Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці
СОДЕРЖАНИЕ: МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ кафедра інформатики КОНТРОЛЬНА Р БОТА ПО КУРСУ: Чисельні методи на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
кафедра інформатики
КОНТРОЛЬНА Р О БОТА
ПО КУРСУ: Чисельні методи
на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»
Зміст
Постановка задачі
Вступ
1 Теоретична частина
2 Програмна реалізація
Список використаної літератури
Постановка задачі
Використовуючи метод кінцевих різниць , розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння
Вступ
Нехай потрібно чисельно розв’язати задачу Коші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розв’язок диференціального рівняння y
=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x
)=y.Чисельне розв’язання задачі полягає в побудові таблиці наближених значень y
,y
,y
,...,y
-розв’язку рівняння y=
(x ) у точках x,x,x,...,x - вузлах сітки .
 |
y
yn *
y3 *
y2 *
y1 *
y0 *
O x0 x1 x2 x3 xn x
На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розв’язку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x
=x + ih (i=1,2,..,n) , де h - крок сітки
( h 0 ) .
1 Теоретич н а част ина
Методи Рунге-Кутта
Різні представники цієї категорії методів потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.
Якщо 
неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою наступних пяти співвідношень:
1 
2 
3 
(
);
4 
5 
Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.
Одним з найбільш простих і досить ефективних методів
оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді
.
За формулою Рунге
Таким чином, із точністю до 
(величина більш високого порядку малості) при h0 похибка методу має вигляд:
де yi
– наближене значення, отримане в точці 
з кроком h; y2i
– із кроком h/2; p - порядок методу; y(x2i
) - точний розв’язок задачі.
Метод прогнозу і корекц ії
Підправивши схему Эйлера , одержимо схему прогнозу
,
де 
наближене значення 
. Цю формулу використовувати не можна ,оскільки схема прогнозу нестійка . Тому використовує-мо схему корекції
Оцінюючи похибки прогнозу і корекції, одержимо
- похибка корекції,
- похибка прогнозу .
Істинне значення лежить між прогнозом і корекцією .На будь-якому кроці можна оцінити точність рішення . При заданому 
=0,0000001, наприклад, 
.
Віднімаючи з співвідношення , маємо
.
Уточнюємо розв’язання, виходячи з формули 
:
Ця формула завершає схеми прогнозу і корекції .
Метод кінцевих різниць для розв ’ яза ння лінійних крайових задач
Маємо відрізок [a,b]. Потрібно знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
,
що задовольняє такі крайові умови:
Виберемо рівномірну сітку: x = a + ih, i = 0,1,2,…,n... Нехай
Апроксимуємо 
і 
у кожному внутрішньому вузлі (i = 1, 2, …, n-1) центральними різницями 
, 
і на кінцях відрізка – односторонніми скінченнорізницевими апроксимаціями
, 
.
Використовуючи ці формули, одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:
Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.
Введемо позначення:
Перепишемо систему з урахуванням введених позначень:
Маємо різницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутій матричній формі:
Таким чином, завдання зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.
2 Програмна реалізація
Реалізація пакетом Maple
ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;
- dsolve[interactive]( ss );
Список використаної літератури
1. Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.
2. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. “Численные методы”, Москва, 1987г.
3. Мусіяка В. Г. Основи чисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл.
4. Л. Д. Назаренко Чисельні методи. Дистанційний курс.