Композиции преобразований

СОДЕРЖАНИЕ: Основные композиции движений пространства. Композиции центральных симметрий пространства. Композиция зеркальной и центральной симметрий пространства. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства.

Оглавление

Предисловие ...................................................................................... 3

Введение ............................................................................................. 4

§ 1. Композиции движений пространства.......................................... 4

1.1. Основные композиции движений пространства........... 4

1.2. Композиции центральных симметрий пространства.... 9

1.3. Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства................................................ 11

1.4. Композиции осевых симметрий пространства.............. 12

1.5. Применение композиций движений

пространства к решению задач...................................... 16

§ 2 . Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства .............................................................................. 18

Литература ........................................................................................ 22

Предисловие

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

Введение

Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f ( x )= y , g ( y )= z для произвольного x X , конечно, y X и z X . Отображение j определим законом j ( x )= g ( f ( x )) . Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g . В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j = g f .

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1 ° . Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f ,g ,h данного множества имеет место равенство:

h ( g f )=( h g ) f .

2 °. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.

§ 1. Композиции движений пространства

1.1. Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1. Найти композицию поворота Rl j и переноса пространства при условии, что вектор и ось поворота l не параллельны.

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

Rl j = Sb Sa , где a ^ l , b ^ l , ( a , b ) = (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), a b l = O и =Sv Su , где u v , u ^ . Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда Rl j =Sv Su Sb Sa = Sv Sa . Если вектор не ортогонален оси l , то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b , т.е. равен . Композиция Sv Sa есть винтовое движение с осью m , являющейся общим перпендикуляром прямых a и v , и вектором 2 , где P = a m ,Q = v m ,m l . Итак,

Rl j = Rl j , m l .

Если ^ l , прямые a и v пересекаются, поэтому =,и искомая композиция является поворотом Rm j . Если при этом j =p , то имеем, что Rl j = Sm , ^ l , m l .

m

l
Q
v
P a
O u
b

Рис. 1

Задача 2. Найти композицию двух поворотов пространства Rb b Ra a .

Решение. Сначала найдём композицию Rb b Ra a двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a иb и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

Ra a =Sh Su , Rb b =Sv Sh , u ^ a, u ^ b, u h a=A, v h b=B,

(u, h ) =, (h, v ) = (рис. 2). Тогда

Rb b Ra a = Sv Sh Sh Su = Sv Su . Оси u иv скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые a и b , перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий Sv Su есть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр l прямыхu и v , угол w =2 (u , v ), а вектор =2 , где P = u l , Q = v l .

 b h
a B b v u
a
A l u

Рис. 2

Угол w винтового движения можно вычислить через углы a и b данных поворотов и угол g = . По теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной B , ребрами которого являются лучи h ,u ,v , справедливо следующее равенство:

cos = - cos cos - sin sin cos g (доказательство данной формулы можно найти в [4], с. 26).

Рассмотрим случай, когда оси a и b пересекаются (в точке B ). Тогда прямые u и v также будут пересекаться в точке B , и u совпадет с прямой u . Искомая композиция Rb b Ra a есть поворот R l w , причем угол этого поворота подсчитывается по указанной выше формуле. При a b и a +b 2 p прямые u и v пересекаются в точке O . И рассматриваемая композиция Rb b Ra a есть поворот R l a + b , ось l которого проходит через точку O параллельно прямым a и b .

При a b и a +b=2 p будет u v. В этом случае композиция поворотов является переносом.

Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.

Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является зеркальной симметрией, S g S b S a =S w . Это равенство эквивалентно равенству S b S a = S g S w . Если плоскости a и b имеют общую прямую l , то S b S a = Rl j и поэтому S g S w = Rl j . Следовательно, все четыре плоскости имеют общую прямую l . Если же плоскости a и b параллельны, то S b S a = и S g S w = . Следовательно, все четыре плоскости параллельны.

Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.

Пусть плоскости a , b , g имеют единственную общую точку O . В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f =S g S b S a есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: b g =a , g a =b , a b =c (рис. 3).

Пусть f ( c )= c 1 , тогда прямые c иc 1 симметричны относительно плоскости g , и S a ( a )= a 0 , тогда f ( a 0 )= a . Поскольку плоскость w поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции m и n прямыхa и c соответственно на плоскости a и g . Итак, w есть плоскость, проходящая через прямые m и n . Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости w в точке O , угол поворота j равен углу между ортогональными проекциямиa 0 иa (илиc иc 1 ) на плоскость w .


O

c a
c1
a0 m
w b n

Рис. 3

Если плоскости a , b , g попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Zo .

Рассмотрим случай, когда плоскости a , b , g исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным прямым, т.е. a b c . Тогда в каждой плоскости, перпендикулярной этим прямым, композиция f =S g S b S a индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями a , b , g . А она является переносной симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором . Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрия пространства с вектором и плоскостью, проходящей через прямую l параллельно прямым a ,b , c .

1.2. Композиции центральных симметрий пространства

Задача 4. Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.

Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B . Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции ZB Z A :

(ZB Z A )( M )= P (рис. 4).


M
A
P
B
N

Рис. 4

Для треугольника MNP имеет место равенство: =2 . Точки A и B заданы, следовательно, вектор - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий ZB Z A есть параллельный перенос на вектор 2 :

ZB ZA = . (1)

б) Найдем композицию центральной симметрии ZO и переноса в пространстве. Представим перенос как композицию двух центральных симметрий: =ZB ZO , где =. Следовательно, ZO =( ZB ZO ) ZO . Это равенство эквивалентно равенству:

ZO = ZB . (2)

Таким образом, композиция центральной симметрии ZO и переноса есть центральная симметрия ZO , центр которой определяется условием =.

в) Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f = ZC ZB ZA . Композицию ZC ZB представим в виде переноса в соответствии с выводом (1): ZC ZB = . Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f = ZA . Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия ZO , центр О которой определяется условием =. Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:

1) композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;

2) композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Задача 5. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD .

Решение. Требуется найти композицию f = ZD ZC ZB ZA (рис. 5).
C
 B
D A

Рис. 5

Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:

f=( ZD ZC )( ZB ZA )= . Векторы и являются противоположными, поскольку ABCD есть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E .

Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.

Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.

Решение. Требуется найти композицию f = ZE ZC ZB ZA (рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCD точку D такую, что четырехугольник BCED является параллелограммом.

A B
C
D
E

Рис. 6

Тогда равенству f = ZE ZC ZB ZA эквивалентно равенство f = ZD ZD ZE ZC ZB ZA . Композиция ZD ZE ZC ZB есть тождественное преобразование, т.к. BCED – параллелограмм. И искомая композиция имеет вид f = ZD ZA , а это перенос пространства (согласно выводу (1) ).

1.3. Композиции зеркальной и центральной симметрий

Задача 7. Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй.

Решение. Пусть даны плоскость a и точка О , не принадлежащая ей. Найдем композицию ZO S a . Центральная симметрия ZO как частный случай поворотной симметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: ZO = Sl S b , где l и b - перпендикулярные прямая и плоскость, причем l b = O . Выберем плоскость b таким образом, что a b , тогда l будет являться перпендикуляром и к плоскости a (рис. 7).Тогда ZO S a = Sl S b S a . В силу того, что плоскости a и b параллельны, их композиция есть параллельный перенос , при этом l . А это по определению есть винтовое движение с осью l , углом 180°, вектором .

 O

L A h
b
l
A
a
l a O
a

Рис. 7 Рис. 8

Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: ZO S a = Sl . (3)

Задача 8. Найти композицию ZO S a Sl , если прямая l параллельна плоскости a и точка О лежит в a .

Решение. На основании (3) композиция ZO S a в общем случае есть винтовое движение. В силу того, что О a , вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию Sa , где a ^ a и O a (рис. 8). Тогда ZO S a Sl = Sa Sl , причем a ^ l .

Если прямые a и l скрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением Rh j , угол j которого равен 2 ( a, l )= p , ось h – общий перпендикуляр прямых a и l , вектор =2 , где L = l h , A = a h (см. [3], с. 19).

Если прямые a и l пересекаются, то =, и композиция Sa Sl является осевой симметрией Sh , где h – это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l .

1.4. Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: Sc Sb Sa = Sl . Какое взаимное положение могут иметь прямые a , b , c ? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству Sc Sb Sa = Sl эквивалентно равенство

Sc Sb =Sl Sa . (*)

Если прямые b иc параллельны, то Sc Sb = . Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: Sl Sa = . А значит прямые a и l также будут параллельными.

Таким образом, получили, что, если прямые b , c параллельны, то все оси a ,b ,c и l попарно параллельны (рис. 9а).

h l

A
a
c b
l O
c
a
b

Рис. 9а Рис. 9б

Если прямые b иc пересекаются в точке O , то композиция Sc Sb является поворотом Rh j (см. [3], c. 15), где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c , при этом точка O принадлежит оси h , угол j =2 (b , c )(рис. 9б). Тогда и композиция Sl Sa является этим же поворотом Rh j , значит h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l , точка пересечения A которых принадлежит оси h , и ориентированный угол между a и l равен углу поворота j .

Таким образом, если оси b иc пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b иc , пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b иc . Осьl удовлетворяет следующим условиям:точка пересечения A прямых a и h принадлежитl ,l параллельна плоскости ( b , c ) , ориентированные углы (a , l )= (b , c ). Если точка A принадлежит прямой a , то точки A и O совпадают, т.е. ось l также походит через точку A .

Если прямые b иc скрещиваются, то композиция Sc Sb является винтовым движением Rh 2 j , ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c , вектор коллинеарен оси h , угол j равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства (*) композиция Sl Sa является этим же самым винтовым движением: Sl Sa = Rh 2 j , то есть h – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a иl , и угол (a , l )= j .


h

l
a
c
b

Рис. 9в

Таким образом, если оси b иc - скрещивающиеся, то прямые a , b иc попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h . Ось l удовлетворяет следующим условиям: l иh - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b , c иa , l равны, и углы между этими осями также равны.

Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.

Задача 10. Композиция трех осевых симметрий есть перенос: Sc Sb Sa = . Каково взаимное положение их осей?

Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция Sc Sb является переносом. Тогда Sa = , полученное равенство эквивалентно равенству Sa = или Sa = (этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция Sc Sb Sa при параллельных b и c не может быть переносом.

Если прямые b иc пересекаются в точке O , то композиция Sc Sb является поворотом Rh j , где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b иc , при этом точка O принадлежит оси поворота h , и угол j =2 (b , c ). Тогда исходная композиция Sc Sb Sa = будет эквивалентна следующей композиции Rh j Sa = . Такое возможно только, если поворот Rh j является осевой симметрией пространства, т.е. угол j =± p , при чем оси симметрий a иh параллельны, и расстояние между ними равно . В силу этих рассуждений, получили, что ось a перпендикулярна плоскости ( b , c ) , а прямые b иc перпендикулярны между собой.

Таким образом, при пересекающихся осях b иc для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a ,b иc были попарно перпендикулярными.

Если b иc скрещиваются, то композиция Sc Sb является винтовым движением Rh j , где h – общий перпендикуляр прямых b иc , угол j =2 (b , c ), =(рис. 10).


h

B
b
c
C

Рис. 10

Следовательно, Sc Sb Sa = эквивалентно равенству Rh j = Sa . А это возможно, если угол j =± p , и прямые a иh параллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна b и c . Т.е. исходное равенство при скрещивающихся прямых b и c возможно, если все три оси взаимно перпендикулярны.

Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.

1.5. Применение композиций движений пространства к решению задач

Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.

Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.

Решение. Пусть DE ,DF – биссектрисы плоских углов ADB иBDC , DH – биссектриса угла, смежного с углом ADC , т.е. DAE = EDC , BDF = FDC , CDH = HDK (рис.11).

D

K H
A
C
E F
B

Рис. 11

Рассмотрим композицию f трех осевых симметрий: f =SDH SDF SDE . Движение f – это движение первого рода, как композиция движений первого рода. К тому же композиция SDH SDF SDE отображает прямую AK на себя, точка D при этом неподвижна. Следовательно, рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.

Воспользовавшись выводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий, можно сказать, что прямые DE , DF и DH лежат в одной плоскости.

Задача 12. Через вершину D прямого трехгранного угла DABC внутри его проведен луч DO . Доказать, что выполняется неравенство:

(DO, DA )+ (DO, DB )+ (DO, DC )180 ° .

Решение. Обозначим через DE , DF и DH лучи, симметричные лучу DO относительно прямых DA , DB иDC соответственно (рис. 12). Поскольку трехгранный угол DABC – прямой, то прямые DB иDC перпендикулярны, и SDC SDB = SDA (как композиция двух поворотов). Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии SDA :

SDA ( DF )=( SDC SDB )( DF )= SDC ( DO )= DH , кроме того SDA ( DO )= DE .

Следовательно, (DO , DF )= (DE , DH ). Аналогично можно доказать, что (DO , DE )= (DF , DH )и (DO , DH )= (DE , DF ).

D

H
E
C
A O
B
F

Рис. 12

Оценим искомую сумму углов, учитывая полученные равенства:

(DO, DA )+ (DO, DB )+ (DO, DC ) =

= (DO,DE ) + (DO,DF ) + (DO,DH ) = ( (DF,DH ) + (DE,DH ) +

+ (DE,DF )) . Лучи DE , DF и DH являются ребрами трехгранного угла DEFH , а значит сумма (DF , DH )+ (DE , DH )+ (DE , DF )360 ° .

Такимобразом, (DO, DA )+ (DO, DB )+ (DO, DC )180 ° .

§ 2. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства

Среди преобразований пространства выделяют также преобразования, не сохраняющие расстояния между точками, - это подобия, гомотетии как частный случай подобий, и аффинные преобразования.

Задача 13. Найти композицию гомотетии и переноса пространства: HO k .

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения искомой композиции. Пусть X 1 – образ X после применения HO k : HO k (X )=X 1 , а точка X 2 – образ X 1 после применения переноса: (X 1 )=X 2 . Через центр гомотетии O проведем прямую n параллельную прямой, содержащую вектор (рис. 13).

n S1 S O
X
X1 X2

Рис. 13

Найдем образ точки пересечения построенной прямой n и прямой XX 2 при гомотетии HO k : HO k (S )=S 1 . Тогда=, поэтому точка S при заданной композиции неподвижна, кроме того, не зависит от выбора точки X . С учетом того, что =k , =k (т.к. треугольники SOX и X 1 XX 2 подобны), искомая композиция является гомотетией HS k .

Таким образом, HO k = HS k . (4)

Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения композиции гомотетий f = HB m HA k . Пусть HA k ( X )= X 1 , т.е. по определению гомотетии =k , HB m ( X 1 )= X 2 , т.е. = m (рис.14). Найдем образ точки A после применения гомотетии HB m : HB m ( A )= A 1 , т.е. =m . Таким образом, отрезок A 1 X 2 – это образ отрезка AX после применения данной композиции, при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобия треугольников ABX 1 и A 1 BX 2 ). Если прямые AA 1 иXX 2 пересекаются (обозначим точку их пересечения C ) , тогда, рассматривая подобные треугольники ACX иA 1 CX 2 , выразим вектор:

==, при этом =m =km .


X2

A1
C
B
A
X
X1

Рис. 14

Следовательно, =km . Точка C не зависит от выбора точки X , значит композиция f является гомотетией с центром в C :

HB m HA k = HC km . (5)

Если прямые AA 1 иXX 2 не пересекаются, т.е. =, то km =1 , следовательно, композиция f есть перенос пространства:

HB m HA k = . (6)

Все эти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.

Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.

Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде композиции поворота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то, учитывая ассоциативность этого представления, будем находить требующуюся композицию в следующем виде: f = HB m Rh b Rl a HA k .

Рассмотрим несколько случаев.

1)Если оси поворотов h иl параллельны, и при этом сумма углов не равна 2 p , то композиция поворотов является поворотом Rn a + b , где ось n параллельна исходным осям h , l . Тогда f = HB m Rn a + b HA k , при этом композиция Rn a + b HA k является по определению подобием, а значит, эта композиция может быть представлена в виде HD k Rp a + b . И равенство f = HB m Rn a + b HA k эквивалентно равенству f = HB m HD k Rp a + b . По формуле (5) HB m HD k = HC km (при km 1 ), значит f = HC km Rp a + b , а это по определению подобие. При km =1 по формуле (6)HB m HD k = , и f = Rp a + b , а это, в общем случае, винтовое движение.

2)Если же при параллельных осях данных поворотовh иl сумма углов равна 2 p , то композиция поворотов Rh b Rl a является переносом пространства, и в этом случае f = HB m HA k . Композиция HA k согласно выводу (4)есть гомотетия с центром в некоторой точке C с коэффициентом k : HA k = H С k . Следовательно, f = HB m H С k , а это гомотетия пространства (согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6) ).

3)Если прямые h иl пересекаются, то композиция поворотов Rh b Rl a является поворотом Rn w . И нахождение композиции f сводится к случаю 1.

4)Если оси h иl скрещиваются, то композиция поворотов Rh b Rl a является винтовым движением, следовательно, композиция Rh b Rl a HA k является подобием пространства, которое можно представить композицией поворота и гомотетии: Rh b Rl a HA k = Rn w H С n . Тогда нахождение f сводится к случаю 1.

Таким образом, композиция двух подобий пространства, произведение коэффициентов которых не равно 1 , есть подобие пространства или гомотетия (в случае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2 p ), в тривиальном случае, когда произведение коэффициентов исходных подобий равно 1 , эта композиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.

Аналогичная ситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований пространства, т.е. в общем случае композиция двух аффинных преобразований пространства также является аффинным преобразованием.

Литература

1. Гусев В. А., Тхамафокова С. Т. Преобразования пространства. Москва: «Просвещение», 1979.

2. Понарин Я. П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.

3. Понарин Я. П. Преобразования пространства. Киров: 2000.

4. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Москва: «Просвещение», 1990.

Скачать архив с текстом документа