Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

СОДЕРЖАНИЕ: Примеры исследования элементарных функций. Тригонометрические операции над аркфункциями. Формулы сложения.

Примеры

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin(1/x)

-/2

Д(f): | 1/x | 1 ,

| x | 1 ,

( - ; -1 ] U [ 1; + )

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;/2] )

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-/2; /2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ; -1 ] U [ 1; + )

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x² ).

Решение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

-1

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos² (x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z²

f(z) убывает на пр. [-1;1] от до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от ² до 0.

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x² -1))

Решение:

Д(f): ( - ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; + )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; + )

-1

u=1/(x² -1)

-1

y=arctg(u)

- /4

- /2

-/4

-/2

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент функция	arcsin(x)	arccos(x)	arctg(x)	arcctg(x)
sin	sin(arcsin(x))=x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

1. Т.к. cos² x + sin² x = 1 и = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

2. Из тождества следует:

3. Имеем

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример №3. Пользуясь

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример №5. Положив в формулах

, и

, получим:

Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим:

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

arccos(x)

arcsin(x)

-1

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга , заключенная в интервале (-/2; /2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sin и заключена, так же как и , в интервале (-/2; /2), следовательно

Аналогично можно дугу представить в виде арктангенса:

А если бы дуга была заключена в интервале ( 0 ; ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

1. Выражение через арктангенс.

Пусть , тогда

Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-/2; /2).

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-/2; /2).

Следовательно,

(1)

(в интервале ( -1 : 1 )

2. Выражение через арксинус.

Т.к. , то (2)

в интервале

3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество

(3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -/2 до 0, либо промежутку от /2 до и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

4. Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

, а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х0 X0

При отрицательных значениях Х имеем Х0, а при положительных X0, и

Таким образом, имеем окончательно:

если , (4)

, если

График функции

-1

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

, если

5. Аналогичноустановим, что при имеем:

, если же , то

Таким образом:

, если (5)

, если

6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

при имеем:

Если же х0, то

Итак,

, если (6)

, если

7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то

При имеем:

Итак,

, если (7)

, если

8. Выражение арктангенса через арккотангенс.

, если х0(8)

,если x0

При x0 равенство (8) легко установить; если же x0, то

9. Выражение арксинуса через арккотангенс.

, если (9)

, если

10. Выражение арккотангенса через арксинус.

, если 0x(10)

, если х0

11. Выражение арккотангенса через арктангенс.

, если x0 (11)

, если x0

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

y= 0 , если x0

- , если x0

На чертеже изображен график

данной функции

Пример №2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. , то получаем

откуда:

на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

, если

получим:

y = 0 , если

, если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x ;

Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=/6 имеем:

но при х=5/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-/2; 3/2] величиной 2.

Если значение х принадлежит сегменту [-/2; /2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [/2; 3/2], то в этом случае дуга -х принадлежит сегменту [-/2; /2]; и, так как

, то имеем y=-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=-х. Если значение х принадлежит сегменту [3/2; 5/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2

Если значение х принадлежит сегменту [-3/2; -/2], то

y=--х

Если значение х принадлежит сегменту [-5/2; -3/2], то

y=х+2

Вообще, если , то

y=х-2k

и если , то

y=(-х)+2k

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x , где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2. Если значение Х принадлежит сегменту [0; ], то y = x. Если х принадлежит сегменту [; 2], то дуга 2-х принадлежит сегменту [0; ] и , поэтому:

Следовательно, на сегменте [; 2] имеем y = 2 - x

Если х принадлежит сегменту [2; 3], то y = x - 2

Если х принадлежит сегменту [3;4], то y = 4 – x

Вообще, если , то y = x - 2k

Если же , то y = -x + k

Графиком функции является ломаная линия

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

Решение: эта сумма является суммой двух дуг и , где

;

В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .

Вычислив синус дуги , получим:

Т.к. сумма заключена на сегменте [-/2; /2], то

Пример №2. Представить дугу , рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем

В рассматриваемом примере , так как дуги и заключены в различных интервалах,

, а

В данном случае

Пример №4. Представить дугу , рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Обе дуги и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть и – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до /2 (первая четверть):

, и

Сумма + заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;

Разность – заключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; /2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

1. Преобразуем в арккосинус , где и

Имеем:

Откуда

2. Аналогично

, где 0 x 1, 0 y 1

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

1. Выразить сумму через арксинус

По определению арксинуса

и ,

откуда

Для дуги возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при и , имеем:

, и ,

откуда

При x 0, y 0 для дуги имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

в случае а) и в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив , получим:

При x 0, y 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или

Откуда

и, следовательно,

Наличие случая 1 при x 0, y 0 означает выполнение неравенств

;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

или

Случай 2.

В этом случае x 0, y 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим

Случай 3.

Этот случай имеет место при x 0, y 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ;

в случае 2 и в случае 3 .

Итак, имеем окончательно:

, или

; x 0, y 0, и (1)

; x 0, y 0, и

Пример:

;

2. Заменив в (1) x на –x получим:

, или

; x 0, y 0, и (2)

; x 0, y 0, и

3. Выразить сумму через арккосинус

имеем

Возможны следующие два случая.

Случай 1: если , то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно, , откуда

Случай 2: . Если , то

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если