Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
СОДЕРЖАНИЕ: Некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотоннымАнтон Никифоров
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума 
и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
 |
(1) |
Если последовательность {
} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что 
=f( ), 
=f( ), …, =f( 
) или 
. Заметим, что производная порядка n функции 
(n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна 
.
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
 |
(2) |
называются неподвижными.
Величина 
(так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если 
1.
n-цикл, содержащий в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла =0.
Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра 
, при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным 
, удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг:
 |
(3) |
Данное соотношение встречается также и в следующей записи:
 ,n1 ([1], стр. 49), |
(3.1) |
Рис.1 |
Или в таком виде:
Расстояния
Константы Фейгенбаума имеют значения |
,(см. [2], p.3), 
от точки 
, n1 
, 
и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как 
или e. Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. волшебные числа 
и 
) будет тем же самым.
Алгоритм
Интересно, что точки 
также можно использовать для расчета 
, этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
| (a) | Например, для цикла периода два: |
 , где  |
|
 , таким образом |
|
 |
(5.1) |
| (б) | Цикл периода четыре: |
 , где  |
|
 , таким образом |
|
 |
(5.2) |
Для произвольных же -циклов справедливо выражение:
 |
(6) |
Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра 
, например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона:
 |
(6.1) |
Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию 
. Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз.
НА ВХОД ПОДАЕМ:
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения: 
Итерируем производную функции начиная с 
Начальные приближения двух значений параметра R: 
, 
Разумное начальное приближение для постоянной : 
НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:
А весь процесс может быть описан следующими выражениями:
, n=2,3,4,…
, i=0,1,2,…
Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.
ПРИМЕР 1: 
При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как 
. Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать: 
ПРИМЕР 2: 
ПРИМЕР 3: 
Программу расчета константы вы можете найти здесь. Её легко модицифировать для расчета постоянной , что предоставляется проделать читателю. Результат расчета в зависимости от шага i приводится ниже.
| i | |
| 1 | 6.9032539091... |
| 2 | 4.7443094689... |
| 3 | 4.6744478277... |
| 4 | 4.6707911502... |
| 5 | 4.6694616483... |
| 6 | 4.6692658098... |
| ... | ... |
| 11 | 4.66920173800930... |
Список литературы
[1] Г.Шустер, Детерминированный хаос. Введение, М:Мир, 1988
[2] K.Briggs Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems, PhD thesis, 1997
[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин, Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм, УМН, т.39, вып.3(237), 1984
[4] М.Фейгенбаум, Универсальность в поведении нелинейных систем, УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983
[5] Н.Н.Калиткин, Численные методы, М:Наука, 1978
[6] Метод Ньютона