Математический анализ

СОДЕРЖАНИЕ: 1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Множество - совокупность некоторых объектов Элементы множества - объекты составляющие множество

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ : Конструирование из других множеств:

AB = {c: cA cB}, AB = {c: cA cB}, A\ B = {c: cA сB}

U - универсальное множество (фиксированное)

UA; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. A(BC)=(AB) C - ассоциативность; AB=BA - коммутативность; A=A; AU=U

2. A (BC)=(AB) (AC) A (BC)=(AB) (AC) - дистрибутивность; А=А

A” =A - закон исключающий третьего (AB)’=A’B’; (AB)’=A’B’; AA’=

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

= c(AB)’ = cAB = cA cB = c A’ cB’ = cA’B’

= cA’B’ = cA’ cB’ = cA cB = cAB = c(AB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aA; bB = b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) = x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1 : nN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2 : Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.

А1={а₁₁ , а₁₂ , а₁₃ ,...}

А2={а₂₁ , а₂₂ , а₂₃ ,...}

А3={а₃₁ , а₃₂ , а₃₃ ,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а₁₁ - 1; а₂₁ - 2; а₁₂ - 3; а₃₁ - 4; а₂₂ - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a₀ ],а₁ a₂ а₃ ... где а₀ Z а₁ ,а₂ ,а₃ ,... {0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[а_о ],а₁ а₂ а₃ ...а_к (0) = а_о + а₁ /10 + а₂ /100 + ... +а_к /10^k = [а_о ],а₁ а₂ а₃ ...а’_к (9), где а’_к =а_к-1

х=[х_о ],х₁ х₂ х₃ ...х_к ...

у=[у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к ...

х’_к - катое приближение икса с недостатком = [х_о ],х₁ х₂ х₃ ...х_к

у”_к - катое приближение игрека с избытком = [у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к + 1/10^k

х’_к+1 х’_к (х’_к - монотонно растет)

у”_к+1 у”_k (у”_{k -} не возрастает), т.к. у”_к =[у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к + 1/10^к

у”_к+1 = [у_о ],у₁ у₂ у₃ ...у_к у_к+1 + 1/10^к+1

у”_к - у”_к+1 = 1/10^к - у_к+1 + 1/10^к+1 0

10 - у_к+1 - 1 / 10^к+1 0

9 у_к+1

Определение: 1) х у = $ к: х’_к у”_к

2) х = у = х’_к не у”_к у”_к не х’_к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1) х, у либо ху, либо ху, либо х=у

2) ху уz = хz

3) х не х

Док-во (2): ху уz

х’ку”к у’mz”m

n=max{k;m}

х’nх’ку”ку”n у’n у’mz”mz”n

у”nу’n = х’nz”n

Определение: Если АR и х,уR $ аА: хау, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х у х’к у”к х х’к у”к у

х х’к / 2 + х’к / 2 х’к / 2 + у”к / 2 у”к / 2 + у”к / 2 у

Видим: х х’к / 2 + у”к / 2 у, где (х’к / 2 + у”к / 2)Q

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х₁ =[х₁ ], х₁₁ х₁₂ х₁₃ ... |

2«х₂ =[х₂ ], х₂₁ х₂₂ х₂₃ ... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х₃ =[х₃ ], х₃₁ х₃₂ х₃₃ ... |

... | (*)

к«х_к =[х_к ], х_к1 х_к2 х_к3 ... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с₁ с₂ с₃ ...

[с][х₁ ] = сх₁

с₁ {9;х₂₁ } = сх₂

с₂ {9;х₃₂ } = сх₃

...

с_к {9;х_к+1к } = сх_к

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0АR; 2) aA, bB: аb; 3) АB=R, тогда $! сR: aA, bB: асb

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

aA, bB: аb = A ограничено сверху = $ SupA=m = bB: bm = B ограничено снизу =$ InfB=n, mn

Докажем, что m = n:

Пусть mn, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сQ: mcn = cА cВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим асb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’с,с’с (с’с), так как c=n=InfB=m=SupA=по опр-нию. с’с (с’с) найдется такое b(a), что bc’ (ac’)-противоречие с aA, bB: асb

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n₀ : nn₀ x_N y_N z_N и $ Lim x_N =x, $ Lim z_N =z, причем x=z, то $ Lim y_N =y = x=y=z.

Доказательство: nn₀ x_N y_N z_N

Возьмем произвольно Е0, тогда $ n’: nn’ x_N (х-Е,х+Е) $ n”: nn” z_N (х-Е,х+Е) = nmax{n₀ ,n’,n”} y_N (x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) m’: m’m = m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) n’: n’n = n’ не нижняя грань A

Определение : SupA=m называется число, такое что: 1) aA am

2) e0 $ a_E A, такое, что a_E a-e

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) aA an

2) e0 $ a_E A, такое, что a_E a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m₁ =max[10*{a-[m]:aA}]

m₂ =max[100*{a-[m],m₁ :aA}]

...

m_к =max[10^K *{a-[m],m₁ ...m_K-1 :aA}]

[[m],m₁ ...m_K , [m],m₁ ...m_{K + 1} /10^K ]A=[m],m₁ ...m_K + 1/10^K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m₁ ...m_K - точная верхняя грань и что она единственная:

к: [m’_K ,m”_K )A0; к аА: аm”_K

Единственность(от противного):

аА, пусть аm”_K = $ к: а’_K m”_K = аа’_K m”_K - это противоречит ограниченности = am

Точная верхняя грань:

Пусть lm, тогда $ к: m’_K l”_K , но так как к [m’_K ,m”_K ) A0 = $ а[m’_K ,m”_K ) = аl =l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аА}, оно ограничено сверху и не пусто = $ -SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю (Е0 $ n₀ : nn₀ |а_N |Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim a_N =Lim b_N =0, c_N =a_N +b_N , d_N =a_N -b_N . Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности a_N , т.е. $ n’: nn’: |a_N |Е/2. Аналогично $ n”: nn”: |b_N |Е/2. При nmax{n’,n”} выполнены оба неравен ства |a_N |Е/2 |b_N |Е/2 = при любом n max{n’,n”} имеем: |c_N |=|a_N +b_N ||a_N |+|b_N |E/2 + E/2 = E = |d_N |=|a_N -b_N | |a_N |+|b_N |E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть a_N - бм посл-ть, b_N - ограниченная посл-ть z_N =a_N *b_N .

Т.к. b_N - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |b_N |с0

Т.к. a_N - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти a_N , т.е. $ n₀ : nn₀ |a_N |Е/с.Таким образом nn₀ : |z_N |=|a_N *b_N |=|a_N |*|b_N |Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть a_N - бм. Если $ n’: nn’ последовательностьть |b_N |a_N = b_N - бм

Доказательство: a_N - бм = $ n”: nn”: |a_N |Е. Для n=max{n’,n”} |b_N ||a_N |Е

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно большой (бб) если Е0 $ n₀ : nn₀ |а_N |Е)

Теорема: Если a_N - бм, то 1/a_N - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

= a_N -бм=вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n₀ : nn₀ |a_N |1/E =1/|a_N |Е.

= 1/|a_N | - бб последовательность = Е0 $ n₀ : nn₀ 1/|a_N |1/Е = |a_N |Е

Теорема: Пусть a_N - бб. Если $ n’: nn’ последовательность b_N |a_N | = b_N - бб.

Доказательство: a_N - бб = $ n”: nn” |a_N |Е. Для nmax{n’,n”} b_N |a_N |Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a_N если разность a_N -a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim a_N =a, то |a_N -a|Е. Пусть a_N =a_N -a. |a_N |=|a_N -a|Е

Обратное: Пусть a_N =a_N -a, т.к. a_N - бм = |a_N |Е. |a_N |=|a_N -a|Е

Теорема: Если Lim x_N =x, Lim y_N =y, то:

1. $ Lim (x_N +y_N ) и Lim (x_N +y_N )=х+у

2. $ Lim (x_N *y_N ) и Lim (x_N *y_N )=х*у

3. n y_N 0 y0 = $ Lim (x_N /y_N ) и Lim(x_N /y_N )=х/у

Доказательство:

Пусть x_N =х+a_N , a_N - бм; y_N =у+b_N , b_N - бм

1) (x_N +y_N )-(х+у)=a_N +b_N (По теореме о сумме бм: a_N +b_N - бм = (x_N +y_n )-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) x_N *y_N - х*у = х*a_N +у*b_N +a_N *b_N (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: x_N *y_N - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) x_N /y_N - х/у = (у*a_N -х*b_N ) / (у*(у+b_N ))= (у*a_N -х*b_N ) * 1/у * 1/у_N доказательство сводится к доказательству утверждения: если у_n - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/у_N тоже сходящаяся последовательность: Lim у_N =y = по определению предела получаем $ n₀ : nn₀ |уn-у|у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2у_N у/2+у, откуда получаем: |у_N |у_N у/2.|у_N |у/2=1/|у_N |2/у = n: 1/|у_N |max{2/у, 1/у₁ , 1/у₂ ,...1/у_no }

Теорема: Если х_N сходится к х, y_N сходится к у и $ n₀ : nn₀ последовательность х_N у_N , то ху

Доказательство(от противного): Пусть ху. Из опр. предела E0 (в частности Е(у-х)/2): $n’: nn’ |x_N -x|E и $n”: nn” |y_N -y|E. Получаем nmax{n’,n”} все члены посл-ти x_N будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти у_N будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)(у-Е,у+Е)=. И т.к мы предположили, что ху, то nmax{n’,n”}: х_N у_N - противоречие с условием = ху.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nN обозначают а_N .

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а₁ =а; а_N+1 =а_N + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: а_N = n-ый десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности а_N , если e0$ n_0: nn₀ выполняется неравенство |а_N -a|e. Обозначение Lim a_N =a.

Если не существует числа а , являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а ).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а , содержит все члены последовательности а_N начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности а_N .

Определение: Число а назывется пределом посл-ти а_N если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность а_N имеет предел а и предел с , причем а с . Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с |/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности = в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность а_N сходится к числу а . Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)^N , ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности а_N , то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim x_N =x, Lim y_N =y, $n₀ : nn₀ х_N y_N , тогда xy

Доказательство(от противного):

Пусть ху = по определению предела $ n₀ ’: nn₀ ’ |х_N -х|E(берем Е|х-у|/2): $ n₀ ”: nn₀ ” |y_N -y|E. nmax{n₀ ’, n₀ ”}: |х_N -х||х-у|/2 |у_N -у||х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. nmax{n₀ ’, n₀ ”} х_N (х-Е,х+Е) у_N (у-Е,у+Е) учитывая, что ху получаем: nmax{n₀ ’, n₀ ”} х_N y_N - противоречие с условием.

Теорема: Если $n₀ : nn₀ a_N b_N c_N и $ Lim a_N =a, $ Lim c_N =c, причем a=c, то $ Lim b_N =b = a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е0, тогда $ n’: nn’ = c_N (a+E) $ n”: nn” = (a-E)a_N . При nmax{n₀ ,n’,n”} (a-E)a_N b_N c_N (a+E), т.е. nmax{n₀ ,n’,n”}=b_N (a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если n₁ n₂ (n₁ n₂ ): x_N1 x_N2 (x_N1 x_N2 ).

Замечание: Если x_N1 строго больше (меньше) x_N2 , тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть х_N ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={x_N : nN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: $ SupX=x, Е0 $x_E : (х-Е)х_E = $ n₀ x_No (х-E). Из монотон ности имеем: nn₀ x_N x_No (x-E), получили x_N x=SupX, значит nn₀ x_N (x-E,х](x-E,x+E)

10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bR и аb. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хR: ахb (ахb) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хR: ахb (ахb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хR: ах xb - открытый числовой луч

4) Mножество хR: ах хb - числовой луч

5) Mножество хR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть a_N монотонно возрастает, b_N монотонно убывает, n a_N b_N и (b_N -a_N )-бм, тогда $! с: n c[a_N ,b_N ] (с [a_N ,b_N ])

Доказательство:

a_N b_N b₁ a_N монтонно возрастает a_N b₁ = $ Lim a_N =a

a₁ a_N b_N b_N монтонно убывает a₁ b_N = $ Lim b_N =b

a_N a bb_N a_N b_N = ab

Lim (b_N -a_N )=b-a=0(по условию)=a=b

Пусть c=a=b, тогда a_N cb_N

Пусть с не единственное: a_N c’b_N , с’с

a_N cb_N =-b_N -c-a_N = a_N -b_N c’-cb_N -a_N = (По теореме о предельном переходе) = Lim(a_N -b_N )Lim(c’-c)Lim(b_N -a_N ) = (a-b)Lim(c`-c)(b-a) =

0lim(c`-c)0 = 0(c`-c)0 = c’=c = c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n® lim(b_N -a_N )=0, тогда концы промежутков a_N и b_N стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x₀ (a;b). Точка x₀ , называется точкой локалниого min(max), если для всех x(a;b), выполняется

f(x₀ )f(x) (f(x₀ )f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x₀ . Если эта производная f‘(x₀ )0(f‘(x₀ )0), то для значений х, достаточно близких к x₀ справа, будет f(x)f(x₀ ) (f(x)f(x₀ )), а для значений x, достаточно близких слева, будет f(x)f(x₀ ) (f(x)f(x₀ )).

Доказательство: По определению производной,.

Если f‘(x₀ )0, то найдется такая окрестность (x₀ -d,x₀ +d) точки x₀ , в которой (при хx₀ ) (f(x)-f(x₀ ))/(x-x₀ )0. Пусть x₀ xx+d, так что х-х₀ 0 = из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x₀ )0, т.е. f(x)f(x₀ ). Если же x-dxx₀ и х-х₀ 0, то очевидно и f(x)-f(x₀ )0, т.е. f(x)f(x₀ ). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x₀ этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ , то необходимо f‘(x₀ )=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в точке x₀ . Предположение, что f‘(x₀ )0, приводит к противоречию: либо f‘(x₀ )0, и тогда (по лемме) f(x)f(x₀ ), если xx₀ и достаточно близко к x₀ , либо f‘(x₀ )0, и тогда f(x)f(x₀ ), если xx₀ и достаточно близко к x₀ . В обоих случаях f(x₀ ) не может быть наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) = получили противоречие = теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (acb ), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M, так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство mf(x)M в этом случае x дает f(x)=M = f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) Mm. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с между a и b . В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x₀ этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ , то необходимо f‘(x₀ )=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] g(b)g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (acb ), что

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с , что h’(x)=0 = f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)0) получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c (acb ), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где q(0;1). Тогда принимая x₀ =a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x₀ I, x₀ +hI, тогда $ q(0;1): f(x₀ +h)-f(x₀ )=f’(x₀ +qh)*h ([x₀ ;x₀ +h] h0, [x₀₊ h;x₀ ] h0)

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть а_N некоторая числовая посл-ть и k_N -строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®a_N и n®k_N получа ем посл-ть a_Kn -которая наз. подпосл-тью посл-ти a_N =подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim а_N =а, то и Lim а_Kn =а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n₀ : nn₀ |а_N -а|Е, ввиду того что k_N ® существует и такое n’, что при всех nn’ k_N n₀ тогда при тех же значениях n будет верно |а_Kn -а|Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: х_N - ограничена = n: ах_N b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти х_N (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а₁ ,b₁ ] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а₁ ,b₁ ] промежуток [а₂ ,b₂ ] также содержащий бесконечное число членов посл-ти х_N . Продолжая процесс до бесконечности на к -том шаге выделим промежуток [а_K ,b_K ]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти х_N . Длина к -того промежутка равна b_K -а_K = (b-a)/2^K , кроме того она стремится к 0 при к® и а_K а_K+1 b_K b_K+1 . Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: n а_N cb_N .

Теперь построим подпоследовательность:

х_N1 [а₁ ,b₁ ]

х_N2 [а₂ ,b₂ ] n₂ n₁

. . .

х_NK [а_K ,b_K ] n_K n_K-1

ах_Nk b. (Lim a_K =Limb_K =c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim х_Nk =c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

x_N - ограниченная последовательность =n а_N х_N b_N

х_NK ®х, так как х_NK -подпоследовательность = n ах_N b =ахb

х - частичный предел последовательности х_N

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аМb) = $ SupM $ InfM

Верхним пределом посл-ти x_N называют SupMSup{x_N }: пишут Lim x_N

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfMInf{x_N }: пишут lim x_N

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если х_N ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть х_NK : предел которой равен верхнему (нижнему) пределу х_N .

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел х_N

$ х’М: х-1/кх’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’М = $ подпоследовательность х_NS ®х’ = Е0 (в частности Е=1/к) $ s₀ : ss₀ =

х’-1/кх_NS х’+1/к

х -1/к-1/кх’-1/кх_NS х’+1/кх+1/к (т.к.х-1/кх’ и х’х=SupМ)

х-2/кх_NS х+1/к

Берем к=1: х-2х_NS х+1, т.е $ s₀ : ss₀ это неравенство выполняется берем член посл-ти х_NS с номером больше s₀ и нумеруем его х_N1

k=1: х-2/1х_N1 х+1/1

k=2: х-2/2х_N2 х+1/2 n₁ n₂

...

k=k: х-2/кх_NK х+1/к n_K-1 n_K

При к® х_NK ®х

13.Фундаментальные последовательности .

Определение: Последовательность {а_N } - называется фундаментальной, если Е0 $ n₀ : nn₀ и любого рN выполнено неравенство |а_N +р-а_N |Е. Геометрически это означает что Е0 $ n₀ , такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n₀ номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти : Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim x_N =x, тогда Е0 $ n₀ : nn₀ |х_N -х|Е/2. nn₀ , n’n₀ |х_N -х_N’ |=|х_N -х+х-х_N’ ||х_N -х|+|х-х_N’ |Е/2+Е/2Е

Достаточность: Пусть х_N - фундаментальная

1) Докажем что х_N ограничена: Е₁ =1998 $ n₀ : |х_N -х_N’ |Е, nn₀ , n’n₀

nn₀ |х_N -х_N0 |Е₁ х_N0 -1998х_N х_N0 +1998 = х_N - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть х_NK ®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |х_NK -х|Е/2 и одновременно n_к n₀ . Следовательно (из фунд-ти) |х_N -х_NK |Е/2 =

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)⁰ =1 =(1+х)⁰ =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д

16.Последовательности (во всех пределах n ® )

1) Lim= 0 (p0)

- это означает что, мы нашли такое n₀ =: nn₀ ||E

2) Lim=1

x_N = - 1

=1+x_N

n=(1+x_N )ⁿ

x_N ² 2/(n-1)

При n®®0 = x_N ®0 (Лемма о зажатой последовательности)=Lim=Lim (1+x_N )=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)ⁿ и ее предел.

x_N =; y_N =; z_N =y_N +

x_N монотонно возрастает: докажем:

x_N =(1+1/n)ⁿ =1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n² +... 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y_N =y_N z_N 3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)ⁿ 1+nx, x-1) (доказывается по индукции):

x=1/n = (1+1/n)ⁿ 1+n/n=2

Получили: 2 x_N 3 = x_N - ограничена, учитывая что x_N - монотонно возрастает = x_N - сходится и ее пределом является число е .

17. Последовательности (во всех пределах n ® )

1) Lim=1, a0

a) a1:

x_N =x_N+1 == $ Lim x_N =x

x_N+1 =x_N *

x_N =x_N+1 *

x_N =x_N+1 *x_N *(n+1)

Lim x_N =Lim (x_N+1 *x_N *(n+1)) = x = x*x = x = 1

б) 0a1 b=1/a x_N =

Lim=1 b=1/a == 1/= Lim= 1/1 = 1

2) Lim = 0, a1

x_N =x_N+1 =

т.к. Lim= Lim=Lim=1

= $ n₀ : nn₀ xn+1/xn1 = СТ x=limxn

x_N+1 =x_N *

Lim x_N+1 = Lim x_N * = x = x*1/a = x=0

Докажем, что если x_N ®1 = (x_N )^a ®1:

a) n: x_N 1 и a0

(x_N )^[ ^a ^] (x_N )^a (x_N )^[ ^a ^]+1 = по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (x_N )^[ ^a ^] =Lim (x_N )^[ ^a ^]+1 =1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (x_N )^a =1

б) n: 0x_N 1 и a0

y_N =1/x_N = yn1 Lim y_N =lim1/x_N =1/1=1 = (по (а)) Lim (y_N )^a =1 = lim 1/(x_N )^a =1 = Lim (x_N )^a =1

Объединим (а) и (б):

x_N ®1 a0

x_N1 ,x_N2 ,...1 (1)

x_M1 ,x_M2 ,...1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) = конечное число точек x_N .

в) a0

(x_N )^a =1/(x_N )^{- a} a0 = -a0 = по доказанному для a0 получаем, Lim 1/(x_N )^{- a} = 1 = Lim (x_N )^a = 1

1 5. Доказательство формулы e=...

y_N =; z_N =y_N +

1) y_N монотонно растет

2) y_N z_N

3) z_N -y_N ®0

4) z_N монотонно убывает

Доказателство:

z_N -z_N+1 = y_N + - y_N+1 -= +-=

2=y₁ y_N z_N z₁ =3

e = Lim y_N = Lim z_N - по лемме о вложенных промежутках имеем: y_N e z_N = y_N + 1/(n*n!)

Если через q_N обозначить отношение разности e - y_N к числу 1/(n*n!), то можно записать e - y_N = q_N /(n*n!), заменяя y_N его развернутым выражением получаем e = y_N + q_N /(n*n!), q(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e =m/n, mZ, nN

m/n = e = y_N + q_N /(n*n!)

m*(n-1)!= y_N *n! + q_N /n, где (m*(n-1)! y_N *n!)Z, (q_N /n)Z = противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х₀ если Е0 $d0: 0|х-х₀ |d хDf = |f(x)-А|Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х₀ если последовательности х_N ®х₀ , х_N х₀ f(x_N )®А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=(Г)

Е0 $d0: 0|х-х₀ |d хDf = |f(x)-А|Е - определение Коши

х_N ®х₀ , х_N х₀ , т.к. х_N ®х₀ = $ n₀ : nn₀ 0|x_N -x₀ |Е (Е=d) = 0|x_N -x₀ |d = по определению Коши |f(x_N )-А|Е

2) (Г)=(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) = отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е0: d 0 $ x: 0|x-x₀ |d = |f(x)-A|E

Отрицание (Г): $ х_N ®х₀ , х_N х₀ : |f(x_N )-A|E

$ х_N ®х₀ , х_N х₀ = $ n₀ : nn₀ 0|x_N -x₀ |Е (Е=d) = по отрицанию определения Коши |f(x_N )-А|Е

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+), определяется предел при х_N ® следующим образом: limf(х) при х_N ® = Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при х_N ®- = Lim f(1/t) t®-0 и х_N ® = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х₀ ±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х₀

Теорема: Пусть интервал (x₀ -d,x₀ +d)\{x₀ } принадлежит области определения ф-ции для некоторго d0. Тогда Lim f(x) в точке х₀ существует = когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х₀ и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А = Е0 $d 0: -dх-х₀ d = |f(х)-А|Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-окрестность точки x₀ сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x₀ +d) = x попадает в интервал (x₀ -d,x₀ +d) = f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) = правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x₀ -d,0) = x попадает в интервал (x₀ -d,x₀ +d) = f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) = левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х₀ ±|h|) при h®0: Lim(х₀ +|h|) = Lim(х₀ -|h|)=А

Е0 $d’ 0: 0х-х₀ d’ = |f(х)-А|Е

Е0 $d” 0: -d”х-х₀ 0 = |f(х)-А|Е

Получили Е0 $ 0d=min{d’,d”}: -d х-хоd = |f(х)-А|Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ если при х®х₀ Lim f(х)=f(х₀ ). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х₀ ) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х_0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х₀ )|Е выполнено и при х=х₀ = в определении можно снять ограничение хх₀ = получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если Е0 $d0: -d х-хоd = |f(х)-f(а)|Е

Аналогично сняв ограничение хх₀ - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ , если посл-ти х_N ®х₀ , f(x_N )®f(a)

Если при х®х₀ limf(х)f(х₀ ), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х₀ . Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х₀

б) Предел f(х) в точке х₀ не существует

в) f(х) определена в х₀ и limf(х) в точке х₀ существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х₀ )

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х₀ совпадают, то х₀ называют устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х₀ - точка бесконечного разрыва.

Пусть x₀ - точка разрыва, x₀ называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х₀ совпадает со значением f(x₀ ), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х₀ не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х₀ ), то говорят что функция f(x) имеет в точке х₀ разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х₀ .

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х₀ : Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G

2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3) Если G0 и g(x)0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) Е0(в частности Е/2) $d’0: -d’х-х₀ d’ = |f(х)-F|Е $d”0: -d”х-х₀ d” = |g(х)-G|Е

Получили Е0 $ 0d=min{d’,d”}: -dх-х₀ d =-Е/2 - Е/2f(х)-F+g(х)-GЕ/2 + Е/2 = |(f(х)+g(х))-(F+G)|Е

2) Пусть посл-ть х_N ®х₀ (х_N х₀ , x_N X), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n® Lim f(x_N )=F Lim g(x_N )=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n® Lim f(x_N )*g(x_N )=Lim f(x_N )*Lim g(x_N )= F*G = по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть х_N ®х₀ (х_N х₀ , x_N X), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n® Lim f(x_N )=F Lim g(x_N )=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n® Lim f(x_N )/g(x_N )=Lim f(x_N )/Lim g(x_N )=F/G = по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G0 и g(x)0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если хX: f(x)g(x), при х®х₀ A=Lim f(x), B=Lim g(x), то AB

Доказательство(от противного):

Пусть AB = из определения предела следует (берем 0Е|A-B|/2): $d’0: |х-х₀ |d’ = |f(x)-A|E $d”0: |х-х₀ |d” = |g(х)-B|Е.

Получили, что $ 0d=min{d’;d”}: |х-х₀ |d = |f(x)-A||A-B|/2 |g(х)-B||A-B|/2, учитывая что АВ и что (А-Е,А+Е)(В-Е,В+Е)=, получаем что для

х(х₀ -d, х₀ +d) f(x)g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если хX: f(x)g(x)h(x) и при х®х₀ Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

Е0 $d’0: |х-х₀ |d’ = A-Ef(x) $d”0: |х-х₀ |d” = h(х)A+Е.

Получили, что $ 0d=min{d’;d”}: |х-х₀ |d = A-Ef(x) h(x)A+E, так как хX: f(x)g(x)h(x) = A-Ef(x)g(x)h(x)A+E = A-Eg(x)A+E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х ®0.

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x₀ (при х®х₀ )

|Sin x-Sin x₀ |=2*|Sin((x-x₀ )/2)|*|Cos((x+x₀ )/2)| 2*|(x-x₀ )/2|=|x-x₀ | = -|x-x₀ |Sin x-Sin x₀ |x-x₀ | при х®х₀ = -|x-x₀ |®0 |x-x₀ |®0 = (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x₀ )®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x₀ (при х®х₀ )

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x₀ = Sin (П/2 - x₀ ) = Sin y₀

|Sin y-Sin y₀ |=2*|Sin((y-y₀ )/2)|*|Cos((y+y₀ )/2)| 2*|(y-y₀ )/2|=|y-y₀ | = -|y-y₀ |Sin y-Sin y₀ |y-y₀ | при y®y₀ -|y-yo|®0 |y-yo|®0 = (Sin y-Sin y₀ )®0 = производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x₀ )]®0 = (Cos x-Cos x₀ )®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0xП/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R² ) откуда и получаем SinxxTgx, 0xП/2. = Cos x (Sin x)/x 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos xLim (Sin x)/x1 при x®0, 0xП/2. Испльзуем непрерывность Сos1Lim (Sin x)/x1 = Lim (Sin x)/x =1, 0xП/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bR и аb. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хR: ахb (ахb) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хR: ахb (ахb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хR: ах xb - открытый числовой луч

4) Mножество хR: ах хb - числовой луч

5) Mножество хR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х₀ [a,b]: f(х₀ )=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х₀ =(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х₀ )=f(х₀ )-с=0 = f(х₀ )=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а₁ )*g(b₁ )0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль = теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а₂ )*g(b₂ )0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n -го промежутка [a_N ,b_N ] будем иметь: g(a_N )0, g(b_N )0, причем длина его равна b_N -a_N =(b-a)/2ⁿ ®0 при n®. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках = $ точка x₀ из промежутка [a,b], для которой Lim a_N =Lim b_N = x₀ . Покажем, что x₀ -удовлетворяет требованию теоремы: g(a_N )0, g(b_N )0 = переходим к пределам: Lim g(a_N )0, Lim g(b_N )0, используем условие непрерывности: g(x₀ )0 g(x₀ )0 = g(x₀ )=0 = f(х₀ )-c=0 = f(х₀ )=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у₁ ,у₂ У; у₁ уу₂ , тогда существуют х₁ ,х₂ Х: у₁ =f(х₁ ), у₂ =f(х₂ ). Применяя теорему к отрезку [х₁ ,х₂ ]Х (если х₁ х₂ ) и к отрезку

[х₂ ,х₁ ]Х (если х₂ х₁ ) получаем, что у=f(с) при некотором с = У - удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при x®a)

Доказательство:

Пусть x_N : x_N a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность y_N : y_N =g(x_N ) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(y_N )=f(b) (n®) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(x_N ))=Lim f(y_N )=f(b) (n®). Заметим что в посл-ти y_N - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения y_N b в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(y_N )®f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x₀ , а функция f непрерывна в точке у₀ =g(x₀ ), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х₀ .

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х₀ что f(х₀ )=у₀ - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у₀ из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х₀ Х, что f(х₀ )=у₀ . Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х₁ или х₀ , то соответственно и f(х₁ ) или f(х₀ ). Сопоставля именно это значение х₀ произвольно взятому у₀ из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f = у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’х”, тогда из возрастания f следует что у’у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у₀ ) при у®у₀ . Пусть f`(у₀ )=х₀ . Возьмем произвольно Е0. Имеем уУ: |f`(у)-f`(у₀ )|Е = х₀ -Еf`(у)х₀ +Е = f(х₀ -Е)уf(х₀ +Е) = f(х₀ -Е)-у₀ у-у₀ f(х₀ +Е)-у₀ = -d’у-у₀ d”, где d’=у₀ -f(х₀ -Е)у₀ -f(х₀ )=0, d”=f(х₀ +Е)-у₀ f(х₀ )-у₀ =0,

полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у₀ |d = -d’у-у₀ d” = |f`(у)-f`(у₀ )|Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция х^M/N - где mZ, nN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций х^M и х^1/M = ф-ция х^M/N - непрерывна при х0. Если х=0, то х^M/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию х^N , nN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.

n=0: х^N тождественно равно константе = х^N - непрерывна х^-N =1/х^N , учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х0

2) х^N (nN) - тоже непрерывная функция

3) х^-N =1/х^N - суперпозиция ф-ий 1/х и х^N при х0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х^-N - непрерывная при х0, т.о. получили что х^M mZ - непрерывная ф-ция при х0. При х0ф-ция х^N nN строго монотонно возрастает и ф-ция х^N непрерывна=$ функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m0), очевидно этой функцией будет функция х^1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =имеют непрерывные обратные функции = обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида а^X , а0, а1 xQ.

Свойства: для mZ nN

1) (а^M )^1/N = (а^1/N )^M

(а^M )^1/N =(((а^1/N )^N )^M )^1/N = ((а^1/N )^N*M )^1/N = (((а^1/N )^M )^N )^1/N = (а^1/N )^M

2) (а^M )^1/N =b = а^M =b^N

3) (а^M*K )^1/N*K =(а^M )^1/N

(а^M*K )^1/N*K =b = а^M*K =b^N*K = а^M =b^N = (а^M )^1/N =b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: a^M/N =(а^M )^1/N =(а^1/N )^M ,a^-M/N =1/a^M/N , а⁰ =1

Св-ва: x,yQ

1) a^X * a^Y = a^X+Y

a^X * a^Y =b; x=m/n, y=-k/n = a^M/N * 1/a^K/N = b = a^M/N = b * a^K/N = a^M = b^N * a^K = a^M-K = b^N = a^(M-K)/N = b = a^X+Y = b

2) a^X /a^Y = a^X-Y

3) (a^X )^Y =a^X*Y

(a^X )^Y =b; x=m/n, y=k/s = (a^M/N )^K/S =b = (a^M/N )^K =b^S = (a^1/N )^M*K =b^S = (a^M*K )^1/N =b^S = a^M*K =b^S*N = a^(M*K)/(S*N) =b = a^X*Y =b

4) xy = a^X a^Y (a1) - монотонность

z=y-x0; a^Y =a^Z+X = a^Y -a^X =a^Z+X -a^X =a^X *a^Z -a^X =a^X *(a^Z -1) = если a^Z 1 при z0, то a^X a^Y .

z=m/n = a^Z =(a^1/N )^M = a^1/N 1 = (a^1/N )^M 1 = a^X *(a^Z -1)1, (a1 n0)

5) при x®0 a^X ®1 (xR)

Т.к. Lim a^1/N =1 (n®), очевидно, что и Lim a^-1/N =Lim1/a^1/N =1 (n®). Поэтому Е0 $n₀ : nn₀ 1-Ea^-1/N a^1/N 1+E, а1. Если теперь |x|1/n₀ , то

a^-1/N a^X a^1/N = 1-Ea^X 1+E. = Lim a^X =1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X , а0, а1 xR.

Свойства: x,yR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_N ®x, y_N ®y = a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn = Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn = Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn = a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X )^Y =a^X*Y

x_N ®x, y_K ®y = (a^Xn )^Yk = a^Xn*Yk = (n®) (a^X )^Yk =a^X*Yk =(k®) (a^X )^Y =a^X*Y

4) xy = a^X a^Y (a1) - монотонность.

xx’ x,x’R; x_N ®x x’_N ®x’ x_N ,x’_N Q = x_N x’_N = a^Xn a^X’n = (n®) a^X a^X’ - монотонна

x-x`q0 = a^X-X’ a^Q 1 = a^X-X’ 1 = aXa^X’ - строго монотонна

5) при x n®0 a^X ®1

Т.к. Lim a^1/N =1 (n®), очевидно, что и Lim a^-1/N =Lim1/a^1/N =1 (n®). Поэтому Е0 $n₀ : nn₀ 1-Ea^-1/N a^1/N 1+E, а1. Если теперь |x|1/n₀ , то

a^-1/N a^X a^1/N = 1-Ea^X 1+E. = Lim a^X =1 (при x®0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X =1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 = a^X -a^Xo = a^Xo (a^X-Xo - 1) при х®x₀ x-x₀ n®0 = a^X -x₀ n®1 = при х®x₀ lim(a^X - a^Xo )=

Lim a^Xo *Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 = a^X - непрерывна

33.Предел функции (1+x)^1/X при x ® 0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)^1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)ⁿ = e при n®

Лемма: Пусть n_K ® n_K N Тогда (1+1/n_K )^Nk ®e

Доказательство:

E0 $k₀ : nn₀ 0e-(1+1/n)ⁿ E = n_K ®$ k₀ : kk₀ = n_K n₀ = 0e-(1+1/n_k )^Nk E

Lim (1+x_K )^1/Xk при x®0+:

1/x_K =z_K +y_K , z_K N = 0y_K 1 = (1+1/z_K+1 )^Zk (1+x_K )^1/Xk (1+1/z_K )^Zk+1 =(1+1/z_K )^Zk *(1+1/z_K )=(1+1/z_K+1 )^Zk =(1+1/z_K+1 )^Zk+1 )/(1+1/z_K+1 ) = (1+1/z_K+1 )^Zk+1 /(1+1/z_K+1 ) (1+x_K )^1/Xk (1+1/z_K )^Zk *(1+1/z_K ) k® учитывая, что: (1+1/z_K )®1 (1+1/z_K+1 )®1 = получаем:

eLim (1+x_K )^1/Xk e = Lim (1+x_K )^1/Xk =e = Lim (1+x)^1/X =e при x®0+

Lim (1+x_K )^1/Xk при x®0-:

y_K =-x_K ®0+ = доказываем аналогично предыдущему = получаем Lim (1+x)^1/X =e при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают = Lim (1+x)^1/X =e при x®0

2) n® lim (1+x/n)^N = (lim (1+x/n)^N/X )^X = e^X

3) x®x^a aR - непрерывна

x^a =(e^{Ln x} )^a =e^a ^{*Ln x}

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®^a ^{*Ln x} = x®e^a ^{*Ln x}

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)^1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim Log_A (1+x)^1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (e^X -1)/x = {e^X -1=t} = Lim t/Ln(1+t) = (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (a^X -1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)^a -1)/x = Lim ([e^a *^{Ln (1+x)} -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):x[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=, иначе mR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (с_N ), такую что Lim c_N =m. Т.к. nN: c_N m то $ x_N [a,b]: c_N f(x_N )m. x_N - ограничена = $ x_Kn ®a. Т.к. ax_Кn b = a[a,b].

Для mR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем c_Kn ®m.

Для m=+ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем c_Kn ®m. Переходя к пределу в нер-вах c_Kn f(x_Kn )m, получим

Lim f(x_Kn )=b n®, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x_Kn )=f(a) = f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):x[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: Е0 $d0: х’,х”: |х’-х”|d = |f(x’)-f(x”)|Е = функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то здесь d не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е0 d 0: $ х’,х”: |х’-х”|d = |f(x’)-f(x”)|Е0

Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|d, x’,x”I}, IDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf(d) = +; Sin x - Wf(d) = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: Е0 $ d0: Wf(d)Е Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=$Е0 d0 $х’,х”: |х’-х”|d=|f(x’)-f(x”)|Е. Возьмем d =1/к, кN $х_K , х’_K [a,b]: |х_K -х’_K |1/к |f(x_K )-f(x’_K )|E

Т.к х_K - ограничена = из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть x_Ks сходящуюся к х₀ . Получаем: |х_Ks -х’_Ks |1/к

х_Ks -1/kх’_Ks х_Ks -1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’_Ks ®х₀ k_S ® |f(x_Ks )-f(x’_Ks )|E к_S ® = 0E - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x₀ к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим x₀ и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при х®x₀ , если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x₀ ,f(x₀ ) = уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x₀ )+f(x₀ ). Необходимо только опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число Dх0 так, чтобы x₀ +DхХ. Рассмотрим секущую М_О М, М_О (x₀ ,f(x₀ )), М(x₀ +Dх,f(x₀ +Dх)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x₀ )+f(x₀ ), где k=f((x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)= при Dх®0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x₀ ))+x₀ перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x₀ (Lim x=Lim x₀ Dх®0 = x = Lim x₀ )

Определение: Производным значением функции f в точке х₀ называется число f’(х₀ )=Lim (f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/ Dх x®x₀ , если этот предел существует.

Геометрически f’(х₀ ) - это наклон невертикальной касательной в точке (x₀ ,f(x₀ )). Уравнение касательной y=f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ ) . Если Lim (f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх=Dх®0, то пишут f`(x₀ )= касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x₀ . f`(x₀ )=lim(f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх x®x₀ =(f(x₀ +Dх)-f(x₀ ))/Dх=f’(x₀ )+a(x), a(x)®0 при x®x₀ . f(x₀ +Dх)-f(x₀ )=f`(x₀ )*Dх+a(x)*Dх учитывая, что x₀ +Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x₀ ) получим f(x)=f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ ). Необхо димо заметить, что o(x-x₀ ) уменьшается быстрее чем (x-x₀ ) при x®x₀ (т.к. o(x-x₀ )/(x-x₀ )®0 при x®x₀ )

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x₀ если $сR: в некоторой окрестности точки x₀ f(x)=С(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ )

Теорема: Функция диффференцируема в точке x₀ = $ f’(x₀ )

Доказательство:

=: f(x)=f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ ) = f`(x₀ )=C

=: f(x)=C(x-x₀ )+f(x₀ )+o(x-x₀ ) = (f(x)-f(x₀ ))/(x-x₀ )=C+o(x-x₀ )/(x-x₀ )=C+a(x), a(x)®0 при x®x₀ .

Переходим к пределу при x®x₀ = Lim (f(x)-f(x₀ ))/(x-x₀ )=C+0=C = Слева записано производное значение ф-ции f = по определению C=f`(x₀ )

Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x₀ , то линейная функция Dх®f’(x₀ )*Dх называется дифференциалом функции f в точке x₀ и

обозначается df(x₀ ). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x₀ ):Dх®f`(x₀ )*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x₀ )=f’(x₀ )*dх = df(x₀ )/dх: Dх®f`(x₀ )*Dх/Dх=f’(x₀ ) при Dх0. В силу этого пишут также f’(x₀ )=df(x₀ )/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x₀ , то f непрерывна в точке x₀ .

Докозательство: f(x)=f(x₀ )+f’(x₀ )*(x-x₀ )+o(x-x₀ )®f(x₀ ) при x®x₀ = f непрерывна в точке x₀ .

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x₀ : это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x₀ . Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x₀ )*(x-x₀ )+f(x₀ )

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x₀ , тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x₀ )0) дифференцируемы в точке x₀ и:

1) (f+g)’(x₀ )=f’(x₀ )+g’(x₀ )

2) (f*g)’(x₀ )=f’(x₀ )*g(x₀ )+f(x₀ )*g’(x₀ )

3) (f/g)’(x₀ )=(f’(x₀ )*g(x₀ )-f(x₀ )*g’(x₀ ))/g(x₀ )²

Доказательство:

1) Df(x₀ )=f(x₀ +Dx)-f(x₀ )

Dg(x₀ )=g(x₀ +Dx)-g(x₀ )

D(f+g)(x₀ )=Df(x₀ )+Dg(x₀ )=f(x₀ +Dx)-f(x₀ )+g(x₀ +Dx)-g(x₀ )

D(f+g)(x₀ )/Dx=(f(x₀ +Dx)-f(x₀ )+g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))/Dx=(f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx+(g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))/Dx®f’(x₀ )+g’(x₀ ) при Dx®0

2)D(f*g)(x₀ )=f(x₀ +Dx)*g(x₀ +Dx)-f(x₀ )*g(x₀ )=(f(x₀ )+Df(x₀ ))*(g(x₀ )+D(x₀ ))-f(x₀ )*g(x₀ )=g(x₀ )*Df(x₀ )+f(x₀ )*Dg(x₀ )+Df(x₀ )*Dg(x₀ ) D(f*g)(x₀ )/Dx=g(x₀ )*(Df(x₀ )/Dx)+f(x₀ )*(Dg(x₀ )/Dx)+(Df(x₀ )/Dx)*(Dg(x₀ )/Dx)*Dx®f’(x₀ )*g(x₀ )+f(x₀ )*g’(x₀ ) при Dx®0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x₀ = Ф-ция g - непрерывна в точке x₀ = Е0 (Е=|g(x₀ )|/2) $d0: |Dx| d = |g(x₀ +Dx)-g(x₀ )||g(x₀ )|/2.

g(x₀ )-|g(x₀ )|/2g(x₀ +Dx)g(x₀ )+|g(x₀ )|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|d) видим что g(x₀ +Dx)0.

Рассмотрим разность (1/g(x₀ +Dx)-1/g(x₀ ))/ Dx = -(g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))/Dx*g(x₀ +Dx)*g(x₀ ) ® -g’(x₀ )/g(x₀ )² при Dx®0

(f/g)’(x₀ )=(f*1/g)’(x₀ ) = (2) = f’(x₀ )*1/g(x₀ )+f(x₀ )*(1/g)’(x₀ )=f`(x₀ )*1/g(x₀ )+f(x₀ )*(-g’(x₀ )/g(x₀ )² )=(f’(x₀ )*g(x₀ )-f(x₀ )*g’(x₀ ))/g(x₀ )²

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x₀ ) = Cos (x₀ )

2) Cos’(x₀ ) = -Sin (x₀ )

Доказательство:

1) Df/Dx=(Sin(x₀ +Dx)-Sin(x₀ ))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x₀ +Dx/2) ® Сos x₀ при Dx®0

2) Dg/Dx=(Cos(x₀ +Dx)-cos(x₀ ))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x₀ +Dx/2) ® -Sin x₀ при Dx®0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x₀ , а ф-ция f диф-ма в точке y₀ =g(x₀ ), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x₀ и h’(x₀ )=f`(y₀ )*g’(x₀ )

Доказательство:

Dy=y-y₀ , Dx=x-x₀ , Df(y₀ )=f’(y₀ )*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x₀ +Dx)

Dh(x₀ )=f(g(x₀ +Dx))-f(g(x₀ ))=f(y)-f(y₀ )=f’(y₀ )*Dy+o(Dy)=f’(y₀ )*(g(x₀ +Dx)-g(x₀ ))+o(Dg)==f’(y₀ )*(g’(x₀ )*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y₀ )*g’(x₀ )*Dx+f’(y₀ )*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x₀ )/Dx=f’(y₀ )*g’(x₀ )+r, r=f`(y₀ )*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y₀ )*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y₀ )*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y₀ )*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y₀ )*0 + 0*g’(y₀ ) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

Производная:

1) x^a =a*x^a ^-1

Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)^a -x^a )/Dx = Lim x^a-1 * ((1+Dx/x)^a-1 )/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)^a -1)/x=a, получим Dx®0

Lim x^a-1 *Lim((1+Dx/x)^a-1 )/Dx/x = a*x^a-1

2) (a^X )’=a^X *Ln a (x®a^X )’=(x®e^X *Ln a)’

x®e^X *Ln a - композиция функций x®е^X и x®x*Ln a обе непрерывны на R = (x®a^X )’=(x®е^X *Ln a)’=(x®е^X *Ln a)’*(x®x*Ln a)’=a^X *Ln a

Д-во : (e^X )’=e^X

Lim(Dy/Dx)=Lim(e^X+ ^D ^X -e^X )/Dx=Lime^X *(e^D ^X -1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(e^X -1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=e^X

3) (Log_A (x))’=1/x*Ln a

Lim(Dy/Dx) = Lim (Log_A (x+Dx) - Log_A (x))/Dx = Lim 1/x*Log_A (1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim Log_A (1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim Log_A (1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y₀ , то g’(y₀ )=1/f’(x₀ ), где y₀ =f(x₀ )

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x₀ ))=g’(f(x₀ ))*f’(x₀ )=1, g’(f(x₀ ))=g(y₀ )=1/f’(x₀ )

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x₀ (a,b) и f’(x₀ )0, то g диф-ма в точке y₀ =f(x₀ ) и g’(y₀ )=1/f’(x₀ )

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y₀ : y_N ®y₀ , y_N y₀ = $ посл-ть x_N : x_N =g(y_N ), f(x_N )=y_N

g(y_N )-g(y₀ )/y_N -y_O = x_N -x_O /f(y_N )-f(y_O ) = 1/f(y_N )-f(y_O )/x_N -x_O ® 1/f’(xo) при n®, получили при x_N ®x_O g(y_N )-g(y_O )/y_N -y_O ®1/f’(x_O ) = g’(у_O )=1/f’(x_O )

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin² y)^1/2 = 1/(1-x² )^1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x² )^1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x²

4) x®Arcctg’x= -1/1+x²

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x_O , то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x_O или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x_O и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через f^N (x_O ) - производную порядка n функции f в точке x_O и при n=0 считаем f⁰ (x_O )=f(x_O ).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x_O (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f^N-1 (x) непрерывна в точке x_O , а при n2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x_O .

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке x_O называют функцию dх®f^N (x)*dх и обозначают d^N f(x). Таким образом d^N f(x):dх®f^N (x)dx^N .

Так как f^N (x)dх^N :dх®f^N (x)dx^N , то d^N f(x)=f^N (x)dхN. В силу этого соотношения производную f^N (x) обозначают также d^N f(x)/dх^N

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх = dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d² y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х² )dx = d² y=у”(х² )dx² x+y’(x)*d² x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д² y=у’(х² )*dx² x = неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно = докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u⁰ *v^N+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С⁰ _N =1. Произведение u^N+1 *v⁰ входит только в первую сумму с коэффициентом С^N _N =1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид u^K *v^N+1-K . Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =

получаем f^N+1 (x)=u⁰ *v^N+1 ++ u^N+1 *v⁰ =

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть xb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0q1 = т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+q(x-a))=0 = f(x)=f(a)=Const для все х(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) = f’(x)0(f’(x)0) в (a;b).

2) Если f’(x)0(f’(x)0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), с(x’,x”). По условию имеем f’(x)0(f’(x) 0) в (a;b) = f’(c)0(f’(c) 0) = f(x”)f(x’)( f(x”)f(x’)) = f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).

Следствие: Если x_O -критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки x_O имеет разные знаки, то x_O -экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)®x_O ®(-) = локальный min, (-)®x_O ®(+) = локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло = если А,ВМ [А,В]М

[А,В]М = [А,В]={А+t(В-А):t[0,1]} = А(1-t)+tВМ

[А,В]М = А,ВМ; l₁ =1-t, l₂ =t = l₁ +l₂ =1 l₁ ,l₂ 0 = l₁ А+l₂ ВМ

Рассмотрим точки: А₁ ,А₂ ,...А_N М l₁ ,l₂ 0 S(i=1,n): l_I = 1

Докажем что S(i=1,n): l_I *А_I М

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно = докажем для n:

а) l_N =1 = приравниваем l₁ =...=l_N-1 =0 = верно

б) l_N 1 l₁ *А₁ +...+ l_N-1 *А_N-1 + l_N *А_N = (1-l_N )((l₁ /1-l_N )*А₁ +...+(l_N-1 /1-l_N )*А_N-1 ) + l_N *А_N = (1-l_N )*B + l_N *А_N

BМ - по индуктивному предположению А_N М - по условию=(1-l_N )*B + l_N *А_N М Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хDf}, Надграфик UPf={(x,y):yf(x)}

Определение: Функция f выпукла = UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: А_I М l_I 0 S(i=1,n): l_I =1 = S(i=1,n): l_I *А_I М, x_I 0, f(x_I )y_I = S(i=1,n): l_I *А_I = (Sl_I *x_I ;Sl_I *y_I ) = f(Sl_I *x_I )Sl_I *y_I

Неравенство Йенсена: А_I М l_I 0 Sl_I =1f(Sl_I *x_I )Sl_I *f(x_I )

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) x’,x_O ,x”(a;b) x’x_O x” =

(f(x_O )-f(x’))/(x_O -x’)(f(x”)-f(x_O ))/(x”-x_O ). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=” AB: k=(y-f(x’))/(x_O -x’)(f(x_O )-f(x’))/(x_O -x’) = yf(x_O ); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-x_O )(f(x”)-f(x_O ))/(x”-x_O ) =yf(x_O )

(f(x_O )-f(x’))/(x_O -x’)(f(x”)-f(x_O ))/(x”-x_O )

“=”

Скачать архив с текстом документа