Лінійна модель виробництва
СОДЕРЖАНИЕ: Вивчення сутності лінійної моделі виробництва та лінійного програмування. Статична схема міжгалузевого балансу. Властивості невід’ємних матриць. Звязок між коефіцієнтами прямих і повних витрат. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів.ЛІНІЙНА МОДЕЛЬ ВИРОБНИЦТВА
1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування
Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозвязків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, повязані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.
Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, повязані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.
Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількість всіх видів ресурсів 
позначимо їх 
. Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися 
типів товарів 
.
Технологією виробництва товарів 
назвемо набір чисел 
, що показують, яка кількість ресурсів 
необхідні для випуску однієї одиниці товару 
. Так виробництво товарів 
можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості 
а в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту .
Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через 
.
Нехай задані кількості 
ресурсів ,, які можуть бути використані у виробництві, тоді 
– вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор 
, що показує, яка кількість товарів буде вироблена.
Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску 
одиниць продукту описуються вектором 
, причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.
Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва , описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:
або в матричній формі вектором 
. Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді 
. Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів 
, який задовольняє обмеженням 
, 
. Як правило, такий вектор не єдиний. У звязку з цим зявляється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.
Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни 
на продукти виробництва 
. Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:
, , .(1)
Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор 
, що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай 
означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу
, , 
, .(2)
Тут нерівність означає, що вектор містить не менше повних комплектів продукції, що випускається.
Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси , доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.
Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.
2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обовязково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.
Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році 
, за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі  |
1 | 2 | … | |
|
Продукти  |
|||||
| 1 |  |
 |
… |  |
 |
| 2 |  |
 |
… |  |
 |
| … | … | … | … | … | … |
|
 |
 |
… |  |
 |
| Валовий випуск |  |
 |
… |  |
|
| Кінцеве споживання |  |
 |
… |  |
Величини 
вказують обсяг продукту з номером , витрачений галуззю в процесі виробництва за звітний період. Числа 
,
дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску) 
-ї галузі за той самий період, а значення 
–
обсягу продукції -ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа , показують розподіл -го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення
, 
.(3)
Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі елементи -го стовпця таблиці 1 розділити на , то число 
розумітимемо як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа , характеризують технологію -ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під 
розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця 
, яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.
Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва одиниць продукції галузі необхідно затратити 
одиниць галузі , тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).
Під час виробництва набору продукції витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку величину
.(4)
Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює . Якщо 
– вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція -ї галузі дорівнює
, (5)
або в матричній формі
. (6)
Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель повязує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків , то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень 
. Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто
(7)
при заданій матриці .
3. Розв’язок моделі Леонтьєва
За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці невід’ємні: 
, 
. У цьому випадку говорять, що матриця невід’ємна й записують 
. Невід’ємні компоненти заданого вектора 
або 
.
Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей 
або . Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці .
Матриця називається продуктивною, якщо існують два вектори 
і , такі, що 
.
Продуктивність матриці означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.
Розглянемо умови продуктивності матриці :
1) послідовні головні мінори матриці 
позитивні, тобто для кожного 
виконана нерівність
;
2) матриця невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця 
й всі її елементи невід’ємні: 
3) матричний ряд 
збігається, причому
.
4) максимальне власне число 
.
Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором потрібно знайти вектор 
, для якого 
. Перепишемо систему (7) у вигляді 
, де 
– одинична матриця. Якщо матриця продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця 
існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд 
. Через те, що 
й , .
Особливістю матриці в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.
4. Властивості невід ’ ємних матриць
Нехай – квадратна матриця розміром 
з невід’ємними елементами 
, 
; 
підмножина множини 
натуральних чисел . Говорять, що 
ізольовано (щодо даної матриці ), якщо в матриці 
при 
, 
.
Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини означає, що галузі з номерами 
під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин 
. Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини , може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб 
, 
, що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця матиме вигляд
,(8)
де 
й 
– квадратні підматриці розмірів 
і 
відповідно, 
– 
.
Матриця називається нерозкладною, якщо в множині 
немає ізольованих підмножин, крім самої і порожньої множини.
Інакше кажучи, матриця нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).
Нерозкладність матриці в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.
Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:
1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо -й рядок матриці нульовий, то множина 
ізольована.
2. Якщо – нерозкладна й 
то 
.
Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця має таке власне число 
, що й модулі всіх інших власних чисел матриці не перевищують 
; числу відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор 
, всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати 
.
4. Лема: нехай – нерозкладна матриця, 
, , 
, крім того, у вектора є нульові координати та 
, тоді у вектора 
знайдеться додатна координата 
, причому 
.
5. Лема: якщо матриця нерозкладна, , , то з нерівності 
випливає, що 
, 
.
5. Звязок між коефіцієнтами прямих і повних витрат
Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі 
.
Для виробництва одиниці продукції -ї галузі необхідно затратити набір продуктів 
, що описується -м стовпцем матриці . Але для виробництва цього набору 
необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через 
.
Елементи вектора витрат називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць -го продукту 
.
Матриця 
, складена зі стовпців , , називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули
.
Непрямими витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих витрат першого порядку, тобто 
, або в матричній формі
де 
– матриця коефіцієнтів непрямих витрат другого порядку.
Продовжуючи за аналогією, назвемо непрямими витратами порядку 
прямі витрати на забезпечення непрямих витрат порядку 
. Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат -го порядку одержимо, помноживши 
на 
. (9)
Визначимо тепер повні витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього матриця 
, складена з коефіцієнтів повних витрат, утвориться як сума
(10)
або з огляду на те, що 
, маємо
(11)
Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних звязків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних звязків між галузями.
Зясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?
Розглянемо матрицю 
.
Очевидно, що елементи матриці скінченні разом з елементами матриці 
тільки в тому випадку, якщо скінченна сума ряду 
. Крім того, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці , причому 
. Отже, у випадку продуктивності матриці й тільки в цьому випадку матриця повних витрат скінченна, її визначають відповідно до формули
.
Для великих значень 
важко обчислити зворотну матрицю. В цьому випадку матрицю , як і матрицю , можна обчислити приблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації 
, на другій ітерації 
, на третій 
, на 
-й ітерації 
. Часткова сума 
відрізняється від часткової суми 
на величину 
. Через те що ряд збігається, 
при 
. Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.
Коефіцієнти 
матриці 
мають таку економічну інтерпретацію: якщо випуск кінцевого -го продукту потрібно збільшити на одиницю, то валовий випуск -го продукту має бути збільшений на .
6. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів
Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них зявляється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості. Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.
Розглянемо проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі Леонтьєва.
Зіставимо кожній -ї галузі число 
, що виражає необхідні витрати трудових ресурсів при одиничній інтенсивності даного технологічного процесу.
Нехай 
– вектор прямих витрат праці й – матриця прямих матеріальних витрат. На виробництво одиниці продукту виду необхідно безпосередньо затратити набір продуктів 
і працю в кількості 
. Однак на виробництво даного набору продуктів у свою чергу необхідно затратити 
одиниць праці. Ця величина називається непрямими витратами праці першого порядку на одиницю -го продукту й позначається через 
.
Вектор непрямих витрат праці першого порядку
визначається таким виразом: 
.
Міркуючи аналогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор 
непрямих витрат праці порядку 
визначається таким співвідношенням:
або 
.
Повні витрати праці
є сумою прямих і непрямих витрат праці
.
У матричному записі, вважаючи, що 
і, з огляду на те, що 
, маємо
або 
.
Якщо матриця продуктивна, то суму в дужках можна замінити на й, отже, 
– матриця повних витрат праці.
Зменшення повних витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення обєктивної основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці використовують ітераційну процедуру
,
що дозволяє з заданою точністю визначити дані коефіцієнти.