Многомерные и многосвязные системы

СОДЕРЖАНИЕ: Контрольная работа «Многомерные и многосвязные системы» Задание Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить: 1. Передаточную функцию

Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»

Задание

Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию ;

2. Частотную передаточную функцию ;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику ;

5. Переходную характеристику ;

6. ЛАЧХ ;

7. ФЧХ .

Составить структурную схему системы.

Дано:

;

;

.

Решение:

1. Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

,

.

Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:

; (1)

, (2)

где

; ;

– лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов.

Преобразуем уравнение (1):


Выносим за скобки:

где

– единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:

Откуда получаем:

.

Подставляем в уравнение (2):

Получаем:

Выражение называют передаточной функцией системы.

Находим её:


Находим обратную матрицу:

Подставляем:

.

2. Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :

,

получаем:

.

Выделим действительную и мнимую части:

,

для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель:


;

;

;

.

3. Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Расчёт годографа

0 2,8750000 0,0000000 10 -0,0512719 0,4570747 200 -0,00018 0,020008
1 2,7230769 0,9846154 20 -0,0163435 0,2074170 300 -0,000078 0,013336
2 1,9500000 1,9000000 30 -0,0075500 0,1355448 400 -0,000044 0,010001
3 0,8344828 1,9862069 40 -0,0043030 0,1009350 500 -0,000028 0,008001
4 0,2250000 1,5500000 50 -0,0027705 0,0804792 600 -0,000019 0,006667
5 0,0130624 1,1611030 60 -0,0019302 0,0669441 700 -0,000014 0,005715
6 -0,0500000 0,9000000 70 -0,0014209 0,0573176 800 -0,000019 0,005000
7 -0,0645030 0,7269777 80 -0,0010893 0,0501171 900 -0,000009 0,004445
8 -0,0634615 0,6076923 90 -0,0008614 0,0445267 1000 -0,000007 0,004000
9 -0,0578113 0,5216604 100 -0,0006982 0,0400600 2000 -0,000002 0,002000

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.



Рис. 1. Годограф

4. Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

.

Найдём полюса передаточной функции:

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:


.

Используя табличные значения, находим:

,

.

Таким образом, получаем:

.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.

Таблица 2. Импульсная характеристика

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
-4 11,28 62,69 100,8 -167,1 -1236 -2395 2097 23854 54578 -15944

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.

Рис. 2. Импульсная характеристика


5. Переходная характеристика

Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р:

.

Найдём полюса передаточной функции:

; .

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби:

.

Приводим к общему знаменателю:

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях р:

,

,

.


Откуда находим:

,

,

.

Используя табличные значения, находим:

,

,

.

Таким образом, получаем:

.

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3. Переходная характеристика

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
0 0,654 17,59 62,52 69,32 -243 -1209 -1744 3830 24151 42653

Строим график переходной характеристики – рис. 3.



Рис. 3. Переходная характеристика

6. ЛАЧХ

Для получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции:

.

далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля:

.

Это и есть выражение для ЛАЧХ.

Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ).


Таблица 4. ЛАЧХ

-1 0,1 9,17406 0,1 1,25893 9,20891 1,2 15,8489 -11,426
-0,9 0,12589 9,17482 0,2 1,58489 9,08243 1,3 19,9526 -13,614
-0,8 0,15849 9,17601 0,3 1,99526 8,70564 1,4 25,1189 -15,738
-0,7 0,19953 9,17788 0,4 2,51189 7,83066 1,5 31,6228 -17,818
-0,6 0,25119 9,18077 0,5 3,16228 6,23375 1,6 39,8107 -19,869
-0,5 0,31623 9,18519 0,6 3,98107 3,94960 1,7 50,1187 -21,902
-0,4 0,39811 9,19182 0,7 5,01187 1,26946 1,8 63,0957 -23,923
-0,3 0,50119 9,20135 0,8 6,30957 -1,5050 1,9 79,4328 -25,936
-0,2 0,63096 9,21400 0,9 7,94328 -4,1982 2 100 -27,944
-0,1 0,79433 9,22792 1 10 -6,7459 2,1 125,893 -29,950
0 1 9,23483 1,1 12,5893 -9,1470 2,2 158,489 -31,953

Строим график ЛАЧХ – рис. 4.


Рис. 4. ЛАЧХ

7. ФЧХ

ФЧХ – угол поворота вектора на комплексной плоскости в зависимости от частоты:


.

Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад).

Таблица 5. ФЧХ

-1 0,1 0,03263 0,1 1,25893 0,44997 1,2 15,8489 1,66382
-0,9 0,12589 0,04110 0,2 1,58489 0,58831 1,3 19,9526 1,64958
-0,8 0,15849 0,05177 0,3 1,99526 0,77030 1,4 25,1189 1,63592
-0,7 0,19953 0,06524 0,4 2,51189 0,99225 1,5 31,6228 1,62384
-0,6 0,25119 0,08227 0,5 3,16228 1,22480 1,6 39,8107 1,61359
-0,5 0,31623 0,10383 0,6 3,98107 1,42316 1,7 50,1187 1,60513
-0,4 0,39811 0,13123 0,7 5,01187 1,56064 1,8 63,0957 1,59824
-0,3 0,50119 0,16622 0,8 6,30957 1,63913 1,9 79,4328 1,59268
-0,2 0,63096 0,21126 0,9 7,94328 1,67427 2 100 1,58822
-0,1 0,79433 0,26981 1 10 1,68250 2,1 125,893 1,58466
0 1 0,34696 1,1 12,5893 1,67633 2,2 158,489 1,58182

Строим график ФЧХ – рис. 5.

Рис. 5. ФЧХ

8. Структурная схема системы

Записываем матричные уравнения системы:

;

.

Подставляем исходные данные:

;

.

Производим умножение матриц:

,

,

.

Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема системы

Часть 2:

Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами

{–1; –4; ± 5 j }.

Построить наблюдатель полного порядка.

Дано:

,

,

.

Решение:

1. Синтез замкнутой системы

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

,

.

Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы:

,

где

– входной командный сигнал,

К – матрица коэффициентов обратной связи.

После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7.

Рис. 7. Структура исходной системы

Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением:

.

Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами.

Характеристический многочлен исходной системы равен:

.

Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена):

.

Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда:

.

Пусть матрица коэффициентов обратной связи , тогда характеристический полином замкнутой системы:

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов и :

,

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

,

,

.

Искомое управление принимает вид:

.

Структура синтезированной системы представлена на рис. 8.

Она построена по уравнениям:


,

,

,

,

.

Рис. 8. Структура синтезированной системы

2. Построение наблюдателя полного порядка

Система

называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех оценка с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния .

Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления и найдём модель её изменения:

.


Затем потребуем, чтобы при всех и .

Это равенство возможно при:

,

.

Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида:

.

На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя.

Рис. 9. Структура системы с наблюдателем

Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки к вектору состояния при любых начальных состояниях наблюдателя и системы.

Пусть ошибка восстановления , тогда

.

Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости.

Пусть матрица

,

тогда матрица

.

Полюса наблюдателя определяются уравнением:

.

Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны:

{– 4; ± 5 j },

то расположим полюса наблюдателя в точках:

.

Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид:

,


что будет иметь место тогда, когда:

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, получаем:

;

;

.

Находим матрицу:

Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид:

,

,

,

.

Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10.

Она построена по уравнениям:


,

,

,

,

,

,

.

Скачать архив с текстом документа