Линейный множественный регрессивный анализ

СОДЕРЖАНИЕ: Расчет параметров линейного уравнения множественной регрессии; определение сравнительной оценки влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности и прогнозного значения результата; построение регрессионной модели.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра ПМиИОЭ

Контрольная работа

по курсу

Эконометрика

(вариант 8)


Задача 1

В исходной таблице (вариант 8) представлены статистические данные о размерах жилой площади и стоимости квартир:

Жилая площадь, х Цена кв., у
20 15,9
40,5 27
16 13,5
20 15,1
28 21,1
46,3 28,7
45,9 27,2
47,5 28,3
87,2 52,3
17,7 22
31,1 28
48,7 45
65,8 51
21,4 34,4

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о виде уравнения регрессии (линейное, показательное, гиперболическое и т.п.).

2. Построить наиболее подходящее уравнение регрессии.

3. Оценить величину влияния фактора на исследуемый показатель с помощью коэффициента корреляции и детерминации.

4. Оценить качество построенной модели с точки зрения адекватности и точности. Для этого оценить математическое ожидание значений остаточного ряда, проверить случайность уровней остатков ряда, их независимость и соответствие нормальному закону. Для оценки точности использовать среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. С помощью коэффициента эластичности определить силу влияния фактора на результативный показатель.

6. Проверить значимость коэффициента регрессии и провести его интервальную оценку.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличилось на 10 % от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Сделать выводы по полученным результатам.

Решение:

Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной (см. Приложение 1), округляя и занося в расчетную таблицу промежуточные результаты.

1. Построим поле корреляции:

Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Поэтому делаем предположение о линейном виде уравнения регрессии. Нельзя сказать, что прослеживается тесная зависимость, но заметно, что с увеличением размера жилой площади х наблюдается тенденция к увеличению стоимости квартир у. Можно предположить, что связь размера жилой площади и ее стоимости положительная, не очень тесная, и на цену квартир оказывают влияние и другие факторы (район места ее расположения, этаж, наличие коммуникаций, состояние квартиры и т.п.).

2. Построим в соответствии с выбранным линейным видом уравнение регрессии:

Чтобы определить параметры линейной модели с помощью метода наименьших квадратов, решим систему уравнений на основе исходных и расчетных данных:

Рассчитав на основе исходных данных необходимые значения (графы 3, 5 таблицы Приложения 1), получаем систему:

Решив полученную систему уравнений при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MSExcel, находим:

b0 = 9,308595

b1 = 0,52076

Составим уравнение парной линейной регрессии:


В декартовой системе координат ХОУ на поле корреляции строим график линии регрессии по найденному уравнению (рис.1).

3. Для оценки влияния фактора на исследуемый показатель вычислим линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

Используя надстройку приложения MSExcel «Пакет анализа» - инструмент «Корреляция», находим величину линейного коэффициента корреляции.

Столбец 1 Столбец 2
Столбец 1 1
Столбец 2 0,8559571 1

По величине коэффициента корреляции , принадлежащей интервалу (0,7; 1), оценим качественную характеристику связи как сильную прямую.

Находим парный коэффициент детерминации:

Изменение У примерно на 74 % определяется вариацией фактора х, на 26 % - влиянием других факторов. То есть изменения величины стоимости жилой площади на 74% обусловлены колебаниями ее размеров, и на 26 % - колебаниями и изменениями других факторов и условий.

4. Оценим качество построенной модели

Производим расчеты данных для граф 6-10 вспомогательной таблицы (Приложение 1).

Оценим качество построенной модели с точки зрения адекватности. Для этого проверим выполнение следующих требований:

1) Уровни ряда остатков имеют случайный характер. Для проверки выполнения данного требования воспользуемся критерием поворотных точек (пиков).

-3,829 -3,4095 -4,145 -4,629 -2,797 -4,7313 -6,0229 -5,7565 -2,4402 3,4693 2,4879 10,3183 7,4092 13,9416
+ - + + - - + - + + + +

Число поворотных точек р = 8

Поскольку р 5, требование считаем выполненным.

2) Математическое ожидание уровня ряда остатков равно нулю.

Поскольку полученное значение близко к 0, требование считаем выполненным.

3) Дисперсия каждого отклонения одинакова для всех х. Для проверки выполнения данного требования используем критерий Гольдфельда-Квандта. Исходные значения х расположим в возрастающем порядке:

Жилая площадь, х Цена кв., у.
16 13,5
17,7 22
20 15,9
20 15,1
21,4 34,4
28 21,1
31,1 28
40,5 27
45,9 27,2
46,3 28,7
47,5 28,3
48,7 45
65,8 51
87,2 52,3

Делим полученную таблицу на 2 равные части

Жилая площадь, х Цена кв., у Жилая площадь, х Цена кв., у
16 13,5 40,5 27
17,7 22 45,9 27,2
20 15,9 46,3 28,7
20 15, 47,5 28,3
21,4 34,4 48,7 45
28 21,1 65,8 51
31,1 28 87,2 52,3

По каждой группе строим уравнение регрессии:

Жилая площадь, х Цена кв., у
16 13,5 256 216
17,7 22 313,29 389,4
20 15,9 400 318
20 15,1 400 302
21,4 34,4 457,96 736,16
28 21,1 784 590,8
31,1 28 967,21 870,8
154,2 150 3578,46 3423,16

Чтобы определить параметры линейной модели с помощью метода наименьших квадратов, решим систему уравнений:


Решив полученную систему уравнений при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MSExcel, находим:

b0 = 7,01310810173176

b1 = 0,65439846490193

Составим уравнение парной линейной регрессии:

На его основе найдем расчетные значения результативного показателя, а также ряд остатков и остаточные суммы квадратов для первой группы:

Жилая площадь, х Цена кв, у ()2
16 13,5 256 216 17,477 -3,977 15,816529
17,7 22 313,29 389,4 18,5888 3,4112 11,636285
20 15,9 400 318 20,093 -4,193 17,581249
20 15,1 400 302 20,093 -4,993 24,930049
21,4 34,4 457,96 736,16 21,0086 13,3914 179,3296
28 21,1 784 590,8 25,325 -4,225 17,850625
31,1 28 967,21 870,8 27,3524 0,6476 0,4193858
154,2 150 3578,46 3423,16 176,0978 0,0622 267,5637

Рассчитаем аналогичные параметры для второй группы данных:

Жилая площадь, х Цена кв, у ()2
40,5 27 1640,25 1093,5 28,6765 -1,6765 2,81065225
45,9 27,2 2106,81 1248,48 31,9003 -4,7003 22,0928201
46,3 28,7 2143,69 1328,81 32,1391 -3,4391 11,8274088
47,5 28,3 2256,25 1344,25 32,8555 -4,5555 20,7525803
48,7 45 2371,69 2191,5 33,5719 11,4281 130,60147
65,8 51 4329,64 3355,8 43,7806 7,2194 52,1197364
87,2 52,3 7603,84 4560,56 56,5564 -4,2564 18,116941
381,9 259,5 22452,17 15122,9 259,480 0,0197 258,3216

Решив полученную систему уравнений

при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MSExcel, находим:

b0 = 4,49765806824428

b1 = 0,59705785159018

Составим уравнение парной линейной регрессии:

По критерию Гольдфельда-Квандта найдем расчетное значение

(табличные значения критерия Фишера – в Приложении 5).

Поскольку , то условие гомоскедастичности выполнено.

4) Значения уровней ряда остатков независимы друг от друга. Проверку на отсутствие автокорреляции осуществим с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона:

Поскольку d d1 0,311,08 (табличные значения критерия – в Приложении 2), то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается, и имеется значительная автокорреляция.

5) Уровни ряда остатков распределены по нормальному закону. Проверку выполнения требования проведем по RS-критерию:

Для объема генеральной совокупности, равного 14, и уровня вероятности ошибки в 5 %, табличные значения нижней и верхней границ RS-критерия равны соответственно 2,92 и 4,09 (табличные значения критерия – в Приложении 3). Поскольку рассчитанное значение критерия не попадает в интервал табличных значений, гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Оценим качество построенной модели с точки зрения точности. Для этого используем среднюю относительную ошибку аппроксимации, рассчитав данные для графы 11 вспомогательной таблицы (Приложение 1).

В среднем смоделированные значения стоимости квартир отклоняются от фактических на 19,8 %. Подбор модели к фактическим данным можно оценить как не очень точный, отклонения фактических значений от теоретических заметные.

5. С помощью коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результативный показатель.

Рассчитаем средние значения фактора и результативного показателя:

Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при повышении размера жилой площади на 1% от своего среднего значения ее стоимость увеличивается на 0,682% от своего среднего значения.

6. Проверим значимость коэффициента регрессии и проведем его интервальную оценку.

Значимость коэффициента b1 определим с помощью t-критерия Стьюдента (табличные значения критерия приведены в Приложении 4). Рассчитаем опытное значение критерия:


При этом среднеквадратическое отклонение коэффициента b1 найдем по формуле:

,

где остаточное среднеквадратическое отклонение найдем:

Поскольку , то и коэффициент b1 , как и все уравнение регрессии, является значимым.

Таким образом, можно считать, что предполагаемая зависимость стоимости квартиры от ее размера подтвердилась и статистически установлена.

Проверим значимость выбранного коэффициента с помощью критерия Фишера:

Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 34,083 4,75, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между размером цены квартиры от ее жилой площади. Уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

При выбранной надежности g=0,95 получим:

, откуда .

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра b1 будет заключено в пределах от 0,3227 до 0,7193.

7. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от среднего уровня.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза численных значений стоимости жилой площади. Но как уже говорилось, точность модели невысока.

В случае увеличения фактора на 10 % от своего среднего значения размер данного увеличения составит:

Прогнозное значение фактора при этом составит:

Точечный прогноз:

Т.е. по модели предсказываем, что если жилая площадь квартиры, увеличившись на 10 % от своего среднего значения, составит 42,12 условных единиц, то ожидаемая (прогнозная) величина ее стоимости составит 31,25 условных единиц.

Доверительный интервал для среднего размера стоимости квартиры при условии, что ее жилая площадь составляет х = 42,12 условных единиц с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

Т.е. средний размер стоимости жилой площади размером 42,1223 условные единицы находится в границах от 27,2719 до 35,2375 условные единицы.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера стоимости квартир с жилой площадью 42,1223 условные единицы с надежностью g=0,95:

,

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, если размер жилой площади будет находиться на уровне 42,1223 условные единицы, то возможный размер ее стоимости в 95% случаев может находиться внутри интервала от 16.046 до 46.463 условные единицы. Этот интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5% значений стоимости квартир, которые могли быть зафиксированы при размере их жилой площади в 42,1223 условные единицы.

Выводы, сделанные ранее подтвердились. Интервальный прогноз не отличается высокой точностью, но вполне пригоден для практического использования.

8. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

Статистически значимый коэффициент регрессии b1 и коэффициент корреляции rух свидетельствуют о наличии сильной зависимости стоимости квартиры от размера ее жилой площади. Можно считать, что наличие этой зависимости статистически доказано, направление и общая тенденция отражена уравнением регрессии верно и согласуется с экономической теорией. Высокое значение коэффициента детерминации R2 указывает, что на формирование стоимости квартир существенное влияние оказывает именно размер их жилой площади и в значительно меньшей мере (порядка 26 %) - другие экономические факторы.

С другой стороны, относительная ошибка аппроксимации свидетельствует, что модель подобрана не точно: в среднем теоретические (смоделированные данные) отличаются от фактических на 19,8 %. В целом применение полученного уравнения регрессии возможно в случае повышения его прогностической силы и практической ценности за счет увеличения объема выборки.

Задача 2

В исходной таблице (вариант 8) представлены статистические данные о различных параметрах уровня жизни населения в 2004 г.:

№ Страны Х1 Х3 Х6 Х8 Х9 У
1 Россия 55 30 20,4 28 124 84,98
2 Австралия 100 47 71,4 121 87 30,56
3 Австрия 93 37 78,7 146 74 38,42
4 Азербайджан 20 12,4 12,1 52 141 60,34
5 Армения 20 4,3 10,9 72 134 60,22
6 Белоруссия 72 28 20,4 38 120 60,79
7 Бельгия 85 48 79,7 83 72 29,82
8 Болгария 65 18 17,3 92 156 70,57
9 Великобритания 67 39 69,7 91 91 34,51
10 Венгрия 73 40 24,5 73 106 64,73
11 Германия 88 35 76,2 138 73 36,63
12 Греция 83 24 44,4 99 108 32,84
13 Грузия 21 36 11,3 55 140 62,64
14 Дания 98 38 79,2 89 77 34,07
15 Ирландия 99 31 57 87 102 39,27
16 Испания 89 26 54,8 103 72 28,46
17 Италия 84 27 72,1 169 118 30,27
18 Казахстан 61 19,2 13,4 10 191 69,04
19 Канада 98 44 79,9 123 77 25,42
20 Киргизия 46 23,5 11,2 20 134 53,13
21 Нидерланды 86 37 72,4 176 59 28,00
22 Португалия 73 27 48,6 150 83 38,79
23 США 115 29 100 99 103 32,04
24 Финляндия 62 36 63,9 82 94 38,58
25 Франция 91 36 77,5 84 85 18,51
26 Чехия 82 45 34,7 65 114 57,62
27 Япония 40 20 83,5 60 119 20,80
1966 837,4 1385,2 2405 2854 1181,05
72,81 31,01 51,3 89,07 105,7 43,74

Х1 - потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (кг),

Х3 - потребление сахара на душу населения (кг),

Х6 - оценка ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США),

Х8 - потребление фруктов и ягод на душу населения (кг),

Х9 - потребление хлебных продуктов на душу населения (кг),

У – смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения.

Требуется:

1) Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2) Определить сравнительную оценку влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности.

3) Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия. Адекватность модели проверить с помощью F-критерия.

4) Оценить качество построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

5) Используя метод многошагового регрессионного анализа, построить регрессионную модель только со значимыми факторами и оценить ее параметры.

6) Определить прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80 % от их максимальных значений.

7) Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости и .

8) Сделать выводы по полученным результатам.

Решение:

1. Рассчитаем параметры линейного уравнения множественной регрессии

Для удобства в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной (см. Приложение 6), округляя и занося в ее промежуточные результаты. Уравнение множественной линейной регрессии для нашего случая имеет общий вид:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7):

b0 = 40,0007992

b1 = 0,071828228

b2 = 0,295651645

b3 = -0,500054859

b4 = -0,500054859

b5 = 0,15192311

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

2. Определим сравнительную оценку влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности.

Т.к. факторы имеют различную природу и размерность, непосредственная оценка их влияния затруднена. Поэтому для каждого из них необходимо рассчитать свой коэффициент эластичности.

Для расчета коэффициентов найдем средние значения факторов и результативного показателя:

Подставим полученные значения в формулу:

Таким образом, смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения увеличивается примерно на 0,12 % при увеличении потребления мяса и мясопродуктов на душу населения на 1 %, на 0,21% при увеличении на 1% потребления сахара на душу населения и на 0,37% при увеличении потребления хлебных продуктов на душу населения на 1%.

А при увеличении оценки ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения на 1% результативный показатель, наоборот, уменьшится на 0,59%. Увеличение же потребления фруктов и ягод на душу населения на 1% повлечет снижение смертности примерно на 1,02%.

3. Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t -критерия.

Расчетные значения критерия для пяти заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7):

Поскольку , то коэффициенты b1 , b2 , b3 , b4 , b5 не являются значимыми для построенной модели.

Адекватность модели проверим с помощью F -критерия.


Величина множественного коэффициента детерминации R2 =0,799, также рассчитана с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7). Построенную модель на основе этого параметра можно признать достаточно качественной. А изменение результативного показателя примерно на 80 % обусловлено влиянием факторов, включенных в модель.

Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 16,65 4,52, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между факторами и результативным показателем.

Уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

4. Оценим качество построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

Проведем необходимые дополнительные расчеты с вспомогательной таблицей (графа 11 Приложения 6). На основе полученных данных найдем значение средней ошибки аппроксимации:

Полученное значение средней ошибки аппроксимации подтверждает удовлетворительную точность построенной модели.

5. Используя метод многошагового регрессионного анализа, построим регрессионную модель только со значимыми факторами и оценим ее параметры.

Поскольку модель со всеми заданными факторами уже построена, и значимость каждого фактора рассчитана, можем перейти к следующему шагу анализа, исключив из модели самый незначимый фактор.

Исключаем фактор Х6 - оценка ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США). Строим новую модель с оставшимися факторами:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 8):

b0 =11,3789103724081

b1 = -0,140477614195711

b2 = 0,334073328849854

b4 = -0,0590948468841696

b5 = 0,354719169807746

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Расчетные значения критерия для заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 8):

Поскольку , то коэффициенты b1 , b2 , b4 не являются значимыми для построенной модели. Исключаем самый незначимый фактор:

Исключаем фактор Х1 - потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (кг).

Строим новую модель с оставшимися факторами:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 9):

b0 = 5,45597214112287

b2 = 0,200539077387593

b4 = -0,0847616134509301

b5 = 0,374792925415136

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:


Расчетные значения критерия для заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 8):

Поскольку , то коэффициенты b2 , b4 не являются значимыми для построенной модели. Исключаем самый незначимый фактор:

Исключаем фактор Х8 - потребление фруктов и ягод на душу населения (кг). Строим новую модель с оставшимися факторами:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 10):

b0 = -14,5137453627595

b2 = 0,272342209805998

b5 = 0,471219957359132

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:


Расчетные значения критерия для заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 10):

Поскольку

,

то коэффициент b2 не является значимым для построенной модели. Исключаем незначимый фактор:

Исключаем фактор Х3 - потребление сахара на душу населения (кг). Строим новую модель с оставшимся фактором:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 11):

b0 = 0,166147

b5 = 0,412251


Получаем уравнение линейной парной регрессии:

Расчетное значение критерия для параметра b5 получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 11):

Поскольку

,

то коэффициент b5 является значимым для построенной модели. Таким образом, посредством пошагового регрессионного анализа, осуществленного методом исключения факторов, получили модель, содержащую только один значимый фактор Х9 - потребление хлебных продуктов на душу населения (кг).

6. Определим прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80 % от их максимальных значений.

Поскольку в уравнении регрессии остался лишь один значимый фактор, именно на основе данных о потреблении хлебных продуктов на душу населения будем рассчитывать прогнозное значение результативного показателя.

Если прогнозное значение фактора составит 80% от своего максимального значения

,

тогда точечное прогнозное значение результативного показателя составит

Т.е. еслипотребление хлебных продуктов на душу населения составит 152,8 кг, то прогнозное значение смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения составит примерно 63.

7. Рассчитаем ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости и .

Доверительный интервал для среднего размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:


Т.е. средний размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг, находится в интервале от 53 до 72 человек. Доверительный интервал для индивидуальных значений размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,95:

,

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, если потребление хлебных продуктов будет находиться на уровне 152,8 кг, то возможный размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения в 95% случаев может находиться внутри интервала от 35 до 90 человек.

Рассчитаем те же показатели для уровня значимости

Доверительный интервал для среднего размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,90:


Т.е. средний размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг, находится в интервале от 55 до 70 человек.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,90:

Таким образом, если потребление хлебных продуктов будет находиться на уровне 152,8 кг, то возможный размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения в 90% случаев может находиться внутри интервала от 40 до 85 человек.

8. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

На основе сравнительной оценки влияния факторов на результативный показатель посредством расчета коэффициентов эластичности удалось установить, что смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения увеличивается примерно на 0,12 % при увеличении потребления мяса и мясопродуктов на душу населения на 1 %, на 0,21% при увеличении на 1% потребления сахара на душу населения и на 0,37% при увеличении потребления хлебных продуктов на душу населения на 1%.

А при увеличении оценки ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения на 1% результативный показатель, наоборот, уменьшится на 0,59%. Увеличение же потребления фруктов и ягод на душу населения на 1% повлечет снижение смертности примерно на 1,02%.

Величина множественного коэффициента детерминации R2 =0,799 свидетельствует о том, что изменение результативного показателя примерно на 80% обусловлено влиянием факторов, включенных в модель. Оценка качества построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации подтверждает удовлетворительную точность построенной модели.

Оценка адекватности построенной модели с помощью F-Критерия Фишера подтвердила, что в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между факторами и результативным показателем. А значит, уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Посредством пошагового регрессионного анализа, осуществленного методом исключения факторов, получили модель, содержащую только один значимый фактор - потребление хлебных продуктов на душу населения. С его использованием построили новое уравнение регрессии, с помощью которого рассчитали прогнозное точечное значение результативного показателя и доверительный интервал для уровня значимости и .

Задача 3

В исходной таблице (графы 2 и 3 Приложения 13) представлены статистические данные об объеме продаж продовольственных товаров с 1 января 1990 г. в относительных единицах.

Требуется:

1. Представить временной ряд графически, провести его сглаживание методом простой скользящей средней, оценить наличие тренда.

2. Построить уравнение неслучайной составляющей (тренда) временного ряда, проверить значимость построенного уравнения по F-критерию при уровне значимости .

3. Дать точечную, интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

4. Построить авторегрессионную модель временного ряда, дать точечный, интервальный прогноз среднего и индивидуального значений с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

5. Сделать выводы по полученным результатам.

Решение:

1. Представим временной ряд графически:

Проведем его сглаживание методом простой скользящей средней. Выбрав величину скользящей средней, равную 3, доработаем исходную таблицу данных – найдем средние значения для каждых трех исходных (графа 4 Приложения 13).

На основе средних значений строим диаграмму сглаженных данных:


По графику можно сделать предположение о наличии тренда линейного типа. Для наглядности еще более сгладим исходные данные, построив с помощью инструмента «Скользящее среднее» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel график пятичленной скользящей средней.

Предположение о наличии тренда подтверждается, очевидно, также имеет место сезонная компонента.

2. Построим уравнение неслучайной составляющей (тренда) временного ряда

Для определения параметров модели временного ряда из линейного уравнения

воспользуемся инструментом «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычислений – в Приложении 14).

Получаем уравнение тренда временного ряда следующего вида:

Проверим значимость построенного уравнения по F -критерию при уровне значимости

Величина коэффициента детерминации R2 =0,324 также рассчитана с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 14). Судя по этому параметру, изменение результативного показателя примерно на 32 % обусловлено влиянием временного фактора. Построенную модель на основе парного коэффициента корреляции =0,57 можно признать умеренно качественной.


Наблюдаемое значение F–критерия меньше табличного: 250,476 16,2, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

3. Дать точечную, интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Чтобы сделать точечный прогноз на 1 и 2 шага вперед, подставим соответствующие значения фактора в полученное уравнение регрессии:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

,

Т.е. средний размер объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) примерно находится в интервале от 249 до 292 относительных единиц.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, размер объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 205 до 335 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:


,

Т.е. средний размер объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) примерно находится в интервале от 250 до 294 относительных единиц.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, размер объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 207 до 304 относительных единиц.

4. Построим авторегрессионную модель временного ряда.

Для построения авторегрессионной модели 1-го порядка вида


Определим ее параметры с помощью МНК из системы уравнений:

Воспользовавшись надстройкой «Поиск решения» приложения MSExcel, находим коэффициенты модели:

Получаем модель:

Дадим точечный прогноз по полученной авторегрессионной модели на 1 и 2 шага вперед:

Дадим интервальный прогноз среднего и индивидуального значений по полученной авторегрессионной модели с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

,

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=36 будет заключено в пределах от 233,17 до 275,99 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 189,44 до 319,72 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:


Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=37 будет заключено в пределах от 212,28 до 254,64 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 169,06 до 299,86 относительных единиц.

5. Выводы по полученным результатам:

Проведя сглаживание временного ряда методом простой скользящей средней, по графику сделали предположение о наличии тренда линейного типа. Вычислив параметры модели, получаем уравнение тренда


Величина коэффициента детерминации R2 =0,324 свидетельствует о том, что изменение У на 32% обусловлено влиянием времени. Построенную модель на основе коэффициента корреляции можно признать умеренно качественной.

Проверив значимость построенного уравнения по F-критерию, приходим к выводу, что в 95% случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

Точечный прогноз на 1 шаг вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.12.1995 г. в 95% случаев может находиться в интервале от 205 до 335 относительных единиц, а средний размер объема продаж - в интервале от 249 до 292 относительных единиц.

Точечный прогноз на 2 шага вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.01.1996 г. в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 207 до 304 относительных единиц, а средний размер объема продаж – внутри интервала от 207 до 304 относительных единиц.

Поскольку построенное ранее уравнение линейного тренда не является значимым, для прогнозирования значений временного ряда построили авторегрессионную модель

Даем точечный прогноз на 1 шаг вперед

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

и

А такжеточечный прогноз на 2 шага вперед

,

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

и .

линейный множественный регрессия модель

Приложение 1

Жилая пло

щадь, x

 Цена квартиры,у ()2 ()2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
20 15,9 400 252,81 318 19,729 -3,829 14,66124 - - -0,241
40,5 27 1640,25 729 1093,5 30,4095 -3,4095 11,62469 0,4195 0,175980 -0,126
16 13,5 256 182,25 216 17,645 -4,145 17,18103 -0,7355 0,540960 -0,307
20 15,1 400 228,01 302 19,729 -4,629 21,42764 -0,484 0,234256 -0,307
28 21,1 784 445,21 590,8 23,897 -2,797 7,823209 1,832 3,356224 -0,133
46,3 28,7 2143,69 823,69 1328,81 33,4313 -4,7313 22,3852 -1,9343 3,741517 -0,165
45,9 27,2 2106,81 739,84 1248,48 33,2229 -6,0229 36,27532 -1,2916 1,668231 -0,221
47,5 28,3 2256,25 800,89 1344,25 34,0565 -5,7565 33,13729 0,2664 0,070969 -0,203
87,2 52,3 7603,84 2735,29 4560,56 54,7402 -2,4402 5,954576 3,3163 10,99785 -0,047
17,7 22 313,29 484 389,4 18,5307 3,4693 12,03604 5,9095 34,92219 0,158
31,1 28 967,21 784 870,8 25,5121 2,4879 6,189646 -0,9814 0,963146 0,089
48,7 45 2371,69 2025 2191,5 34,6817 10,318 106,4673 7,8304 61,31516 0,229
65,8 51 4329,64 2601 3355,8 43,5908 7,4092 54,89625 -2,9091 8,462863 0,145
21,4 34,4 457,96 1183,36 736,16 20,4584 13,942 194,3682 6,5324 42,67225 0,405
536,1 409,5 26030,63 14014,35 18546,06 409,6341 -0,1341 544,4277 17,7706 169,1216 |2,776|

Приложение 2

В таблице приведены значения критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% (m - число независимых переменных уравнения регрессии).

Число наблюдений (n) m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5
d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2
15203050100 1,081,201,351,501,65 1,361,411,491,591,69 0,951,101,281,461,63 1,541,541,571,631,72 0,821,001,211,421,61 1,751,681,651,671,74 0,690,901,141,381,59 1,971,831,741,721,76 0,560,791,071,341,57 2,211,991,831,471,78

Приложение 3

Критические границы отношения R/S

Объем выборки (n) Нижние границы Верхние границы
Вероятность ошибки
0,000 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,000
34567891011121314151617181920 1,7321,7321,8261,8261,8211,8211,8971,8971,9151,9151,9271,9271,9361,9361,9441,9441,9491,949 1,7351,831,982,112,222,312,392,462,532,592,642,702,742,792,832,872,902,94 1,7371,872,022,152,262,352,442,512,582,642,702,752,802,842,882,922,962,99 1,7451,932,092,222,332,432,512,592,662,722,782,832,882,932,973,013,053,09 1,7581,982,152,282,402,502,592,672,742,802,862,922,973,013,063,103,143,18 1,7822,042,222,372,492,592,682,762,842,902,963,023,073,123,173,213,253,29 1,9972,4092,7122,9493,1433,3083,4493,573,683,783,873,954,024,094,154,214,274,32 1,9992,4292,7533,0123,2223,3993,5523,6853,803,914,004,094,174,244,314,374,434,49 2,0002,4392,7823,0563,2823,4713,6343,7773,9034,024,124,214,294,374,444,514,574,63 2,0002,4452,8033,0953,3383,5433,7203,8754,0124,1344,2444,344,444,524,604,674,744,80 2,0002,4472,8133,1153,3693,5853,7723,9354,0794,2084,3254,4314,534,624,704,784,854,91 2,0002,4492,8283,1624,4653,7424,0002,2434,4724,6904,8995,0995,2925,4775,6575,8316,0006,164

Приложение 4

Таблица значений функции распределения Стьюдента (для интервальных оценок)

Значение доверительной вероятности
0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

Степени

свободы

1 6.314 7.026 7.916 9.058 10.579 12.706 15.894 21.205 31.821 63.656
2 2.920 3.104 3.320 3.578 3.896 4.303 4.849 5.643 6.965 9.925
3 2.353 2.471 2.605 2.763 2.951 3.182 3.482 3.896 4.541 5.841
4 2.132 2.226 2.333 2.456 2.601 2.776 2.999 3.298 3.747 4.604
5 2.015 2.098 2.191 2.297 2.422 2.571 2.757 3.003 3.365 4.032
6 1.943 2.019 2.104 2.201 2.313 2.447 2.612 2.829 3.143 3.707
7 1.895 1.966 2.046 2.136 2.241 2.365 2.517 2.715 2.998 3.499
8 1.860 1.928 2.004 2.090 2.189 2.306 2.449 2.634 2.896 3.355
9 1.833 1.899 1.973 2.055 2.150 2.262 2.398 2.574 2.821 3.250
10 1.812 1.877 1.948 2.028 2.120 2.228 2.359 2.527 2.764 3.169
11 1.796 1.859 1.928 2.007 2.096 2.201 2.328 2.491 2.718 3.106
12 1.782 1.844 1.912 1.989 2.076 2.179 2.303 2.461 2.681 3.055
13 1.771 1.832 1.899 1.974 2.060 2.160 2.282 2.436 2.650 3.012
14 1.761 1.821 1.887 1.962 2.046 2.145 2.264 2.415 2.624 2.977
15 1.753 1.812 1.878 1.951 2.034 2.131 2.249 2.397 2.602 2.947
16 1.746 1.805 1.869 1.942 2.024 2.120 2.235 2.382 2.583 2.921
17 1.740 1.798 1.862 1.934 2.015 2.110 2.224 2.368 2.567 2.898
18 1.734 1.792 1.855 1.926 2.007 2.101 2.214 2.356 2.552 2.878
19 1.729 1.786 1.850 1.920 2.000 2.093 2.205 2.346 2.539 2.861
20 1.725 1.782 1.844 1.914 1.994 2.086 2.197 2.336 2.528 2.845
21 1.721 1.777 1.840 1.909 1.988 2.080 2.189 2.328 2.518 2.831

Приложение 5

Приложение 6

№ Страны Х1 Х3 Х6 Х8 Х9 У
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 Россия 55 30 20,4 28 124 84,98 61,1244 23,8556 0,2807
2 Австралия 100 47 71,4 121 87 30,56 37,1498 -6,5898 -0,2156
3 Австрия 93 37 78,7 146 74 38,42 27,7670 10,653 0,2773
4 Азербайджан 20 12,4 12,1 52 141 60,34 59,8539 0,4861 0,0081
5 Армения 20 4,3 10,9 72 134 60,22 56,7572 3,4628 0,0575
6 Белоруссия 72 28 20,4 38 120 60,79 61,0272 -0,2372 -0,0039
7 Бельгия 85 48 79,7 83 72 29,82 30,3919 -0,5719 -0,0192
8 Болгария 65 18 17,3 92 156 70,57 63,9434 6,6266 0,0939
9 Великобритания 67 39 69,7 91 91 34,51 34,2298 0,2802 0,0081
10 Венгрия 73 40 24,5 73 106 64,73 60,0524 4,6776 0,0723
11 Германия 88 35 76,2 138 73 36,63 28,0102 8,6198 0,2353
12 Греция 83 24 44,4 99 108 32,84 46,083 -13,243 -0,4033
13 Грузия 21 36 11,3 55 140 62,64 67,1154 -4,4754 -0,0714
14 Дания 98 38 79,2 89 77 34,07 29,3072 4,76277 0,1398
15 Ирландия 99 31 57 87 102 39,27 42,2326 -2,9626 -0,0754
16 Испания 89 26 54,8 103 72 28,46 36,3877 -7,9277 -0,2786
17 Италия 84 27 72,1 169 118 30,27 33,8748 -3,6048 -0,1191
18 Казахстан 61 19,2 13,4 10 191 69,04 72,2562 -3,2162 -0,0466
19 Канада 98 44 79,9 123 77 25,42 30,3257 -4,9057 -0,193
20 Киргизия 46 23,5 11,2 20 134 53,13 64,7713 -11,6413 -0,2191
21 Нидерланды 86 37 72,4 176 59 28,00 27,7780 0,222 0,0079
22 Португалия 73 27 48,6 150 83 38,79 39,7452 -0,9552 -0,0246
23 США 115 29 100 99 103 32,04 21,2971 10,7429 0,3353
24 Финляндия 62 36 63,9 82 94 38,58 36,4471 2,1329 0,0553
25 Франция 91 36 77,5 84 85 18,51 30,3382 -11,8282 -0,639
26 Чехия 82 45 34,7 65 114 57,62 58,3873 -0,7673 -0,0133
27 Япония 40 20 83,5 60 119 20,80 24,3958 -3,5958 -0,1729
1966 837,4 1385,2 2405 2854 1181,05 1181,05 0 |4,0665|
72,81 31,01 51,3 89,07 105,7 43,74

Приложение 7


ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение Предсказанное Y Остатки Стандартные остатки
1 61,12437668 23,85562332 3,016807918
2 37,14984362 -6,589843625 -0,83335875
3 27,76702963 10,65297037 1,347186151
4 59,85389286 0,486107145 0,061473635
5 56,75723936 3,46276064 0,437904455
6 61,02722122 -0,237221218 -0,029999252
7 30,3918804 -0,571880402 -0,072320614
8 63,94341526 6,626584737 0,838005071
9 34,22980347 0,280196529 0,035433956
10 60,05238208 4,67761792 0,59153662
11 28,01019093 8,619809067 1,090070375
12 46,08296956 -13,24296956 -1,674720249
13 67,11544881 -4,47544881 -0,565970095
14 29,30723012 4,762769875 0,602305028
15 42,23264038 -2,962640379 -0,374658706
16 36,38774388 -7,927743882 -1,002551063
17 33,87478691 -3,604786915 -0,455865251
18 72,25617196 -3,216171959 -0,406720583
19 30,32568691 -4,905686906 -0,62037847
20 64,77131443 -11,64131443 -1,472173209
21 27,77801216 0,22198784 0,028072822
22 39,74521202 -0,955212022 -0,120797145
23 21,29706536 10,74293464 1,35856313
24 36,44711056 2,13288944 0,269727505
25 30,33822718 -11,82822718 -1,495810398
26 58,38731137 -0,767311368 -0,097035025
27 24,39579286 -3,595792864 -0,454727853

Приложение 8

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,758496844
R-квадрат 0,575317462
Нормированный R-квадрат 0,498102455
Стандартная ошибка 12,49675211
Наблюдения 27
Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 4 4654,361827 1163,590457 7,450850349 0,000593913
Остаток 22 3435,713892 156,1688133
Итого 26 8090,075719
Коэффи-циенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение 11,37891037 26,90148347 0,422984494 0,676412608 -44,41135143 67,16917217 -44,41135143 67,16917217
Переменная X 1 -0,140477614 0,136338345 -1,03036027 0,314036187 -0,423226035 0,142270807 -0,423226035 0,142270807
Переменная X 2 0,334073329 0,330603312 1,010496014 0,323243144 -0,351555972 1,01970263 -0,351555972 1,01970263
Переменная X 3 -0,059094847 0,084157252 -0,702195542 0,489920557 -0,233626304 0,11543661 -0,233626304 0,11543661
Переменная X 4 0,35471917 0,138588434 2,559514953 0,017874673 0,06730435 0,64213399 0,06730435 0,64213399

Приложение 9

Приложение 10


Приложение 11


Приложение 12

№ Страны Х9 Х92 У
1 Россия 124 15376 84,98 51,28526 33,69474 1135,016 0,3965
2 Австралия 87 7569 30,56 36,03197 -5,47197 29,9209 -0,179
3 Австрия 74 5476 38,42 30,67271 7,747288 60,0625 0,202
4 Азербайджан 141 19881 60,34 58,29352 2,046478 4,2025 0,334
5 Армения 134 17956 60,22 55,40777 4,812234 23,1361 0,08
6 Белоруссия 120 14400 60,79 49,63625 11,15375 124,3225 0,1835
7 Бельгия 72 5184 29,82 29,84821 -0,02821 0,0009 -0,001
8 Болгария 156 24336 70,57 64,47729 6,092714 37,0881 0,0863
9 Великобритания 91 8281 34,51 37,68098 -3,17098 10,0489 -0,092
10 Венгрия 106 11236 64,73 43,86474 20,86526 435,5569 0,322
11 Германия 73 5329 36,63 30,26046 6,369538 40,5769 0,1739
12 Греция 108 11664 32,84 44,68924 -11,8492 140,4035 -0,361
13 Грузия 140 19600 62,64 57,88127 4,758729 22,6576 0,076
14 Дания 77 5929 34,07 31,90947 2,160535 4,6656 0,0634
15 Ирландия 102 10404 39,27 42,21574 -2,94574 8,7025 -0,075
16 Испания 72 5184 28,46 29,84821 -1,38821 1,9321 -0,049
17 Италия 118 13924 30,27 48,81175 -18,5418 343,7316 -0,613
18 Казахстан 191 36481 69,04 78,90607 -9,86607 97,4169 -0,143
19 Канада 77 5929 25,42 31,90947 -6,48947 42,1201 -0,255
20 Киргизия 134 17956 53,13 55,40777 -2,27777 5,1984 -0,043
21 Нидерланды 59 3481 28 24,48895 3,511051 12,3201 0,1254
22 Португалия 83 6889 38,79 34,38297 4,407029 19,4481 0,1136
23 США 103 10609 32,04 42,62799 -10,588 112,1481 -0,33
24 Финляндия 94 8836 38,58 38,91773 -0,33773 0,1156 -0,009
25 Франция 85 7225 18,51 35,20747 -16,6975 278,89 -0,902
26 Чехия 114 12996 57,62 47,16275 10,45725 109,4116 0,1815
27 Япония 119 14161 20,8 49,224 -28,424 807,6964 -1,367
326292 39,0679 |6,76|

Приложение 13

№

Дата,

t

Объем

продаж,

2 ()2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1/1/93 178 31684 - - -17 289 200,0143 -22,0143 484,4401
2 1/2/93 185 34225 32930 186 -16 256 202,037 -17,037 290,3616
3 1/3/93 196 38416 36260 189 -15 225 204,0597 -8,05966 64,9636
4 1/4/93 187 34969 36652 193 -14 196 206,0824 -19,0824 364,0464
5 1/5/93 197 38809 36839 210 -13 169 208,105 -11,105 123,4321
6 1/6/93 246 60516 48462 225 -12 144 210,1277 35,87227 1286,6569
7 1/7/93 231 53361 56826 240 -11 121 212,1504 18,84958 355,3225
8 1/8/93 244 59536 56364 231 -10 100 214,1731 29,82689 889,8289
9 1/9/93 219 47961 53436 221 -9 81 216,1958 2,804202 7,84
10 1/10/93 199 39601 43581 202 -8 64 218,2185 -19,2185 369,4084
11 1/11/93 187 34969 37213 198 -7 49 220,2412 -33,2412 1104,8976
12 1/12/93 208 43264 38896 201 -6 36 222,2639 -14,2639 203,3476
13 1/1/94 208 43264 43264 213 -5 25 224,2866 -16,2866 265,3641
14 1/2/94 223 49729 46384 228 -4 16 226,3092 -3,30924 10,9561
15 1/3/94 254 64516 56642 240 -3 9 228,3319 25,66807 658,9489
16 1/4/94 243 59049 61722 247 -2 4 230,3546 12,64538 160,0225
17 1/5/94 243 59049 59049 247 -1 1 232,3773 10,62269 112,7844
18 1/6/94 255 65025 61965 263 0 0 234,4 20,6 424,36
19 1/7/94 292 85264 74460 278 1 1 236,4227 55,57731 3089,1364
20 1/8/94 288 82944 84096 281 2 4 238,4454 49,55462 2455,2025
21 1/9/94 262 68644 75456 261 3 9 240,4681 21,53193 463,5409
22 1/10/94 234 54756 61308 233 4 16 242,4908 -8,49076 72,0801
23 1/11/94 204 41616 47736 219 5 25 244,5134 -40,5134 1641,0601
24 1/12/94 218 47524 44472 217 6 36 246,5361 -28,5361 814,5316
25 1/1/95 230 52900 50140 215 7 49 248,5588 -18,5588 344,4736
26 1/2/95 197 38809 45310 230 8 64 250,5815 -53,5815 2870,8164
27 1/3/95 263 69169 51811 232 9 81 252,6042 10,3958 108,16
28 1/4/95 235 55225 61805 253 10 100 254,6269 -19,6269 385,3369
29 1/5/95 262 68644 61570 261 11 121 256,6496 5,35042 28,6225
30 1/6/95 285 81225 74670 284 12 144 258,6723 26,32773 693,2689
31 1/7/95 305 93025 86925 302 13 169 260,695 44,30504 1962,49
32 1/8/95 316 99856 96380 298 14 196 262,7176 53,28235 2838,7584
33 1/9/95 273 74529 86268 274 15 225 264,7403 8,259664 68,2276
34 1/10/95 234 54756 63882 237 16 256 266,763 -32,763 1073,2176
35 1/11/95 203 41209 47502 - 17 289 268,7857 -65,7857 4328,3241
630 8204 1920276 3570 8204 0 30414,23

Приложение 14

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,569585
R-квадрат 0,324427
Нормированный R-квадрат 0,303955
Стандартная ошибка 30,35875
Наблюдения 35
Дисперсионный анализ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 14605,84 14605,84 15,84743 0,000355
Остаток 33 30414,56 921,6534
Итого 34 45020,4
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95,0% Верхние 95,0%
Y-пересечение 197,9916 10,48708 18,87958 2,96E-19 176,6555 219,3277 176,6555 219,3277
Переменная X 1 2,022689 0,508101 3,980883 0,000355 0,988951 3,056428 0,988951 3,056428
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение ПредсказанноеY Остатки
1 200,0143 -22,0143
2 202,037 -17,037
3 204,0597 -8,05966
4 206,0824 -19,0824
5 208,105 -11,105
6 210,1277 35,87227
7 212,1504 18,84958
8 214,1731 29,82689
9 216,1958 2,804202
10 218,2185 -19,2185
11 220,2412 -33,2412
12 222,2639 -14,2639
13 224,2866 -16,2866
14 226,3092 -3,30924
15 228,3319 25,66807
16 230,3546 12,64538
17 232,3773 10,62269
18 234,4 20,6
19 236,4227 55,57731
20 238,4454 49,55462
21 240,4681 21,53193
22 242,4908 -8,49076
23 244,5134 -40,5134
24 246,5361 -28,5361
25 248,5588 -18,5588
26 250,5815 -53,5815
27 252,6042 10,3958
28 254,6269 -19,6269
29 256,6496 5,35042
30 258,6723 26,32773
31 260,695 44,30504
32 262,7176 53,28235
33 264,7403 8,259664
34 266,763 -32,763
35 268,7857 -65,7857

Скачать архив с текстом документа