Комплексные числа: их прошлое и настоящее

СОДЕРЖАНИЕ: Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

Комплексные числа, их прошлое и настоящее.

Содержание.

I. Введение.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

III. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

3. Операция сопряжения и ее свойства.

4. Извлечение корней.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

IV. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кердано.

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

VI. Заключение.

VII. Литература.

I. Введение.

Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Именно, если дано:

() Линейное уравнение ax+b=0, где а0, то x=-^b /_a – единственный корень;

() Квадратное уравнение ax+bx+c=0, где a,b,c – действительные числа, a0, то x=^{- b ± b b -4 ac} /_{2 a} ; при этом число корней зависит от величины D = b² – 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

При D0 – два действительных корня, D=0 – один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D0 – нет действительных корней.

Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические, … Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием – понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений.

II. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики.

Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ -1 как формальное решение уравнения х² +1=0, а также выражение более общего вида (а+b-1) для записи решения уравнения (х-а)² +b² =0. Впоследствии выражения вида (а+b-1) стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а+bi) (символ i для обозначения -1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.). Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени.

МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано)… Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а -1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле).

Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения n-ой степени, т.е. уравнения вида a₀ xⁿ +a₁ x^{n -1} +…+a_{n -1} x+a_n =0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени n ( n 1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число совпадающих с ним корней). При n 5 общее алгебраическое уравнение степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени.

После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП).

III / Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.

1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

(x₁ ,y₁ )+(x₂ ,y₂ )=(x₁ +x₂ , y₁ +y₂ ); (1)

(x₁ ,y₁ )(x₂ ,y₂ )=(x₁ x₂ – y_i y₂ , x_i y₂ + x₂ y₁ ). (2)

Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).

Два комплексных числа z₁ =(x₁ ,y₁ ) и z₂ =(x₂ ,y₂ ) называются равными только в том случае, когда x₁ =x₂ и y₁ =y₂ . Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)

Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i² =-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).

Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:

а) z₁ +z₂ =z₂ +z₁ (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)

б) z₁ z₂ =z₂ z₁

в) z₁ +(z₂ +z₃ )=(z₁ +z₂ )+z₃ (сочетательный закон или ассоциативность)

г) z₁ (z₂ z₃ )=(z₁ z₂ )z₃

д) (z₁ +z₂ )z₃ =z₁ z₃ +z₂ z₃ (распределительный закон или дистрибутивность)

Вычитание и деление комплексных чисел z₁ =x₁ +iy₁ и z₂ =x₂ +iy₂ определяют, причем однозначно, их разность z₁ -z₂ и частное z₁ /z₂ как решения соответствующих уравнений z+z₂ =z₁ и zz₂ =z₁ (при z₂ 0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z₁ на z₂ вычисляются по формулам:

z₁ -z₂ =(x₁ -x₂ )+i(y₁ -y₂ ), (4)

z₁ /z₂ =(x₁ x₂ +y₁ y₂ )/(x₂ ² +y₂ ² ) + i((y₁ x₂ -x₁ y₂ )/(x₂ ² +y₂ ² )) (5)

Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z₁ +(-z₂ ), где число (-z₂ ) называется противоположным z₂ ; деление – как действие, обратное умножению: z=z₁ (z₂ ^-1 ), где z₂ ^-1 – число, обратное для z₂ (z₂ 0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i² =-1.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.

Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).

Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.

Число r=x² +y² ­, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

Угол =(0М,0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy 0, называется его аргументом.

Из определения видно, что каждое комплексное число (0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2 и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом 0, если поворот совершается против часовой стрелки и 0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy 0 есть всякое решение системы уравнений cos=x/x² +y² ; sin=y/x² +y² .

Значение Argz при условии 0Argz2 называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -.

Между алгебраическими х, у и геометрическими r, характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcos, y=rsin, следовательно, z=x+iy=r(cos+isin). Последнее выражение, т.е. z= r(cos+isin) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z0 может быть представлено в тригонометрической форме.

Для практики число вида (cos+isin) удобнее записывать короче, с помощью символа eⁱ =cos+isin (7). Доказанное для любых чисел (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=reⁱ (8)

3. Операция сопряжения и ее свойства.

Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).

Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,

z+z=2x=2Rez;

z-z=2iy=2iImz;

zz=x² +y² =|z|² ,

а также: z₁ +z₂ =z₁ +z₂ ; z₁ z₂ =z₁ z₂ ; (z₁ /z₂ )=z₁ /z₂ ; P(z)=P(z), где Р (z) – любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q– многочлены с действительными коэффициентами.

4. Извлечение корней.

Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zⁿ =a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:

a=+i=±((|a|+)/2 ± i(|a|-)/2)), где знак «+» в скобках берется при 0, «-» - при 0.

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

Пусть даны два комплексных числа z₁ и z₂ . В результате сложения этих чисел получается число z₃ , изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z₁ +z₂ =0A+0B=0C=z₃ .

Рис.3

Разность (z₁ -z₂ ) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z₁ и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z₁ -z₂ =z₁ +(-z₂ )=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z₁ -z₂ ) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

Умножение. Пусть даны два комплексных числа z₁ =r₁ (cos₁ +isin₁ ) и z₂ =r₂ (cos₂ +isin₂ ). Перемножая их получим z₁ z₂ =r₁ r₂ (cos(₁ +₂ )+isin(₁ +₂ )). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

Деление. Если требуется разделить z₁ на z₂ , то выполняем следующие преобразования: z₁ /z₂ =(z₁ z₂ )/(z₂ z₂ )=(r₁ (cos₁ +isin₁ )r₂ (cos₂ -isin₂ ))/ (r₂ (cos₂ +isin₂ )r₂ (cos₂ -isin₂ ))=(r₁ /r₂ )(cos(₁ -₂ )+isin(₁ -₂ )), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень. Умножая число z=r(cos+isin) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zⁿ =rⁿ (cos+isin)ⁿ =rⁿ (cosn+isinn). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cos+isin)ⁿ = cosn+isinn (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

Извлечение корня. Пусть а=reⁱ , z=eⁱ . Решаем уравнение zⁿ =a для вычисления ⁿ a: ⁿ eⁱⁿ =reⁱ . Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2, получаем: ⁿ =r, n-=2K, или =ⁿ r; _{K +1} =(+2K)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, z_k =ⁿ r(cos+isin)=ⁿ r((cos+2K)/n+isin(+2K)/n)) (10), где ⁿ r , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений z_k (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел z_{k +1} и z_k постоянна и равна 2/n: _{k +1} -_k =(+2(K+1))/n-(+2K)/n=2/n. Отсюда следует, что все значения ⁿ a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.

IV . Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

1. Формула Кардано.

Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x³ +ax² +bx+c=0 (11).

(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y³ +py+q=0 (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у₀ – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в виде у₀ =+, где и – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим ³ +³ +( +)(3+p)+q=0 (12). Выберем теперь и так, чтобы 3+р=0. Такой выбор чисел и возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений

+=у₀ ;

=-р/3, а значит, существуют.

При этих условиях уравнение (12) примет вид ³ +³ +q=0, а т.к. еще ^{3 3} =-р³ /27, то получаем систему

³ +³ =-q;

^{3 3} =-р³ /27,

из которой по теореме Виета следует, что ³ и ³ являются корнями уравнения t² +qt-p³ /27=0. Отсюда находим: ³ =-q/2+q² /4+p³ /27; ³ =-q/2-q² /4+p³ /27, где q² /4+p³ /27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)² +(p/3)³ .

y_1.2.3 =ⁿ -q/2+q² /4+p³ /27+³ -q/2-q² /4+p³ /27, причем для каждого из трех значение первого корня ³ соответствующие значения второго корня ³ нужно брать так, чтобы было выполнено условие =-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=³ +³ , где =-q/2+q² /4+p³ /27; =-q/2-q² /4+p³ /27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).

2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.

Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x⁴ +ax³ +bx² +cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у⁴ +ру² +qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y² +p/2)² +qy+(r-p² /4)=0, а затем, введя произвольное пока число , представим его левую часть в равносильной форме (y² +p/2+)² -[2(y² +p/2)+² -qy+p² /4-r]=0 (15)

Выберем теперь число так, чтобы выражение в квадратных скобках 2y² -qy+(p+² +p² /4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q² -8(p+² +p² /4-r)=0, или 8³ +8p² +8(p² /4-r)-q² =0. Таким образом, для нахождения получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

V . Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

1. Вычислить: ii² i³ …i¹⁰ =?

Решение: ii² i³ …i¹⁰ =i^1+2+…+10 =i^1110/2 =i⁵⁵ =ii⁵⁴ =i(i² )²⁷ =i(-1)²⁷ =-i.

2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z₁ -z₂ |, г) Arg(z₁ /z₂ )?

Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;

б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;

в) |z₁ -z₂ |- расстояние между точками z₁ и z₂ , изображающими комплексные числа z₁ и z₂ ;

г) Arg(z₁ /z₂ ) – угол между изображающими векторами 0z₁ и 0z₂ .

3. Доказать, что cos3=cos³ -3sin² cos; sin3=3cos² sin-sin³ .

Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3+isin3=(cos+isin)³ =(cos³ -3cossin² )+(3cos² sin-sin³ ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3=cos³ -3sin² cos, sin3=3cos² sin- sin³ .

4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i

3x-5y=4

x+2y=16 x=8; y=4.

Ответ: z=8+4i.

5. Доказать тождество |z₁ +z₂ |² +|z₁ -z₂ |² =2(|z₁ |² +|z₂ |² ) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z₁ +z₂ |² +|z₁ -z₂ |² = (z₁ +z₂ )( z₁ +z₂ )+( z₁ -z₂ )( z₁ -z₂ )= (z₁ +z₂ )( z₁ +z₂ )+ +( z₁ -z₂ )( z₁ -z₂ )=2 z₁ z₁ +2 z₂ z₂ =2(|z₁ |² +|z₂ |² ).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

6. Найти геометрическое место точек:

а) |z-z₀ |=R; б) z=z₀ +Re^it (0t2)

Ответ: Окружность радиуса R с центром в z₀ .

в) |z-3i|=|z+2|;

г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;

д) |z|R

/4argz5/4

Решение:

в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z₁ =-2, как и от точки z₂ =3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (х_с ;у_с ), где х_с =(-2+0)/2=-1; у_с =(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=/4 и argz=5/4 и окружностью |z|=R, не содержащий () z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)² +(2x-z)² =2Re(z² ).

Доказательство:

1) (2x-z)² +(2x-z)² = 4x² -4xz+z² +4x² -4xz+z² =8x² -4x(z+z)+z² +z² =8x² -4x2x+(z+z)² -

-2zz=(2x)² -2|z|² =4x² -2(x² +y² )=2(x² +y² )=2Re(z² ).

2) 2Re(z² )=2Re(x+iy)² =2Re(x² -y² +2ixy)=2(x² -y² ).

8. Решить систему уравнений

(3-i)z₁ -(4+2i)z₂ =1+3i;

(4+2i)z₁ +(2+3i)z₂ =7.

Решение: Применим правило Крамера:

= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)² =21+23i

(4+2i)+(2+3i)

_z1 = (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i

7 (2+3i)

_z2 = (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i

(4+2i) 7

Z₁ = 21+23i =1; z₂ = 23-21i =-i(21+23i) =-i

21+23i 21+23i 21+23i

Ответ: z₁ =1; z₂ =-i.

9. Доказать, что (а² +1)(b² +1)(c² +1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, чтоа² +1=|a+i|² , тогдаимеем: (а² +1)(b² +1)(c² +1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))² +(ab+bc+ca-1)² .

10. Найтисуммы:

С=cos+cos2+…+cosn; S=sin+sin2+…+sinn.

Решение: найдем сумму =с+iS=(eⁱ +e^{2 i} +…+eⁱⁿ ) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Re; S=Im. Последовательно имеем: eⁱ +e^{2 i} +…+eⁱⁿ = eⁱ ((1- eⁱⁿ )/(1- eⁱ ))= (eⁱ (1- eⁱⁿ ) (1- e^{- i} ))/( (1- eⁱ ) (1- e^{- i} ))= =(eⁱ -1- e^{i ( n +1)} + eⁱⁿ )/|1- eⁱ |² .

Поскольку |1- eⁱ |² =|(1-cos)-isin|² =(1-cos)² +sin² =4sin² (/2);

Re(eⁱ -1- eⁱ⁽ⁿ⁺¹⁾ + eⁱⁿ )= cos-1-cos(n+1)+cosn= =- 2sin² (/2)+2sin(/2)sin(n+/2)= 2sin(/2)2sin(n/2)cos((n+1))/2 и Im(eⁱ -1- eⁱ⁽ⁿ⁺¹⁾ + eⁱⁿ )=sin-sin(n+1)+sinn=2sin(/2)(cos(/2)-cos(n+/2))= =2sin(/2)2sin(n/2)sin(((n+1))/2), тоС=(4sin(/2)sin(n/2)cos(((n+1))/2))/(4sin² (/2)) = =[sin(n/2) cos(((n+1))/2))]/ sin(/2);

S=(4sin(/2)sin(n/2)cos(((n+1))/2))/(4sin² (/2)) = =[sin(n/2) cos(((n+1))/2))]/ sin(/2)

11. Найтисумму 1+e cos+e² cos2+…+eⁿ cosn.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+e^x cosx+e^{2 x} cos2x+…+e^nx cosnx и найдем ее значение при х=.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

(z)=1+e^x+ix +e^2x+i2x +…+e^nx+inx = 1+e^x(1+i) +e^2x(1+i) +…+e^nx(1+i) =(1-( e^x(1+i) )ⁿ⁺¹ )/(1- e^x(1+i) )= =1-e^x(n+1)(1+i) /(1-e^x(1+i) )=((1-e^x(n+1)(1+i) )(1-e^x(1-i) )/((1-e^x(1+i) )(1-e^x(1-i) )) =(1- e^x(n+1)(1+i) - e^x(1-i) +e^x(n+2+ni) )/|1- e^x(1+i) |² =

=(1-e^(n+1)x e^i(n+1)x -e^x e^-ix +e^(n+2)x e^xni )/(1-2e^x cosx+e^2x )

т.к. S(x)=Re(z), то получаем формулу:

S(x)=1+e^x cosx+e^{2 x} cos2x+…+e^nx cosnx=(1-e^{( n +1) x} cos(n+1)x+e^{( n +2) x} cosnx-e^x cosx)/(1-2e^x cosx+e^{2 x} )

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S()=1+e cos+e² cos2+…+eⁿ cosn= (1+e +e ^{( n +2)} (-1)ⁿ -e^{( n +1)} (-1)^{n +1} )/(1+2e +e² )= =((1+e )+(-1)ⁿ e ^{( n +1)} (e +1))/(e +1)² =(1+(-1)ⁿ e ^{( n +1)} )/(1+e )

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.

Доказательство:

Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|² =((|z|² -1)+2iy)/|z+1|² ; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|² -1=0 |z|=1.

13. Найти все значения корня ⁴ 1+i3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

z=⁴ 1+i3=⁴ a, где a=1+i3.

Т.к. а=r(cos+isin)=2(cos/3+isin/3), то z_k =⁴ 2(cos(/3+2K)/4+isin(/3+2K), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z₀ = ⁴ 2(cos/12+isin/12); z₁ =⁴ 2(cos7/12+isin7/12);

Z₂ =⁴ 2(cos13/12+isin13/12); z₄ =⁴ 2(cos19/12+isin19/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i3)⁶ -1/(3-i)⁶ =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-i3)/((1+i3)(1-i3)))⁶ -((3+i)/((3-i)(3+i)))⁶ = =(1-i3)⁶ /|1+i3|¹² -(3+i)⁶ /|3+i|¹² =z₁ -z₂ =(т.к. |z₁ |=|z₂ |=2; ₁ =-/3; ₂ =/6, то)=1/2⁶ 2⁶ (cos(-/3)+isin(-/3))⁶ -1/2⁶ 2⁶ (cos/6+isin/6))⁶ = =cos(-2)+isin(-2)-cos-isin=1-(-1)=2.

VII. Литература.

VIII.

1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.

4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.

5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.

Скачать архив с текстом документа