круговая (циклическая) частота, j — начальная фаза колебания в мо­мент времени t=0, (w₀ t+j) — фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повто­ряются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2p, т. е.

откуда

(2)

Величина, обратная периоду колебаний,

(3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при кото­рой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющей­ся величины s:

(4)

(5)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (4) и (5) соответственно равны Аw₀ и Аw. Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на p/2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на p. Следовательно, в моменты времени, когда s=0, ds/dt приобрета­ет наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значе­ния, то d² s/dt² приобретает наибольшее положительное значение (рис. 1).

Рисунок 1.

Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

, (6)

где s = A cos (w₀ t+j).

Решением этого уравнения является выражение (1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося век­тора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точ­ки О, выбранной на оси х, под углом j, равным начальной фазе колебания, откладыва­ется вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 2). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w₀ , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s=A cos (w₀ t+j). Таким образом, гармоническое колебание мож­но представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амп­литуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w₀ вокруг этой точки.

В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода враща­ющегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

(7)

где — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (1) можно записать в комплексной форме:

(8)

Вещественная часть выражения (8)

представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (8) будем записывать в виде

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Рисунок 2.

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (1), где s=x:

(1.1)

Согласно выражениям (4) в (5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

(1.2)

Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т, с учетом (1.1) и (1.2) равна

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармони­ческие колебания, равна

(1.3)

или

(1.4)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колеба­ния под действием упругой силы F, равна

(1.5)

или

(1.6)

Сложив (1.3) и (1.5), получим формулу для полной энергии:

(1.7)

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справе­длив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул (1.4) и (1.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2w₀ , т.е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания. На рис. 3 представлены графики зависимости x, T и П от времени. Так как sin² a = cos² a = 1/2, то из формул (1.3), (1.5) и (l.7) следует, что T = П = E.

Рисунок 3

Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида (6);

(2.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения, и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классичес­кой и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружин­ный, физический и математический маятники, колебательный контур. Рассмотрим два из этих примера.

Пружинный маятник — это груз массой , подвешенный на абсолютно- упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины (рис. 4). Уравнение движения маятника

или

Из выражений (2.1) и (1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону с циклической частотой

(2.2)

и периодом

(2.3)

Формула (2.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука, т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (1.5) и (2.2), равна

Рисунок 4.

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соот­ветствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент M возвращающей силы можно записать в виде

(2.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_t = –mg sina » –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_t и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (2.4) можно записать в виде

или

Принимая

(2.5)

получим уравнение

идентичное с (2.1), решение которого (1) известно:

(2.6)

Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w₀ (см. (2.5)) и периодом

, (2.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 5). Применяя теорему Штейнера, получим

,

т. е. ОО всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физичес­кого маятника не изменится.

Рисунок 5.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести (рис. 6).

Рисунок 6.

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

, (2.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (2.8) в формулу (17), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

(2.9)

Сравнивая формулы (2.7) и (2.9), видим, что если приведенная длина L физичес­кого маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с пери­одом колебаний данного физического маятника.

2. Корпускулярно-волновой дуализм в микромире. Гипотеза де - Бройля. Некоторые свойства волн де - Бройля. Вероятностный смысл волн де - Бройля.

Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987), осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой приро­де света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной сторо­ны, корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс p, а с другой — волновые характеристики — частота n и длина волны l. Количественные соотношения, связыва­ющие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

(3.1)

Смелость гипотезы де Бройля заключалась именно в том, что соотношение (3.1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

(3.2)

Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.

Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. амери­канские физики К. Дэвиссон (1881—1958) и Л. Джермер (1896—1971) обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кри­сталла никеля, — дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные макси­мумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов, а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле (3.2). В даль­нейшем формула де Бройля была подтверждена опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (энергия »50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной »1 мкм).

Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, то необ­ходимо было доказать, что волновые свойства присущи не только потоку большой совокупности электронов, но и каждому электрону в отдельности. Это удалось экс­периментально подтвердить в 1948 г. российскому физику В. А. Фабриканту (р. 1907). Он показал, что даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый электрон проходит через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами в 10⁴ раз больше времени прохождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электро­нов, в десятки миллионов раз более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свойством их коллектива, а присущи каждой частице в отдель­ности.

Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством нали­чия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рас­считываемой по формуле де Бройля (3.2). Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких, как электронография и нейтронография, а также к возникновению новой отрасли науки — электронной оптики.

Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц приве­ло к выводу о том, что перед нами универсальное явление, общее свойство материи. Но тогда волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Почему же они не обнаружены экспериментально? Например, частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с l = 6,6210^–31 м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области (периодических структур с периодом d»10^–31 м не существует). Поэтому считается, что макроскопические тела проявляют только одну сторону своих свойств — корпускулярную — и не проявляют волновую.

Представление о двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества углубляется еще тем, что на частицы вещества переносится связь между полной энергией частицы e и частотой n волн де Бройля:

(3.3)

Это свидетельствует о том, что соотношение между энергией и частотой в формуле (3.3) имеет характер универсального соотношения, справедливого как для фотонов, так и для любых других микрочастиц. Справедливость же соотношения (3.3) вытека­ет из согласия с опытом тех теоретических результатов, которые получены с его помощью в квантовой механике, атомной и ядерной физике.

Подтвержденная экспериментально гипотеза да Бройля о корпускулярно-волновом дуализме свойств вещества коренным образом изменила представления о свойствах микрообъектов. Всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойст­ва; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализ­ма может быть выражена словами академика В. А. Фока (1898—1974): «Можно ска­зать, что для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна—частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в виде какой-нибудь модели неправильно.» (в сб.: Философские вопросы современной физики. — М.: Изд-во АН СССР, 1959).

Некоторые свойства волн де Бройля .

Рассмотрим свободно движущуюся со скоростью v частицу массой т. Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн да Бройля. Фазовая скорость

(4.1)

(E=ћw и p=ћk, где k=2p/l—волновое число). Так как cv, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (фазовая скорость волн может быть как меньше, так и больше с в отличие от групповой скорости волн). Групповая скорость,

Для свободной частицы и

Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.

Групповая скорость фотона , т.е. равна скорости самого фотона.

Волны де Бройля испытывают дисперсию. Действительно, подставив в выражение (4.1) v_фаз =E/p формулу Е=, увидим, что скорость волн де Бройля зависит от длины волны. Это обстоятельство сыграло в свое время большую роль в развитии положений квантовой механики. После установления корпускулярно-волнового дуализма делались попытки связать корпускулярные свойства частиц с волновыми и рассматривать частицы как «узкие» волновые пакеты, «составленные» из волн де Бройля. Это позволяло, как бы отойти от двойственности свойств частиц. Такая гипотеза соответствовала локализации частицы в данный мо­мент времени в определенной ограниченной области пространства. Аргументом в пользу этой гипотезы являлось и то, что скорость распространения центра пакета (групповая скорость) оказалась, как показано выше, равной скорости частицы. Однако подобное представление частицы в виде волнового пакета (группы волн де Бройля) оказалось несостоятельным из-за сильной дисперсии волн де Бройля, приводящей к «быстрому расплыванию» (примерно 10^–26 с!) волнового пакета или даже разделе­нию его на несколько пакетов.

Вероятностный смысл волн де - Бройля.

Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречие целого ряда экспериментов с применяемыми в начале XX в. теориями привели к новому этапу развития квантовой теории — созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX в.; она связана прежде всего с работами австрийского физика Э. Шредингера (1887—1961), немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака (1902—1984).

На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина, наблюдаемая для световых волн, характеризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсив­ность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям, — в одних направлениях наблюдается большее число ча­стиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсив­ности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц, т. е. интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистичес­кой (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важ­нейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т. е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн (1882—1970) в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Y(х, у, z, t). Эту величину называют также волновой функцией (или Y-функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

(5.1)

(|Y|² =YY*, Y* — функция, комплексно сопряженная с Y). Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероят­ностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент време­ни t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому — с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна

(5.2)

Величина

.

(квадрат модуля Y-функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с коор­динатами х, у, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Y-функция, а квадрат ее модуля |Y|² , которым задается интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме сложения вероятностей, равна

Так как |Y|² dV определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Y нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей

, (5.3)

где данный интеграл (5.3) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, z от – до . Таким образом, условие (5.3) говорит об объективном существовании частицы в пространстве.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микро­частиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Y, харак­теризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может нахо­диться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Y₁ , Y₂ ,..., Y_n ,... то она также может находиться в состоянии Y, описываемом линейной комбинацией этих функций:

,

где С_n (n=1, 2, ...)—произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квад­ратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Y, являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние r электрона от ядра вычисляют по формуле

,

где интегрирование производится, как и в случае (5.3).

3. (1) Материальная точка массой 7,1 г совершает гармонические колебания с амплитудой 2 см и частотой 5 Гц. Чему равна максимальная возвращающая сила и полная энергия колебаний?

Дано:	СИ	Решение:
г см Гц	кг м	Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона: , где - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости: , или . Подставив выражение ускорения в формулу силы, получим . Отсюда максимальное значение силы . Подставив в это уравнение значения всех известных величин, найдем Н Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени. Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии: . Максимальную скорость определим из формулы , положив : . Подставив выражение скорости в формулу, найдем . Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим Дж Ответ: Н, Дж
Найти:	Н Дж

4. (11) В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны 0,1 А/м. Определить амплитуду напряженности электрического поля волны и среднюю по времени плотность энергии волны.

Дано:	СИ	Решение:
		В электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением . Так как наша волна распространяется в вакууме, то , . Откуда имеем . Подставив числовые значения, получим Плотность потока энергии Подставив числовые значения, получим Ответ: ,
Найти:

5. (21) Расстояние между двумя когерентными источниками 0,9 мм, а расстояние от источников до экрана 1,5 м. Источники испускают монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм. Определить число интерференционных полос, приходящихся на 1 см экрана.

Дано:	СИ	Решение:
мм мкм м см	м м м	Интенсивность в произвольной точке А определяется разностью хода , где , , откуда или . Так как , то , поэтому Положение максимумов: , (m=0, 1, 2….) Положение минимумов: , (m=0, 1, 2….) Так как расстояние между двумя соседними максимумами (минимумами) называется шириной интерференционной полосы и находится как , можно найти сколько интерференционных полос приходится на 1см экрана по формуле . Подставим числовые значения в формулу и получим м Таким образом, число интерференционных полос будет равно Ответ: .
Найти:

6. (31) Параллельный пучок света от монохроматического источника (= 0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметром 1 мм. Темным или светлым будет центр дифракционной картины на экране, находящемся на расстоянии 0,5 м от диафрагмы?

Дано:	СИ	Решение:
мм мкм м	м м	Пусть в отверстие диафрагмы укладывается зон Френеля, тогда радиус -ой зоны равен радиусу диафрагмы . Отсюда находим . После подстановки наших значений получим . Поскольку число открытых зон Френеля нечетно, то центр дифракционной картины будет светлым. Ответ: , центр дифракционной картины на экране будет светлым.
Найти:

7. (41) Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности воды, были максимально поляризованы?

Дано:	СИ	Решение:
		Пусть - угол падения солнечных лучей, - угол между направлением на Солнце и горизонтом. По закону Брюстера , где - показатель преломления воды. Тогда . Тогда Ответ:
Найти:

8. (51) Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вылетающих из вольфрамового электрода, освещаемого ультрафиолетовым светом с длиной волны 0,2 мкм.

Дано:	СИ	Решение:
		Из приложения находим, что работа выхода для вольфрама . Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: . рассматривается как максимальная кинетиеская энергия фотоэлектронов, а энергия фотона вычисляется по формуле: , где - постоянная Планка; - скорость света в вакууме; - длина волны излучения. Подставляя числовые значения в первую формулу, получим, что энергия электромагнитного излучения . Так как энергия фотона - меньше энергии покоя электрона, то данный случай является нерялетивистским, и при решении задачи максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона определим по формуле . Отсюда максимальная скорость фотоэлектронов будет равна Подставляя числовые значения в полученную формулу находим . Ответ:
Найти:

9. (61) Какой кинетической энергией должен обладать электрон, чтобы дебройлевская длина волны была равна его комптоновской длине волны?

Дано:	СИ	Решение:
		де Бройля: Комптона: умножаем ур-е на с , где - энергия покоя Из СТО: Решаем квадратное уравнение Так как , то решением является только положительный корень: МэВ МэВ Ответ: эВ
Найти:	эВ

10. (71) Среднее расстояние электрона от ядра в невозбужденном атоме водорода равно 52,9 пм. Вычислить минимальную неопределенность скорости электрона в атоме.

Дано:	СИ	Решение:
кг	м	Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. После подстановки числовых значений находим Ответ:
Найти:

11. (81) Сколько линий спектра атома водорода попадает в видимую область (= 0,40 — 0,76 мкм)? Вычислить длины волн этих линий. Каким цветам они соответствуют?

Дано:	СИ	Решение:
		Длины волн спектральных линий водорода всех серий определяются формулой . В видимой области спектра находятся первые четыре линии серии Бальмера (n=2, k=3,4,5,6). Длины волн этих линий будут равны: - красная линия - голубая линия - фиолетовая линия - фиолетовая линия Ответ: , , ,
Найти:	м

12. (91) Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи дейтерия.

Дано:	СИ	Решение:
		Дефект массы ядра определяем по формуле . Вычисление дефекта массы выполним во внесистемных единицах (а.е.м.). Для ядра , . Массы нейтральных атомов водорода и дейтерия, а также нейтрона найдем из таблицы. Подставим найденные массы в выражение и произведем вычисления. В итоге получаем а.е.м. Энергия связи ядра определяется соотношением . Энергию связи ядра также найдем во внесистемных единицах (МэВ). Для этого дефект массы подставим в выражение энергии связи в а.е.м., а коэффициент пропорциональности () – в МэВ/(а.е.м.). Подставляя числовые данные, получим МэВ. Удельная энергия связи, приходящаяся на один нуклон Подставляя числовые данные, получим МэВ/нуклон Ответ: а.е.м., МэВ, МэВ/нуклон
Найти:

Заключение

В моей курсовой работе были рассмотрены следующие вопросы: механические гармонические колебания, гармонический осциллятор по теме «Свободные колебания» и корпускулярно-волновой дуализм в микромире, гипотеза де – Бройля, некоторые свойства волн де – Бройля, вероятностный смысл волн де – Бройля по теме «Основные понятия квантовой физики».

Решены задачи по следующим темам: «Свободные колебания», «Электромагнитные волны», «Интерференция света», «Дифракция света», «Волновая оптика», «Основные понятия квантовой механики», «Квантовая физика. Строение атома», «Ядерная физика».

Литература

1. Трофимова Т.Н. Курс физики.- М.: ВШ, 2000.

2. Савельев И.В. Курс общей физики,- М: Наука, 1982-1984, т. 1-3.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Наука, 1979-1989, т. I-V.

4. Огурцов А.Н. Лекции по физике.

5. Методические указания и контрольные задания для курсовой работы. –Г: 2007

Приложения

1. Основные физические постоянные (округленные значения)

Физическая постоянная	Обозначение	Числовое значение
Нормальное ускорение свободного падения	g	9,81 м/c2
Гравитационная постоянная	G	м3 /(кгс)2
Постоянная Авогадро	N A	моль-1
Молярная газовая постоянная	R	8,31 Дж/(мольК)
Постоянная Больцмана	k	Дж/К
Объем одного моля идеального газа при нормальных условиях (T 0 = 273,15 К, p 0 = 101325 Па)	V 0	м3 /моль
Элементарный заряд	е	Кл
Масса покоя электрона	m e	кг
Постоянная Фарадея	F	9,65 Кл/моль
Скорость света в вакууме	с	м/с
Постоянная Стефана — Больцмана		Вт/(м2 К4 )
Постоянная Вина в первом законе (смещения)	b 1	мК
Постоянная Вина во втором законе	b 2	Вт/(м3 К5 )
Постоянная Планка	h	Джс
		Джс
Постоянная Ридберга	R	м-1
Боровский радиус	r	м
Комптоновская длина волны электрона		м
Энергия ионизации атома водорода	Е i	Дж = 13,6 эВ
Атомная единица массы	а. e. м.	кг
Энергия, соответствующая 1 а. е. м.		931,50 МэВ
Электрическая постоянная		Ф/м
Магнитная постоянная		Гн/м
Магнетон Бора		Дж/Тл
Ядерный магнетон		Дж/Тл

2. Удельное сопротивление р, 10^-8 , Омм

Вольфрам	5,5	Железо	9,8	Никелин	40
Нихром	110	Медь	1,7	Серебро	6,0

3. Показатель преломления

Алмаз	2,42	Вода	1,33	Глицерин	1,47
Каменная соль	1,54	Кварц	1,55	Сероуглерод	1,63
Скипидар	1,48	Стекло	1,52	Кислород	1,00027

4. Интервалы длин волн, соответствующие различным цветам спектра, нм

Фиолетовый	400 — 450	Голубой	480 — 500	Желтый	560 — 590
Синий	450 — 480	Зеленый	500 — 560	Оранжевый	590 — 620
Красный	620 — 760

5. Масса m ₀ и энергия Е ₀ покоя некоторых элементарных частиц и легких ядер

Частицы	m 0		Е 0
	а. е. м.	10-27, кг	МэВ	10-10 , Дж
Электрон	5,48610-4	0,00091	0,511	0,00081
Протон	1,00728	1,6724	938,23	1,50
Нейтрон	1,00867	1,6748	939,53	1,51
Дейтрон	2,01355	3,3325	1876,5	3,00
a-частица	4,0015	6,6444	3726,2	5,96

6. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименовании

Приставка		множитель	Приставка		множитель
наименование	обозначение		наименование	обозначение
экса	Э	1018	санти	с	10-2
пета	П	1015	милли	м	10-3
тера	Т	1012	микро	мк	10-6
гига	Г	109	нано	н	10-9
мега	М	106	пико	п	10-12
кило	к	103	фемта	ф	10-15
деци	д	102	атто	а	10-18

7. Работа выхода электронов из металла, эВ

Алюминий	3,7	Литий	2,3	Платина	6,3	Цинк	4,0
Вольфрам	4,5	Медь	4,4	Цезий	1,8	Никель	4,8

8. Элементы периодической системы н массы нейтральных атомов, а.е.м.

Элемент системы	Изотоп	Масса	Элемент системы	Изотоп	Масса
Водород	—		Алюминий		26,98135
		1,00783	Кремний		26,81535
		2,01410	Фосфор		32,97174
		3,01605	Сера		32,97146
Гелий	—		Железо		55,94700
		3,01605	Медь		63,5400
		4,00260	Вольфрам		183,8500
Литий		7,01601	Магний		23,98504
Бериллий		7,01169			26,98436
Бор		10,01294	Кальций		47,95236
		11,00931	Серебро		107,869
Азот		14,00307	Радий		226,0254
Кислород		15,99492	Торий		232,038
		16,99913	Уран		238,0508

Скачать архив с текстом документа