Виды тригонометрических уравнений

СОДЕРЖАНИЕ: Простейшие тригонометрические уравнения. Двучленные уравнения. Разложение на множители. Способ подстановки.

Реферат

на тему:

“Виды тригонометрических уравнений”

Успенского Сергея

Харцызск

2001 год

Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x -p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x -p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим

3х -p/4 = (-1)ⁿ arcsin 1/2 + np, nZ.

Зх -p/4 = (-1)ⁿ p/6 + np, nZ; 3x = (-1)ⁿ p/6 +p/4 + np, nZ;

x = (-1)ⁿ p/18 + p/12 + np/3, nZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nz.

Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 ·n, nZ; x, = 65° + 120°·n, nZ.

Пример 2. sinx +з cosx = 1.

Решение. Подставим вместо з значение ctgp/6, тогда уравнение примет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nZ; x1 = p/2 + 2pn, nZ;

x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nZ; x2 = -p/6 + 2pn, nZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nZ; x2 = -p/6 + 2pn, nZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx·cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nZ, x2 = p/4 + pn/2, nZ.

Ответ: x1 = pn, nZ, x2 = p/4 + pn/2, nZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin² x / cosx

Решение. cosx 0; x p/2 + pn, nZ.

sinx + sinx/cosx = sin² x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin² x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = pn, nZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;

2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/2; p/4 - x = (-1)ⁿ⁺¹ arcsin 1/2 + pn, nZ;

x2 = p/4 - (-1)ⁿ⁺¹ ·p/4 - pn, nZ; x2 = p/4 + (-1)ⁿ ·p/4 + pn, nZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nZ; x2 = p/4 + (-I)ⁿ ·p/4 + pn, nZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin² x = 3cosx.

Решение. 2sin² x - 3cosx = 0; 2 (l - cos² x) - 3cosx = 0; 2cos² x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| 1. 2z² + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

asin² x + bsinxcosx + ccos² x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin³ x + b sin² x cosx + c sinx cos² x + d sin³ x = 0 ит.д.

В этих уравнениях sinx 0, cosx 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin² x или на cos² x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.

Пример 1. 3sin² 2x - 2sin4x + 3cos² 2x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение 3sin² 2x - 4sin2xcos2x + 3cos² 2x = 0.

Разделим на cos² 2x. Уравнение примет вид 3 tg² 2x – 4tg2x + 3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда 3z² - 4z + 3 = 0; Д = 4; Д = 2.

z1 = (4 +2)/23 = 6/23 = 3; z2 = (4 – 2)/23 = 1/3

tg2x = 3 или tg2x = 1/3

2x = p/3 + pn, nZ; 2x = p/6 + pn, nZ;

x1 = p/6 + pn/2, nZ ; x2 = p/12 + pn/2, nz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nZ ; x2 = p/12 + pn/2, nz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nZ.

Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(3-tgx) – 1/(3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ± 3, х ± p/8 + pn, nZ и х ± p/2 + pn, nZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.

(3 + tgx - 3 + tgx)/3 - tg² x = 2tgx/ (1 + tg² x); 2tgx / (3 - tg² x) = 2tgx/(1 + tg² x)

x1 = pn, nZ

Второе уравнение имеет вид

2tg² x - 2 = 0; tg² x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nZ.

Ответ: x1 = pn, nZ; х2 = ± p/4 + pn, nZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1.( cos² x + ) +( sin² x + ) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos² x + + 2 (( cos² x + ) ( sin² x + )) + sin² x + = 4

(( cos² x + ) ( sin² x + )) = 1; ( cos² x + ) ( sin² x + ) = 1

( + cos2x + )( - cos2x + ) = 1; (1 + cos2x) (1 - cos2x) = 1;

1 – cos² 2x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nz

Ответ: x = p/4 + pn/2, nz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x² + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x² +5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х² + 5х = 6 + pn, nZ; х² + 5х - (6+pn) = 0, nz;

Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nZ; х1,2 = (-5 ±(49 + 4pn))/2, nz

Решение имеет смысл, если 49 + 4pn 0, т.е. n -49/4p; n -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)

Скачать архив с текстом документа