Математическая статистика
СОДЕРЖАНИЕ: Основные понятия математической статистики. Нахождение коэффициента эластичности модели. Проведение экономического анализа, составление прогноза и построение доверительной области. Вычисление зависимости показателя от фактора. Проверка созданной модели.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Математическая статистика»
Задания к контрольной работе
1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический вывод. Модель : 
; X = 4;
3. Для представленных данных выполнить следующее задание:
3.1 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.
3.2 Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.
3.3 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.
Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:
| № завода |
Фактор |
Уровень рентабельности, % |
|
| Фондоотдача, грн |
Производительность труда, грн |
||
| 1 |
38,9 |
3742 |
10,7 |
| 2 |
33,3 |
2983 |
11,3 |
| 3 |
37,7 |
3000 |
12,2 |
| 4 |
31,1 |
2537 |
12,4 |
| 5 |
29,4 |
2421 |
10,9 |
| 6 |
37,2 |
3047 |
11,3 |
| 7 |
35,6 |
3002 |
11,1 |
| 8 |
34,1 |
2887 |
14,0 |
| 9 |
16,1 |
2177 |
6,8 |
| 10 |
22,8 |
2141 |
7,1 |
| 11 |
21,7 |
2005 |
8,9 |
| 12 |
26,8 |
1843 |
4,2 |
| 13 |
23,3 |
2031 |
7,4 |
| 14 |
24,5 |
2340 |
11,4 |
| 15 |
19,9 |
1933 |
4,8 |
Нелинейную зависимость принять 
1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение
Генеральная совокупность - вся изучаемая выборочным методом статистическая совокупность объектов и/или явлений общественной жизни, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные.
Выборочная совокупность (выборка)- часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.
Для того, чтобы заключение, полученное путем изучения выборки , можно было распространить на всю генеральную совокупность выборка должна обладать свойством репрезентативности.
Объем выборки - общее число единиц наблюдения в выборочной совокупности. Определение объема выборки представляет собой один из основных этапов ее формирования. Объем выборки для генеральной совокупности обозначается– N, для выборки – n.
Среднее значение выборки можно вычислить по формуле:
Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. Дисперсия вычисляется по формуле:
- простая дисперсия,
- взвешенная дисперсия.
Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение (
).
или
.
Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X . Сделать экономический анализ
Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Формула расчета коэффициента эластичности:
Э = f(x)X/Y,
где f(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.
,
.
Следовательно получим следующее математическое выражение
.
При заданном значении X=4 получим, что коэффициент эластичности равен Э=0,25.
Допустим, что заданная функция определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 4% спрос повысится в среднем на 0,25 %.
3. Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:
| № завода |
Фактор |
Уровень рентабельности, % |
|
| Фондоотдача, грн |
Производительность труда, грн |
||
| 1 |
38,9 |
3742 |
10,7 |
| 2 |
33,3 |
2983 |
11,3 |
| 3 |
37,7 |
3000 |
12,2 |
| 4 |
31,1 |
2537 |
12,4 |
| 5 |
29,4 |
2421 |
10,9 |
| 6 |
37,2 |
3047 |
11,3 |
| 7 |
35,6 |
3002 |
11,1 |
| 8 |
34,1 |
2887 |
14,0 |
| 9 |
16,1 |
2177 |
6,8 |
| 10 |
22,8 |
2141 |
7,1 |
| 11 |
21,7 |
2005 |
8,9 |
| 12 |
26,8 |
1843 |
4,2 |
| 13 |
23,3 |
2031 |
7,4 |
| 14 |
24,5 |
2340 |
11,4 |
| 15 |
19,9 |
1933 |
4,8 |
Нелинейную зависимость принять
Последовательность выполнения задания 3
1. Вводим данные .Определяем основные числовые характеристики.
2. Строим диаграмму рассеивания (корреляционное поле).
3. Определяем тесноту линейной связи по коэффициенту корреляции.
4. Строим линейную модель вида у = bо + b1 *х.
5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2 . Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера
6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.
7. По полученной модели рассчитываем значение показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза (точку прогноза выбираем произвольно из области прогноза).
8. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d. =
9. Рассчитаем доверительный интервал для всех точек выборки и в точке прогноза: (Y-d, Y +d).
10. Рассчитываем коэффициент эластичности:
Для линейной модели y’
х
= b1
. Получим
, где у(х) - рассчитанное по модели значение показателя.
11. Строим, используя «Мастер диаграмм», корреляционное поле, график эластичности и доверительную область.
12. Делаем лист с формулами.
Решение 1:
1. Вводим данные. Определяем основные статистики. Строим корреляционное поле. По виду корреляционного поля выдвигаем гипотезу о нелинейной зависимости между X и Y.
2. С помощью формул перехода линеаризуем нелинейную модель: 
, V=у. Получаем линейную модель относительно новых переменных
V = b0 + b1 u
3. Рассчитываем основные числовые характеристики X, Y, V, U с помощью «Мастера функций» и функции «Описательная статистика».
4. Продолжим регрессионный анализ с помощью вкладки «Анализ данных» и функции «Регрессия».
5. Вычислим значения V(U),V min, V max.
6. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d .
7. По формулам обратного перехода пересчитываем значения Y, Ymin (левая граница доверительного интервала»,Ymaх(правая граница доверительного интервала).
8. Рассчитываем коэффициент эластичности
,
9. Строим доверительные области V(U) и Y(х) и график эластичности.
10. Делаем лист с формулами.
Решение 2:
1. Вводим данные.
2. Определяем основные статистики.
3. По корреляционной таблице проверяем факторы на коллинеарность.
4. Строим линейную модель вида y = b0 +b1 х+b2 х.
5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2 . Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера.
6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.
7. По полученной модели рассчитываем значения показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза(точку прогноза выбрали произвольно из области прогноза).
8. Рассчитываем частичные коэффициенты эластичности:
- по фактору X1
- по фактору Х2
|
4. Экономический анализ
Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Найдем основные числовые характеристики.
Объем выборки n=15 суммарное количество наблюдений.
Фондоотдача изменяется от 16,1 до 38,9 грн., уровень рентабельности изменяется от 4,2 до 14%.
Среднее значение фондоотдачи составляет 28,83 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 9,63%.
Среднее значение можно вычислить по формуле: 
.
Дисперсия 
.
Среднеквадратическое отклонение 
7,23, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7,23 грн., 
2,92, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 2,92%.
Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.
По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график. Точка с координатами (
) =(28,83;9.63) называется центром рассеяния.
По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X линейная.
Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции (из таблицы регрессионная статистика):
.
Так как 
, то линейная связь между X и Y достаточная.
Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью 
.
Параметры 
находим по методу наименьших квадратов.
Так как 
, то зависимость между X и Y прямая: с ростом фондоотдачи уровень рентабельности повышается. Проверим значимость коэффициентов 
.
Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
.
Значимость 
равна 
. Это меньше 5%. Коэффициент 
статистически значим.
.
Значимость равна 
, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент 
статистически значим.
Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу Дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией 
. Остатки, необъясненный разброс 
. Общий разброс данных 
. Коэффициент детерминации 
. Разброс данных объясняется на 50,49% линейной моделью и на 49,51% - случайными ошибками.
Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины: 
и 
. Вычисляем 
и 
. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
. Значимость этого критерия 
, т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель 
считается адекватной с гарантией более 95%.
Найдем прогноз.
Примем за точку прогноза значение фондоотдачи 33 грн.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:
.
Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:
,
где 
- среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; 
;
критическая точка распределения Стьюдента для надежности 
и 
; 
.
Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой 
, где 
, т.е. доверительный интервал для 
составит от 6,0157 до 15,6503 с гарантией 95%., т.е. при фондоотдаче 33 грн. Уровень рентабельности составит от 6,0157% до 15,6503%.
Найдем эластичность.
Для линейной модели 
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фондоотдачи на 1% уровень рентабельности увеличится с 10,83% на 0,876%. Т.е. при увеличении фондоотдачи рентабельность растет.
Задание № 3.2
Обозначим производительность труда в расчете на одного работника (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида 
. Проанализируем фактор X, используя таблицу описательная статистика.
Производительность труда в расчете на одного работника изменяется от 1843 до 3742 грн. Средняя производительность составляет 2535,27 грн. Отклонение от среднего составляет 546,96.
Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.
По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график.
По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X нелинейная.
Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью .
Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку: 
. Получим новые данные U и V. Для этих данных строим линейную модель: 
. Проверим тесноту линейной связи U и V. Найдем коэффициент корреляции (из таблицы Регрессионная статистика): 
.Между U и V достаточная связь.
Параметры 
находим по методу наименьших квадратов.
Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
.
Значимость равна 0,0021, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.
.
Значимость равна0,00083, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.
Получили линейную модель 
.
Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией 
. Остатки, необъясненный разброс 
. Общий разброс данных 
. Коэффициент детерминации 
. Разброс данных объясняется на 59,92% линейной моделью и на 40,08% - случайными ошибками.
Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины: 
и 
. Вычисляем 
и . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
. Значимость этого критерия 
, т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель 
считается адекватной с гарантией более 95%. Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая ей нелинейная модель адекватна. Находим параметры исходной нелинейной модели: 
; 
.
Вид нелинейной функции: 
. Таким образом, можно сказать, что зависимость уровня рентабельности от производительности труда можно описать следующей функцией: .
Найдем прогноз. Примем за точку прогноза значение производительности труда 2500 грн.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: .
.
Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:
,
где - среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; 
;
критическая точка распределения Стьюдента для надежности и ; 
.
Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой , где 
, т.е. доверительный интервал для 
составит от 5,35 до 14,03 с гарантией 95%., т.е. при производительности 2500 грн. Уровень рентабельности составит от 5,35% до 14,03%.
Для нелинейной модели найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой: 
. Совокупность доверительных интервалов для всех X из области прогнозов образует доверительную область.
Найдем эластичность.
Для линейной модели 
тогда 
.
Коэффициент эластичности для точки прогноза: 
Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении производительности на 1% уровень рентабельности увеличится с 9,69% на 1.1%. Т.е. при увеличении производительности труда рентабельность растет.
Задание № 3.3
Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х1, Производительность труда в расчете на одного работника (грн) – X2, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим линейную зависимость показателя от факторов.
Прежде чем строить модель проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным строим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2 равен 0,87. Так как 
, значит X1 и X2 – неколлинеарные факторы. Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью 
.
Параметры 
находим по методу наименьших квадратов.
.
Проверим значимость коэффициентов 
.
Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
.
Значимость 
равна 0,99, т.е 99% больше 5%. Коэффициент 
статистически незначим.
.
Значимость равна 
, т.е. 39,6%, что больше 5%. Коэффициент 
статистически незначим.
.
Значимость равна 
, т.е. 35%, что больше 5%. Коэффициент 
статистически незначим.
Проверим модель на адекватность.
Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией 
. Остатки, необъясненный разброс 
. Общий разброс данных 
. Коэффициент детерминации 
. Разброс данных объясняется на 54,11% линейной моделью и на 45,89% - случайными ошибками.
Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины: 
и 
. Вычисляем 
и 
. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
. Значимость этого критерия 
, т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%.
Модель считается адекватной с гарантией более 95%.
Из полученной модели можно сделать вывод, что уровень рентабельности от фондоотдачи и производительности труда описывается следующей зависимостью: 
Найдем прогноз.
Примем за точку прогноза значение производительности труда 25000 грн, фондоотдачи 33 грн. Получили при данных условиях уровень рентабельности
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:
.
Найдем эластичность по каждому фактору.
Для линейной модели 
, т.е. при производительности труда 2500 грн. и увеличении фондоотдачи с 33 грн. на 1% уровень рентабельности снижается на 0,4736%.
, т.е. при фондоотдаче 33 грн и увеличении производительности труда с 2500 грн. на 1% уровень рентабельности увеличивается на 0,5243%.
Значит для увеличения рентабельности целесообразнее увеличивать производительность труда.