Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

СОДЕРЖАНИЕ: Функциональные характеристики системы массового обслуживания в сфере автомобильного транспорта, ее структура и основные элементы. Количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания, порядок и главные этапы их определения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Математическое моделирование работы систем массового обслуживания

Задание

Вариант 1. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 минут.

На основе расчета функциональных характеристик СМО определить:

– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку;

– процент времени, когда используется только один из насосов;

– процент времени использования двух насосов;

– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди;

– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции.

массовый обслуживание транспорт автомобильный

Функциональные характеристики СМО

Характеристика	Описание	Значение
l	интенсивность входного потока заявок	20
m	интенсивность обслуживания	10
	относительная нагрузка на систему	2,00000
_эфф	эффективная интенсивность поступления заявок в систему	13,3333
L_q	среднее число заявок в очереди	2,00000
L_s	среднее число находящихся в системе заявок	3,73333
W_q	средняя продолжительность пребывания заявки в очереди	0,11538
W_s	средняя продолжительность пребывания заявки в системе	0,21538
p₀	вероятность состояния S₀	0,06667
p₁	вероятность состояния S₁	0,13333
P₂	вероятность состояния S₂	0,13333
P₃	вероятность состояния S₃	0,13333
P₄	вероятность состояния S₄	0,13333
P₅	вероятность состояния S₅	0,13333
P₆	вероятность состояния S₆	0,13333
P₇	вероятность состояния S₇	0,13333

Интерпретация полученных результатов.

– процент автомобилей, которые будут искать другую заправку = p_c ₊ _m = p₇ = 13,33%

– процент времени, когда используется только один из насосов = p₁ = 13,33%

– процент времени использования двух насосов = p₂ + … +p₇ = 80%

– вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди = 1 – p₇ = 86,67%

– среднее время пребывания автомобиля на газозаправочной станции = W_s = 0,21538 ч. = 13 минут

Контрольные вопросы:

1. Из каких основных компонентов состоит СМО?

Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, которые удовлетворяются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания (сервисов).

Основными компонентами СМО являются два потока событий:

1) входной поток заявок (требований на обслуживание), характеризующийся своей интенсивностью l (средним количеством клиентов, поступающих в систему в единицу времени) или средним интервалом времени между их последовательными поступлениями t_пост ;

2) выходной поток заявок, описываемый интенсивностью обслуживания m (средним количеством обслуженных заявок в единицу времени) или средней продолжительностью обслуживания t_обсл .

Для СМО разомкнутого типа, у которых входной и выходной потоки подчинены распределению Пуассона, в качестве исходных данных для расчета функциональных характеристик используются:

· интенсивность входного потока заявок l;

· интенсивность обслуживания m;

· количеством параллельно работающих однородных сервисов (обслуживающих каналов) с;

· максимальная емкость очереди m;

· мощность источника заявок f.

2. Какие бывают СМО?

Состоянием системы называется число находящихся в данный момент в СМО заявок n. Поступающие заявки могут сразу попасть на обслуживание (если сервис свободен) или ожидать в очереди.

Если максимально допустимое число мест в очереди m конечно, то в СМО могут происходить отказы в предоставлении сервиса (система с отказами). Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми или при m = 0 (система без очереди) все каналы обслуживания оказались занятыми. В СМО с неограниченной длиной очереди (m = ) пришедшая заявка при невозможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания при любой длине очереди и продолжительности времени ожидания.

По способу отбора из очереди заявок для обслуживания различают следующие виды дисциплины очереди:

1) первым пришел – первым обслуживается (FCFS);

2) последним пришел – первым обслуживается (LCFS);

3) случайный отбор заявок (SIRO);

4) ограничено время пребывания заявки в очереди;

5) с приоритетами, при которой некоторые находящиеся в очереди заявки имеют право первоочередного обслуживания (например, срочные работы выполняются раньше обычных).

По числу каналов обслуживания c различают одноканальные и многоканальные СМО. Многоканальные СМО разделяют:

· по характеристикам каналов – на однородные и неоднородные СМО;

· по расположению каналов – на СМО с параллельным и последовательным расположением сервисов.

В некоторых СМО интенсивность входного потока может зависеть от числа заявок, уже находящихся в системе (СМО замкнутого типа). В такой системе конечность очереди является следствием ограниченности мощности источника, создающего заявки на обслуживание. В СМО с источником бесконечной мощности (СМО разомкнутого типа) интенсивность входного потока практически не зависит от состояния системы.

3. Как определить основные функциональные характеристики СМО?

Наиболее употребляемыми функциональными характеристиками стационарных СМО являются следующие:

· p_отк – вероятность отказа в обслуживании (средняя доля заявок, получивших отказ в обслуживании):

– для СМО с отказами

;

– для СМО с неограниченной очередью

p_отк = 0;

· q – относительная пропускная способность системы (средняя доля обслуженных заявок; вероятность обслуживания)

q = 1 – p_отк ;

· – относительная нагрузка на систему

r = l / m;

· _эфф – эффективная интенсивность поступления заявок в систему (абсолютная пропускная способность системы; среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени)

· L_q – среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди):

– для СМО без очереди

L_q = 0;

– для СМО с ограниченной очередью