Логарифмические уравнения

СОДЕРЖАНИЕ: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Свойства логарифмической функции, методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств логарифма. Решение показательных уравнений.

Введение

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: Смотри!, Делай так!, Ты правильно нашел. В этом смысле исключением является Арифметика греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово аль-джебр из арабского названия этого трактата – Китаб аль-джебер валь-мукабала (Книга о восстановлении и противопоставлении) – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово алгебра, а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b . (1)

Утверждение 1. Если a 0, a 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1 /3 ; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a 0, a 1 и b 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

loga N 1 ·N 2 = loga N 1 + loga N 2 (a 0, a 1, N 1 0, N 2 0).


Замечание. Если N 1 ·N 2 0, тогда свойство P2 примет вид

loga N 1 ·N 2 = loga |N 1 | + loga |N 2 | (a 0, a 1, N 1 ·N 2 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a 0, a 1, N 1 0, N 2 0).

Замечание. Если , (что равносильно N 1 N 2 0) тогда свойство P3 примет вид

(a 0, a 1, N 1 N 2 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

loga N k = k loga N (a 0, a 1, N 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s ), то

loga N 2s = 2s loga |N | (a 0, a 1, N 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a 0, a 1, b 0, b 1, N 0),


в частности, если N = b , получим

(a 0, a 1, b 0, b 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a 0, a 1, b 0, c 0), (3)

(a 0, a 1, b 0, c 0), (4)

(a 0, a 1, b 0, c 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n ), имеет место

(b 0, a 0, |a | 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = loga x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x 1 x 2 loga x 1 loga x 2 ), а при 0 a 1, - строго убывает (0 x 1 x 2 loga x 1 loga x 2 ).

4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a 0, a 1).

5. Если a 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+), а если 0 a 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) и отрицательна при x (1;+).

6. Если a 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение loga f (x ) = loga g (x ) (a 0, a 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

f (x ) = g (x ), f (x ) = g (x ),
f (x ) 0, g (x ) 0.

Утверждение 3. Уравнение logh (x ) f (x ) = logh (x ) g (x ) равносильно одной из систем

f (x ) = g (x ), f (x ) = g (x ),
h (x ) 0, h (x ) 0,
h (x ) 1, h (x ) 1,
f (x ) 0, g (x ) 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться чужие решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f (x ) = g (x ) иloga f (x ) = loga g (x )

или

loga [f (x )·g (x )] = b иloga f (x ) + loga g (x ) = b


вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log2 (5 + 3log2 (x - 3)) = 3, c) log(x - 2) 9 = 2,
b) d) log2x + 1 (2x 2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a 0, a 1) называется степень, в которую нужно возвести число a , чтобы получить b . Таким образом, loga b = c , b = ac и, следовательно,

5 + 3log2 (x - 3) = 23

или

3log2 (x - 3) = 8 - 5, log2 (x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 21 , x = 5.


Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log2 (5 + 3log2 (5 - 3)) = log2 (5 + 3log2 2) = log2 (5 + 3) = log2 8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

(x - 2)2 = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 - 4x - 5 = 0 с решениями x 1 = -1 и x 2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x 2 - 8x + 15) = (2x + 1)2

или, после элементарных преобразований,

x 2 + 6x -7 = 0,

откуда x 1 = -7 и x 2 = 1. После проверки остается x = 1.


3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log3 x + log3 (x + 3) = log3 (x + 24),
b) log4 (x 2 - 4x + 1) - log4 (x 2 - 6x + 5) = -1 /2
c) log2 x + log3 x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

x 0,
x +3 0,
x +24 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log3 x + log3 (x + 3) = log3 (x + 24)
log3 x (x + 3) = log3 (x + 24),
x 0,
x (x + 3) = x + 24,
x 0,
x 2 + 2x - 24 = 0,
x 0,
x 1 = -6,
x 2 = 4,
x 0,
x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или

x 2 - 4x + 1 = 1 /2 (x 2 - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x 2 - 2x - 3 = 0

с решениями x 1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

log2 x (1 + log3 2) = 1,

откуда или или log2 x = log6 3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a 1, то неравенство loga f (x ) loga g (x ) равносильно системе неравенств

f (x ) g (x ),
g (x ) 0.

Утверждение 2. Если 0 a 1, то неравенство loga f (x ) loga g (x ) равносильно системе неравенств

f (x ) g (x ),
f (x ) 0.

Утверждение 3. Неравенство logh (x ) f (x ) logh (x ) g (x ) равносильно совокупности систем неравенств

h (x ) 1,
f (x ) g (x ) 0,
0 h (x ) 1,
0 f (x ) g (x ).

Подчеркнем, что в неравенстве loga f (x ) loga g (x ) вместо знака может фигурировать любой из знаков , , . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log3 (x 2 - x ) log3 (x + 8);
b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log3 (x 2 - x ) log3 (x + 8) x 2 - x x + 8, x 2 - 2x - 8 0,
x +8 0, x -8,
x -2,
x 4, x (-8;-2][4;+).
x -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log2 1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим


Показательные уравнения и неравенства

1. Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению

Пример 1. Решить уравнение

.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

.

Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:

Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y , используя решение простейшего показательного уравнения.

2. Показательные неравенства

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a 1, неравенство

a f (x ) a g (x )

равносильно неравенству

f (x ) g (x ).

Аналогично, a f (x ) a g (x ) ; f (x ) g (x ).

A.2. Если 0 a 1, неравенство

a f (x ) a g (x )

равносильно неравенству

f (x ) g (x ).

Аналогично, a f (x ) a g (x ) ; f (x ) g (x ).


A.3. Неравенство

[h (x )]f (x ) [h (x )]g (x ) ( 1)

равносильно совокупности систем неравенств

h (x ) 1,
f (x ) g (x ),
0 h (x ) 1,
f (x ) g (x ).

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

h (x ) = 1,
x D (f ); D (g ),

где D (f ) (D (g )) означает область определения функции f (g ).

A.4. Если b 0, неравенство

af (x ) b

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b 0, множеством решений неравенства af (x ) b является x D (f ).

A.6. Если a 1, b 0, неравенство

af (x ) b


равносильно неравенству

f (x ) loga b .

Аналогично, a f (x ) b ; f (x ) loga b .

A.7. Если 0 a 1, b 0, неравенство

a f (x ) b

равносильно неравенству

f (x ) loga b .

Аналогично, a f (x ) b ; f (x ) loga b .

Упражнение 1. Решить неравенства:

a)
b) (0.3)|2x -3| (0.3)|3x +4| ,
c)

Решение. a) Так как 2 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство

которое решается методом интервалов,


b) Так как 0 0.3 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство

|2x -3| |3x +4|,

которое решается, используя свойства модуля (|a | |b | (a -b )(a +b ) 0):

|2x -3| |3x +4| ((2x -3)-(3x +4)) ((2x -3)+(3x +4)) 0 (-x -7)(5x +1) 0

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-1 /5 ).

c) Используя утверждение A.3, получим

4x 2 +2x +1 1,
x 2 -x 0,
4x 2 +2x +1 1,
4x 2 +2x +1 0,
x 2 -x 0
x 0,
x -1 2 ,
x 1,
x 0,
x (-1 2 ;0),
x R,
x (0;1).

x (-; -1 2 ) (1;+),
x
x (-;- 1 2 ) (1;+).

Заключение

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Список литературы

1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.

4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980

5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970

Скачать архив с текстом документа