Краткое доказательство великой теоремы Ферма

СОДЕРЖАНИЕ: Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.

Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

о регистрации авторского права

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А ⁿ + В ⁿ = С ⁿ * /1/

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A , B , С .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А , В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n . Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

А ⁿ + В ⁿ = С ⁿ = (A+B)[A^n-1 -A^n-2 ·B +A^n-3 ·B² - …-A·B^n-2 +B^n-1 ] /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А , В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель ( A + B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

С ⁿ = Aⁿ + Bⁿ =(A+B)ⁿ Dⁿ , / 3/

гдемножитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

/4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cⁿ = Aⁿ + Bⁿ ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число ( A + B ) ⁿ . Однако известно, что:

Aⁿ + Bⁿ ( A + B ) ⁿ /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n 2 число:

1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

С ⁿ = А ⁿ + В ⁿ = (A+B)[A^n-1 -A^n-2 ·B +A^n-3 ·B² - …-A·B^n-2 +B^n-1 ]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остаетсяалгебраический множитель ( A + B ).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n 2.

2. Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

Aⁿ = Cⁿ - Bⁿ /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

Aⁿ = Cⁿ - Bⁿ = ( С +B)(C^n-1 + C^n-2 · B+ C^n-3 B² +…+ C B^{n -2} + B^{n -1} ). /8/

Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+ B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа A .

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

А ⁿ = С ⁿ - Bⁿ =(С+ B ) ⁿ Dⁿ , / 9/

гдемножитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

/10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [А ⁿ = С ⁿ - Bⁿ ] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+ B ) ⁿ . Однако известно, что:

С ⁿ - Bⁿ (С+ B ) ⁿ /11/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /12/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n 2 число:

1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n 2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n 2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (Cⁿ - Bⁿ ) раскладывается на алгебраические множители:

C² – B² = (C-B) (C+B); /13/

C⁴ – B⁴ = ( C-B) (C+B) (C² + B² );/14/

C⁶ – B⁶ = (C-B) (C+B) · (C² –CB + B² ) (C² +CB+ B² ); /15/

C⁸ – B⁸ = (C-B) (C+B) (C² + B² ) (C⁴ + B⁴ )./16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C ² – B ² = (2² 3) (2 · 23) = 2⁴ · 3 · 23;

C ⁴ – B ⁴ = (2² 3) (2 · 23) · (2 · 673) = 2⁴ · 3 · 23 · 673;

C ⁶ – B ⁶ = (2² 3) (2 · 23) · (31² ) ·(3 · 577) =2 3 23 31² 577;

C ⁸ – B ⁸ = (2² 3) (2 · 23) · (2 · 673) (2 · 75633) = 2⁵ 3 23 673 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C ² – B ² = (3² ) (41) = 3² 41;

C ⁴ – B ⁴ = (3² ) (41) · (881) =3² 41 · 881;

C ⁶ – B ⁶ = (3² ) (41) (2² 3) (13 · 37) · (3 7 · 61) = 3³ · 7 13· 37 41 61;

C ⁸ – B ⁸ = (3² ) (41) (881) (17 ·26833) = 3² 41 881 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

- при заданном показателе степени n , если он четное число, число А ⁿ = С ⁿ - Bⁿ раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

- при любом показателе степени n , если он четное число, в алгебраическом выражении (Cⁿ - Bⁿ ) всегда имеются множители ( C - B ) и ( C + B ) ;

- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степениn (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

Скачать архив с текстом документа