Кривые и поверхности второго порядка

СОДЕРЖАНИЕ: ЭЛЛИПС. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина;

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F1 и F2.

Пусть М —произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1 М и F2 М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F1 М + F2 М = 2а.

Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F1 ,F2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 иr 2 расстояния от точки М до фокусов ( r1 = F1 М, r 2 = F2 М ). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r1 + r 2 = 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 иr 2 их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F1 F2 = и так как фокусы F1 и F2 распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:

Заменяя r1 иr 2 , получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, полу­чим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а2 х2 — 2а2 сх + а2 с2 + а2 у2 = а4 — 2а2 сх + с2 х2 ,

откуда

2 —с22 + а2 у2 = а22 —с2 ).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а с, следовательно, а2 —с2 0 и величина b —вещественна.

b2 = a 2 c2 ,

тогда

b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 ,

или

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой , получаем:

.

Так как с a , то 1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c2 = a 2 b2 ; поэтому

;

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— 2 , тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=a и =0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а b и, следова­тельно, =0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а b .

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид


и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса 1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х2 + у2 = R2 .

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 иF2 , а расстояние между ними—через 2с.


Пусть М —произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2 . Отрезки F1 М и F2 М (так же, как и дли­ны этих отрезков) называ­ются фокальными радиусами точки М и обозначаются че­рез r1 и r 2 ( r1 = F1 М, r 2 = F2 М ). По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть по­стоянная величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F1 и F2 . Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1 М и F2 М через r1 и r 2 . Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r1 r 2 = ±2а.

Так как F1 F2 = и так как фокусы F1 и F2 располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим:

, .

Заменяя r1 и r 2 , получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:


,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c2 x2 – 2a2 cx + a4 = a2 x2 – 2a2 cx + a2 c2 + a2 y2 ,

откуда

(c2 – a2 )x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2 ) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

с a , следовательно, с2 —а2 0 и величинаb —вещественна.

b2 = с2 —а2 ,

тогда

b2 x2 a2 y2 = a2 b2 ,

или

.

Уравнение

,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой , получим:

.

Так как для гиперболы с a , то 1 ; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c2 = a 2 + b2 , находим:


;

отсюда

и .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше2 —1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a=b и=2 .

Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

.

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гипер­болы.

Уравнения директрис в вы­бранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой.

Так как для гиперболы 1, то .

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F , расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса ( r = FM ), через d расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r=d.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменныеr и d их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв этово внимание, находим:

.

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты отсюда, получаем:


число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы,гденаходится фокус, т. е. должно быть , откуда .

Заменяя r и d , найдем

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:

или

у2 =2рх.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2 =2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Министерство образования РФ

Пензенская Государственная Архитектурно-Строительная

Академия

РЕФЕРАТ

Тема: «Кривые и поверхности второго порядка»

Выполнил: Богданович Ольга

Специальность: ОБД

Обозначение: 240400 Группа: ОБД-11

Проверил: Фадеева Г.Д.

Оценка:

Пенза – 2000.

Кривые

второго

порядка

Поверхности

второго

порядка

Эллипсоид

Однополостный гиперболоид

Двухполостный гиперболоид

Конус

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

Скачать архив с текстом документа