Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

СОДЕРЖАНИЕ: Проектирование датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. Методы моделирования. Разработка алгоритма и программы датчика. Исследование свойств выработанной им последовательности.

Министерство Образования Республики Таджикистан

Таджикский Технический Университет

имени М.С. Осими

Кафедра «АСОИиУ»

Лабораторная работа №1

На тему:Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

Выполнила:

ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2

Принял: преподаватель кафедры

Ли И.Р.

Душанбе-2010

Лабораторная работа № 2

Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

I Цель работы

Целью работы является:

1. Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения

2. Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения

3. Проверка адекватности полученного датчика

II Теоретические сведения

1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения

При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x 1, x 2…. xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1] . Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через (кси).

Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины , которые можно получить с помощью стандартной функции RND ()– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] . Требуется получить последовательность y 1, y 2,.. yn независимых реализаций случайной величины , распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения:

F ( y )= P ( ksiy ) (1)

или плотностью вероятности

f ( y )= F ’( y ) (2)

Функцииf ( y ) и F ( y ) могут быть заданы графически или аналитически.

Для получения случайной величины с функцией распределения F ( y ) из случайной величины , равномерно-распределенной в интервале [0,1] , используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:

- метод обратной функции

- метод отбора или исключения

- метод композиции.

2. Метод обратной функции

Если - равномерно-распределенная на интервале [0,1] случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования:

=F^-1 ( ) (3)

Где F^-1 ( ) - обратная функция по отношению к функции распределения F( )

F ( y )

0 y

Рис 1 Функция распределения F ()

Действительно, при таком определении случайной величины имеем:

P ( y )= P { F ^-1 () y }= P { F ( y ) }= F ( y ) (4)

В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3) , второе из неубывающего характера функций F( ) и F^-1 ( ) и третье из равномерного в интервале [0,1] распределения величин .

Таким образом, если задана функция распределения F( y ) , то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.

Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический и графический .

3.Метод отбора или исключения

Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f ( y ). В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений представляет конечный отрезок ( a , b ), а плотность вероятности f ( y ) ограничена сверху значением fmax (Рис.7). Тогда область значений ^* и ^* можно ограничить ступенчатой кривой:

0, если ya

g(y)= fmax, если a y b (25)

0, если y b

Затем берутся с помощью генератора случайных чисел ( RND ()) два равномерно-распределенных числа _{1 и} ₂ , по которым определяются равномерные на интервале [ a , b ] независимые величины:

’ =a + (b-a)* ₁

’=fmax* ₂ (26)

Где a , b – границы возможных значений случайной величины ,

fmax - максимальное значение функции f ( y ) (Рис.7)

f(y) g(y)

fmax

f(y)

a ’ b

Рис.7 Заданная плотность вероятности

Если ’ f ( ’) , то ’ принимается в качестве очередной реализации случайной величины . В противном случае ’ отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ₁ и ₂ . Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности.

4. Метод композиции

Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности f ( x ) по формуле полной вероятности:

f ( x )=(27)

Где H ( z )= P ( z )– интегральная функция распределения случайной величины ;

P(x / z )- условная плотность вероятности.

Переходя к дискретной форме, интеграл заменяется на сумму и тогда получаем

f (x )=P_j *f_j (x ) (28)

где P_j =1(29)

f_j ( x ) -условная плотность вероятности

Таким образом, для любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x и кривой f (x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей g_j ( i =1, k ), с площадями P_j ( j =1, k ), (Рис.8)

Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке

f (x)

g₁ (Р₁ )

g₂ (Р₂ ) g₃ (Р₃ )

g₁ (Р₁ )

Рис. 9 Условные плотности

вероятности

g₂ (Р₂ )

g₃ (Р₃ )

Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9)

Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности.

5. Оценка закона распределения

Для полученной случайной последовательности y _1, y _2,… , y_n с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y _1, y _2,… , y_n строится статистическая функция распределения

F * ( y ) (Рис. 10). На этом же графике строится интегральная функция распределения F ( y ) для заданного закона распределения и производится сопоставление F *( y ) и F ( y ). Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова . Для этого вычисляется статистика:

Ди= maxF *( y ) - F ( y ) (30)

Для конечных решений и распределения статистики Ди получены пороговые значения в форме таблиц (Таблица 1.). По этой таблице для заданных объемов последовательности и и значению статистики Ди определяется уровень значимости .

Если гипотеза верна то статистика Ди* имеет в пределе при n распределение Колмогорова и квантили уровня P = (1-2) близки к 1. Это значит, что полученный генератор случайных чисел вырабатывает последовательность с заданным законом распределения. Если значения статистики Ди не попадают в пороговые значения, то такой генератор не годится для пользования.

F(y)

F(y) 1

F*(y)

0.5 D_n {

y₁ y₂ y₃ y₄ …….y_n-1 y_n

Рис.10Оценка распределения

III Содержание исследования

Исследование, проводимое в данной работе, заключается в получении программного датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. При этом необходимо разработать алгоритм и программу датчика, а затем исследовать свойства выработанной им последовательности. При проведении исследований необходимо:

1 .По двадцати числам (n =20 ) выведенным на печать построить статистическую функцию распределения F *( y )(рис.10) На этом же графике построить интегральную функцию распределения F ( y ) для заданного преподавателем закона распределения. Сопоставив значения F *( y )и F ( y ), вычислить статистику Ди (30).

2. Составить блок- схему и программу для ПЭВМ , в которой следует предусмотреть построение статистического ряда и вычисление статистики Ди по критерию Колмогорова.

3 .По таблице пороговых значений статистики Ди произвести оценку распределения.

4. Для полученной последовательности произвести оценку математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения.

Блок- схема генератора

Интерфейс программы:

Листинг программы :

Private Sub Command1_Click()

Dim n As Integer

Dim p1, p2 As Integer

Dim Y() As Variant, X As Double

p1 = 0: p2 = 0: m = 0: d = 0

List1.Clear

Randomize

X = 0.5

n = Val(Text1.Text)

ReDim Y(n) As Variant

For i = 1 To n

X = Rnd(X)

List1.AddItem (x( + Str(i) + )= + Str(X))

If X 0.7 Then

p1 = p1 + 1

Y(i) = 2

m = m + Y(i)

List1.AddItem (y( + Str(i) + )= + Str(Y(i)))

Else

p2 = p2 + 1

Y(i) = 10 * X - 5

m = m + Y(i)

List1.AddItem (y( + Str(i) + )= + Str(Y(i)))

End If

Next i

List1.AddItem (кол. точек с вер-ю 0.7: p1= + Str(p1))

List1.AddItem (кол. точек с вер-ю 0.3: p2= + Str(p2))

List1.AddItem (ВЕРОЯТНОСТИ:)

List1.AddItem ( 0.4=x0.7 --- 0 + Str(p1 / n))

List1.AddItem ( 0.7=x=1 --- 0 + Str(p2 / n))

m = m / n

List1.AddItem (мат ожидание = + Str(m))

For i = 1 To n

d = d + (Y(i) - m) ^ 2

Next i

d = d / (n - 1)

b = Sqr(d)

List1.AddItem (диссперсия = + Str(d))

List1.AddItem (сререднекв откл = + Str(b))

построение интегральной функции

Picture1.Scale (-2, 11)-(11, -2)

Picture1.Line (0, -2)-(0, 11)

Picture1.Line (-2, 0)-(11, 0)

Picture1.PSet (-1, 11)

Picture1.Print (f(x))

Picture1.PSet (10.5, -0.3)

Picture1.Print (x)

Picture1.PSet (-0.7, 4)

Picture1.Print (0.4)

Picture1.PSet (-0.7, 7)

Picture1.Print (0.7)

Picture1.PSet (-0.7, 10)

Picture1.Print (1)

Picture1.PSet (2, -0.3)

Picture1.Print (2)

Picture1.PSet (5, -0.3)

Picture1.Print (5)

For i = 0 To 11 Step 0.001

If i 2 Then

l = 4

Else

If i 5 Then

l = (0.1 * i + 0.5) * 10

Else

l = 10

End If

Picture1.PSet (i, l)

Next i

Picture1.Line (2, 4)-(2, 7)

построение обратной функции

Picture2.Scale (-2, 11)-(11, -2)

Picture2.Line (0, -2)-(0, 11)

Picture2.Line (-2, 0)-(11, 0)

Picture2.PSet (-1, 11)

Picture2.Print (x)

Picture2.PSet (10.5, -0.3)

Picture2.Print (f(x))

Picture2.PSet (-0.7, 2)

Picture2.Print (2)

Picture2.PSet (-0.7, 5)

Picture2.Print (5)

Picture2.PSet (4, -0.3)

Picture2.Print (0.4)

Picture2.PSet (7, -0.3)

Picture2.Print (0.7)

Picture2.PSet (10, -0.3)

Picture2.Print (1)

For i = 4 To 10 Step 0.001

If i 7 Then

l = 2

Else

l = i - 5

End If

Picture2.PSet (i, l), vbRed

Next i

Picture2.Line (4, 0)-(4, 2), vbRed

Picture2.Line (10, 5)-(10, 11), vbRed

End Sub

Скачать архив с текстом документа