Новый метод решения кубического уравнения
СОДЕРЖАНИЕ: Решение кубического уравнения на основе современных методов: разложение левой части на линейные множители; с помощью формулы Кардана; специальных таблиц. Рассмотрение метода решения кубических уравнений, включая неприводимый случай формулы Кардана.Автор: Фильчев Э.Г.
Решение кубического уравнения в системе mn параметров
Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы
- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )
- с помощью формулы Кардана
- применение специальных таблиц
(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).
В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!
Задача Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.
Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения . Пусть а = 1.
Решение
На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид
(2 mn )2 + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx +с = 0 ( 1 )
где
x- любой из нулей ( корней) исходного уравнения
2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения
Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим
(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4 +(3c – b2 )2 (2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3 + ( 2b3 – 9bc + 27d )2 ]/27 = 0 ( 2 )
Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение
Утверждение1 Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения
3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]
[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
где (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения.
x - один ( любой ) из корней исходного уравнения.
1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение
D1
= -
= - (2mn)1
2
( 2mn)2
2
( 2mn)3
2
2. Определяем значение
D 2 = - 2( 3c – b 2 ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]
Из этих уравнений следует, что
- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов
- и если при этом выполняется равенство D 1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.
3 . Определяем значение корней исходного уравнения
3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )1( 2 mn )2
3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2
3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3
3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3
3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3
3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )2( 2 mn )3
Задача решена !
Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -9x2+ 23x - 15 = 0
где a =1, b = - 9, c = 23, d = -15
Решение
1. Определяем значение
D1
= = - 
- D1 = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162
Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0
2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )
- D2 = - 2( 323 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4
Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно
имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.
3 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
- 3x2 - 18x + 23 = - - 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.
3.2 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )2
- 3x2 - 18x + 23 = - 3x2 - 18x + 15 = 0 - x2 - 6x + 5 = 0
- X 1 = 3 + 2 = 5 , X 2 = 3 - 2 = 1
Здесь X 1 = 5 - одно из решений исходного уравнения.
Здесь X 2 = 1 второе решение исходного уравнения.
3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3
- 3x2 - 18x + 23 = - - 3x2 - 18x + 27 = 0 - x2 - 6x + 9 = 0
- X2 = 3
Здесь X = 3 - последнее из решений исходного уравнения.
3.4 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )3
- 3x2 - 18x + 23 = 22- 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.
Задача решена!
Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400
2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )
- D2 = - 2( - 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92
Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.
Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.
2.1 32 72 82 = 28224 32400
2.2 42 52 92 = 32400 . Этот вариант подходит!
- (2mn)11 = 4, (2mn)12 = - 4,
(2mn)21 = 5, (2mn)22 = - 5,
(2mn)31 = 9, (2mn)32 = - 9.
3 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
- 3x2 - 40x + 113 = - 45- 3x2 - 40x + 133 = 0.
- X
1
= 7,
X2
= 
4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 (2mn)32 . Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X 1 - X 2 ) - X 2 = X 1 – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).
4.2 Пусть (2mn)12 = - 4 = (X 1 - X 2 ) - X 2 = X 1 + 4 = 7 + 4 = 11 . Это второй корень.
4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X 2 - X 3 ) - X 3 = X 2 - 5 = 7 - 5 = 2 . Это третий корень.
Решением исходного уравнения будет X1 = 7 , X2 = 2, X3 = 11.
Расчет закончен !
Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -10x2 - 49x + 130 = 0
где a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996
2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )
- D2 = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182
Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72
112
182
= 1920996
- (2mn)11 = 7, (2mn)12 = - 7,
(2mn)21 = 11, (2mn)22 = - 11,
(2mn)31 = 18, (2mn)32 = - 18.
3 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21
- 3x2 - 20x - 49 = 711- 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!
3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22
- 3x2 - 20x - 49 =- 77 - 3x2 - 20x + 28 = 0.
- X1
= 
,
X2
= 2 – это один из корней исходного уравнения!
4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 (2mn)32 . Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X 1 - X 2 ) - X 2 = X 1 – 7 = 2 – 7 = - 5 . Это второй корень!
4.2 Пусть (2mn)12 = - 7 = (X 1 - X 2 ) - X 2 = X 1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.
4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X 1 - X 3 ) - X 3 = X 1 - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.
4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X 1 - X 3 ) - X 3 = X 1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!
Решением исходного уравнения будет X1 = 2 , X2 = - 5, X3 = 13.
Расчет закончен !
Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0
где a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1
В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27
-D1 = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500
2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )
- D2 = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950
В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2 . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .
При этом значение степени k должно определяться
- для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )
- для D1 =3 (число знаков в мантиссе для D2 ). - k1 = 3 k2 ( для данного примера k1 = 12 ).
Для дальнейшего рассмотрения используем два числа
- D11 = 987539062500
- D21 = 132950.
3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 Б2 Д2 .
Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики
- найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 Б2 Д2 .
- найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 Б2 Д2 .
Вариант D 11 = А2 Б2 Д2 следует считать более удобным.
Для рассматриваемого примера
D11 = 987539062500 = 2502 2652 152
D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152 .
4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1 и k2 . Совершая обратную операцию, получим
(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = - 2.5,
(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = - 2.65,
(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = - 0.15.
5 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
5.1 3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )11( 2 mn )21
- 3x2 - 2(6.85) x + 13.425 = (2.5)(2.65)- 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.
- X1 = 4 – это один из корней исходного уравнения!
6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 4, и
кроме того, известны значения (2mn)11 (2mn)32 . Этих данных достаточно для
определения двух остальных корней.
6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X 1 - X 2 ) - X 2 = X 1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!
6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X 1 - X 2 ) - X 2 = X 1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.
6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X 1 - X 3 ) - X 3 = X 1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35 . Это третий корень!
Решением исходного уравнения будет X1 = 4 , X2 = 1.5, X3 = 1.35.
Расчет закончен !
Неприводимый случай формулы Кардана
Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.
Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.
Задача Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения .
Пусть а = 1.
Решение
Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы
D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
D2 = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32 ],
где
- (2mn) j - разность любой пары корней исходного уравнения
-
D1
= -
- D2 = - 2( 3c – b 2 )
- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.
По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два сопряженных мнимых корня X 2 = ( g 2 - hi ), X 3 = ( g 2 + hi ). Тогда
(2 mn )1 = ( X 1 - X 2 ) = (g 1 - g 2 ) + hi
(2 mn )2 = ( X 1 - X 3 ) = (g 1 - g 2 ) – hi
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - hi - g2 – hi = - 2hi
- D1 = - ( 2mn)1 2 ( 2mn)2 2 ( 2mn)3 2 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 [(g1 - g2 ) - hi]2 [2 hi]2
- D 1 = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 4 h 2
Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место
- знак “ + “
- только действительные числа.
Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем
1 . На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам
D
1
= -
D 2 = - 2( 3c - b 2 )
определяются значения D 1 и D 2 .
2. Определяются D 1 - как произведение двух квадратов
D 2 - как удвоенная сумма двух квадратов.
3. Определяются значения g 1 , g 2 , h .
4. Определяются значения (2mn)11 , (2mn)21 , (2mn)31
5. Определяются значения корней исходного уравнения.
Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -9x2 + 73x – 265 = 0
где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265
В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344
2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.
-D1 = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 4 h 2 = 659344 = 2222772929 = 422772929= 472 582
Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 4 h 2 . Тогда можно записать
h = 7 , (g1 - g2 )2 + h2 = 58 - (g1 - g2 )2 = 58 – 49 = 9 -( g1 - g2 ) = ± 3
3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения
- b = X1 +X2 +X3 - - ( - 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 - 9 = g1 + 2g2.
4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2 ) = 9, можно определить значения g1 и g2
Пусть ( g1 - g2 )= 3 - g2 = g1 – 3 - g1 + 2(g1 – 3) = 9 - 3g1 = 15 - g 1 = 5 -g 2 = 2.
- X 1 = 5, X 2 = 2 + 7 i , X 3 = 2 – 7 i
Расчет закончен !
Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -30x2 + 322x – 1168 = 0
где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168
В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600
2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.
-D1 = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 4 h 2 = 115600 = 2222551717 = 422551717= 4 52 342
Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 4 h 2 . Тогда можно записать
h = 5 , (g1 - g2 )2 + h2 = 34 - (g1 - g2 )2 = 34 – 25 = 9 -( g1 - g2 ) = ± 3
3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения
- b = X1 +X2 +X3 - - ( - 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 - 30 = g1 + 2g2.
4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2 ) = 30, можно определить значения g1 и g2
Пусть ( g1 - g2 )= - 3 - g2 = g1 – 3 - g1 + 2(g1 – 3) = 30 - 3g1 = 24 - g 1 = 8 -g 2 = 11.
- X 1 = 8, X 2 = 11 + 5 i , X 3 = 2 – 5 i
Расчет закончен !
Новый метод решения кубических уравнений
Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут
иметь место следующие случаи
- три корня имеют одинаковые действительные значения
- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1
= g + h, то X2
= g – hили X1
=
(g + h), то X2
= 
(g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b
при X для X3
+ bX2
+ cX + d = ( X – X1
)( X2
+ b
X + c
) = 0.
- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1 = g + ih, то X2 = g – ih.
Первый случай – тривиальный . (x – a )3 = x3 – 3ax2 +3a2 x – a3 = 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.
Три разных действительных корня
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g1 ), то получим квадратное уравнение вида
[ X – (g2 + h)][ X – (g2 - h)] = 0
- X2 – 2g2 X + (g2 2 – h2 ) = 0
- X1 = g1 , X2,3 = g2 ± h - X2 = ( g2 - h), X3 = ( g2 + h)
- (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) + h
(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – h
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - h - g2 – h = - 2h
- D1 = - ( 2mn)1 2 ( 2mn)2 2 ( 2mn)3 2 = - [(g1 - g2 ) + h]2 [(g1 - g2 ) - h]2 [2h]2
- D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 4h2 (3)
- D2 = - [ (2mn)1 2 + (2mn)2 2 + (2mn)3 2 ] = - [(g1 - g2 ) + h]2 + [(g1 - g2 ) - h]2 + 4h2
D2 = - [(g1 - g2 )2 + 2(g1 - g2 ) h + h2 + (g1 - g2 )2 - 2(g1 - g2 ) h + h2 + 4h2 ]
D 2 = - [ 2( g 1 - g 2 )2 + 6 h 2 ] = - 2 [( g 1 - g 2 )2 +3 h 2 ] (8)
На основании формул системы mn параметров имеем
D
1
= -
(4)
D 2 = - 2( 3c - b 2 ), (5)
где b , c , d - коэффициенты исходного кубического уравнения.
Три действительных корня и два одинаковых
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2 mn ) I = 0
При (2 mn ) I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь
3 x 2 + 2 bx +с = 0 (6)
X 2 = ( g 2 - h ), X 3 = ( g 2 + h ) X 2 = X 3 = g 2
(2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 )
(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 )
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - g2 = 0
D1 = - ( 2mn)1 2 ( 2mn)2 2 ( 2mn)3 2 = 0
D2 = - [ (2mn)1 2 + (2mn)2 2 + (2mn)3 2 ] = - [ (2mn)1 2 + (2mn)2 2 ]
D2 = 2 (2mn)1 2 = 2 (g1 - g2 )2 = - 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )
(g1 - g2 )2 = ( b2 - 3c )
На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X 1 + 2 X 2
g 1 + 2 g 2 = - b
Решая систему из двух уравнений будем иметь g
2
= -
X11,12
= g11,12
=
[ - b ±
]
X
21,22
=
g
21,22
=
[ -
b
±
]
Расчет закончен !
Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -41x2 + 475x – 1083 = 0
где a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083
1.
X11,12
= g11,12
= 
[ - b ± 
] X11,12
= [ 41 ± 
] = [ 41 ± 
]
X11
= 
, X1
= 3
X21,22
= g21,22
= [ - b ± 
] g21,22
= [ 41 ± 
]= [ 41 ± 
]
X21
= 19, X22
= 
X
2
=
X
3
= 19
Расчет закончен !
Вывод основных формул
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1.
Определяем значение D
1
= -
2.
Разделим 
3.
Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(
g
1
-
g
2
)2
-
h
2
]2
h
2
.
4.
Меньший множитель принимаем за h
2
[(
g
1
-
g
2
)2
-
h
2
]2
=
(
g
1
-
g
2
) =
(6)
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) b = - (g1 + g2 - h + g2 +h )
b = - ( g 1 + 2 g 2 ) (7)
6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим
X1
= g1
=
- b )
X11
= g11
=
- b ) (8)
X12
= g12
=
- b ) (9)
Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.
7.
g2
= -
g21
= -
g
22
= -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.
Задача решена!
Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -33x2 + 311x – 663 = 0
где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168
Решение
1. Определяем значение
D1
= - 
-D1 = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600
- D1 = [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 4 h 2 = 313600 = 442 72 102 = 4402 72 = 4702 42 = 4282 102
313600 = 41402 22 = 472 402 = 452 562
- =
402
72
= 702
42
= 282
102
= 1402
22
=52
562
2. Пусть h 1 2 = 72
X1
= g11
=
- b )
= 
- b) = 
g11 = X11 = 13, X12 = 9.
g21
= -
= -
= 10
X 2,3 = g 21 + h 1 = 10 ± 7 X 2 = 17, X 3 = 3
Задача решена!
Неприводимый случай формулы Кардана
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два мнимых сопряженных корня
X 2 = ( g 2 - ih ), X 3 = ( g 2 + ih ).
- (2 mn )1 = ( X 1 - X 2 ) = (g 1 - g 2 ) + ih
(2 mn )2 = ( X 1 - X 3 ) = (g 1 - g 2 ) – ih
(2 mn )3 = ( X 2 - X 3 ) = g 2 - ih - g 2 – ih = - 2 ih
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1.
Определяем значение D
1
= -
2.
Разделим 
3.
Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(
g
1
-
g
2
)2
+
h
2
]2
h
2
.
4.
Меньший множитель принимаем за h
2
[(
g
1
-
g
2
)2
+
h
2
]2
=
(
g
1
-
g
2
) =
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )
b = - ( g1 + 2g2 )
6. X1
= g1
=
- b )
X11
= g11
=
- b )
X12
= g12
=
- b )
7.
g2
= -
g21
= -
g
22
= -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 -6x2 + 58x – 200 = 0
где a =1, b = - 6, c = 58, d = - 200
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344
- D1 = [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 4 h 2 = 659344 = 422 72 292 = 4142 292 = 472 582 = 422 2032
- =
2032
22
= 582
72
= 292
142
Пусть h 1 2 = 72
X1
= g11
=
- b )
= 
+ 6) = 
= 4
X1 = 4
g21
= -
= -
= 1
X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i
Задача решена !
Пример 10 Дано уравнение
x3 -6x2 + 21x – 52 = 0
где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
D1
=[(
g
1
-
g
2
)2
-
h
2
]2
4
h
2
= 21168 = 422
72
= 4142
= 4
D1
= 
Пусть
h
1
2
=
X1
= g11
=
- b )
= 
+ 6) = = 4
X1 = 4
g21
= -
= -
= 1
X2,3
= g21
+ ih1
= 1 ± 2i
X2
= 1 + 2i
, X3
= 1 - 2i
Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2 mn )2 + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx +с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2 mn )2 + ( 3 xi + b )(2 mn ) + 3 xi 2 + 2 bxi +с = 0
(2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0
(2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0
(2 mn )2 + ( 3 x 3 + b )(2 mn ) + 3 x 3 2 + 2 bx 3 +с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2 mn ) I обязательно найдется отрицательное значение (2 mn ) j . Поэтому общая сумма всех корней вида (2 mn ) будет равна нулю.
( 3 x 1 + b ) + ( 3 x 2 + b ) + ( 3 x 3 + b ) = 0 3( x 1 + x 2 + x 3 ) = - 3 b
( x 1 + x 2 + x 3 ) = - b .
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
(2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0
(2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с и 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с. Их сумма равна
= 3(x 1 2 + 3 x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x 1 2 +x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с = ( x 1 - x 2 )2
(x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с - x 1 x 2 = 0
Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь
( x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с - x 1 x 2 = 0
( x 1 + x 3 )2 + b ( x 1 + x 3 ) + с - x 1 x 3 = 0
( x 2 + x 3 )2 + b ( x 2 + x 3 ) + с - x 2 x 3 = 0
Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
В общем случае эта формула имеет вид
( xi + xj )2 + b ( xi + xj ) + с - xi xj = 0 ( 10 )
Пример 11 Проверить формулу ( 10 )
x3 -20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Здесь X 1 = 7 , X 2 = 2, X 3 = 11.
( x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с - x 1 x 2 = 0 (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7 2= 0
( x 1 + x 3 )2 + b ( x 1 + x 3 ) + с - x 1 x 3 = 0 (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7 11= 0
( x 2 + x 3 )2 + b ( x 2 + x 3 ) + с - x 2 x 3 = 0 (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2 11= 0
Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).
Три действительных корня и два одинаковых
При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2 mn ) = 0.
Тогда из уравнения (2) следует 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.
Решение
Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3
x
1
2
+ 2
bx
1
+с = 0 3
x
1
2
- 50
x
1
+ 203 = 0
x
1,2
=
)
x
1
=
,
x
2
= 7.
Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X 1 = X 2 = 7 , X 3 = 11
Три действительных и одинаковых корня
В этом случае имеем для всех (2 mn ) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0.
x
1,2
=
). При равенстве трех корней имеем 
= 0
x
1,2,3
= -
.
Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
( x
1
+
x
2
+
x
3
) = -
b
. При
x
=
x
1
=
x
2
=
x
3
3
x
= -
b
x
= -
.
Пример 12 Дано уравнение
x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 b= - 24, с = 183, d = - 448
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение
D1
= -
-D1 = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188
- 1188= 4933
= 436
2.
Пусть
h
2
=
= [(
g
1
-
g
2
)2
-
h
2
]2
h
2
[(
g
1
-
g
2
)2
+
h
2
]2
= 36
[(
g
1
-
g
2
)2
-
h
2
] = ± 6
(
g
1
-
g
2
)2
= - 6 +
=
g
1
-
g
2
= ±
.
Второе уравнение ( x 1 + x 2 + x 3 ) = - b (g 1 + g 2 + h + g 2 – h ) = - b g 1 + 2 g 2 = 24
Таким образом, имеем два уравнения
g
1
-
g
2
= ±
и
g
1
= 24 - 2
g
2
.
24 - 2
g
2
-
g
2
= ±
g
2
=
=
g
2
=
g
1
= 24 - 2
g
2
g
1
= 24 – 17
g
1
= 7
X
1
= 7,
X
2
=
( 17 +
),
X
3
=
( 17 -
)
Задача решена!
Внимание! В данном примере имеет место множитель
в значениях
X
2
и
X
3
. Этот случай
обусловлен следующим
1. Разделим исходное уравнение x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 на (x – 7)
= - x2
+ 17x – 64 x3
– 24x2
+ 183x – 448= (x – 7)( x2
- 17x + 64)=0.
кубическое уравнение формула кардан
2.
В уравнении x2
- 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 436 .
Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.
E- Mail: fgg-fil1@narod.ru