Определение опорных реакций фермы
СОДЕРЖАНИЕ: Содержание 1.1 Определение опорных реакций фермы 1 1.2 Расчет усилий в стержнях фермы 1 1.2.1 Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узловСодержание
1.1 Определение опорных реакций фермы 1
1.2 Расчет усилий в стержнях фермы 1
1.2.1 Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов
1.2.2. Определение усилий в стержнях фермы методом Риттера
2.1 Определение опорных реакций фермы 2
2.2 Расчет усилий в стержнях фермы 2
2.2.1 Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов
2.2.2. Определение усилий в стержнях фермы методом Риттера
3.1 Определение опорных реакций фермы 3
3.2 Расчет усилий в стержнях фермы 3
3.2.1 Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов
3.2.2. Определение усилий в стержнях фермы методом Риттер а
4. Расчет плоской сложной конструкции 1
5. Расчет плоской сложной конструкции 2
6. Расчет плоской сложной конструкции 3
7. Расчет плоской сложной конструкции 4
8. Расчет пространственной конструкции
1.1 Определение опорных реакций фермы 1
На рисунке 1 изображена ферма с опорами и действующими на неё активными силами. На рисунке пронумерованы все узлы и стержни.
Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей 
, 
, 
. Расчетная схема изображена на рис. 2. На ферму действуют активные силы 
(
) и реакции опор. Реакция 
неподвижной шарнирной опоры A неизвестна ни по модулю, ни по направлению, поэтому ее разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие силы , . Стержень В заменим одной силой, направленной под углом 
к вертикали. Таким образом, ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.
Выбрав систему координат, составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:
(1)
(2)
(3)
Из уравнения (3):
Преобразуем знаменатель:
Определим, при каких условиях знаменатель обращается в 0:
Следовательно, при постановке задачи следует учитывать это ограничение на угол 
и задавать для него значения, далекие от
Подставив значения активных сил и углов, найдем значение реакции опоры
.
Из уравнения (1):
Из уравнения (2):
1.2 Расчет усилий в стержнях фермы 1
1.2.1 Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов
Для определения усилий в стержнях 1-11 вырежем узлы I-VII (см. рис. 3) и рассмотрим равновесие сил, приложенных к каждому из них. При этом необходимо учесть, что 
. Составим систему уравнений для каждого узла, начиная с первого. Сумма проекций всех сил на ось Ox будет соответствовать первому уравнению для каждого узла, а сумма всех проекций на ось Oy – второму уравнению.
Узел I. 
Узел II. 
Узел III. 
Узел IV. 
Узел V. 
Узел VI. 
Узел VII. 
Зная реакции опор, найдем усилия всех стержней.
Из уравнений I (где римская цифра означает уравнения проекций сил, действующих на соответствующий узел, на оси координат):
Из уравнений III:
Из уравнений IV:
Из уравнений II:
Из уравнений V:
Из уравнений VII:
Из результатов расчетов следует, что реакции стержней 2,4-8 имеют направления, противоположные принятым на расчетной схеме. Следовательно,
эти стержни сжаты.
1.2.2 Определение усилий в стержнях фермы методом Риттера
Метод Риттера (способ сечений) в общем случае предполагает предварительное определение реакций опор фермы, хотя усилия в некоторых стержнях (при определенном расположении опор фермы) можно определить, не зная опорных реакций. Если реакции опор фермы определены, то метод Риттера позволяет оперативно найти усилие в данном стержне, при этом, как правило, определение усилия является автономным, т.е. не связанным с определением усилий в других стержнях. Для этого необходимо выполнение одного условия: конструкция фермы должна быть такой, чтобы существовала возможность рассечения фермы на две части по трем стержням, среди которых находится стержень, усилие в котором определяется.
Найдем, например усилия в стержнях 3, 5 и 6. Для этого рассечем данные стержни как показано на рисунке 4.
Из рисунка видно, что усилие в стержне 5 легко находится, если составить уравнение суммы моментов всех сил относительно точки D:
Усилие в стержне 3 легко находится из уравнения суммы проекций всех сил на ось Oy:
И, наконец, усилие в стержне 6 найдем из уравнения суммы проекций всех сил на ось Ox:
Сравним полученные результаты с теми, что были получены в математическом пакете MathCAD:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа 1-11 – соответствующие стержни, 12 - 
, 13 - 
, 14 - 
2.1 Определение опорных реакций фермы 2
На рисунке 5 изображена ферма с опорами и действующими на неё активными силами. На рисунке пронумерованы все узлы и стержни.
Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей 
. Расчетная схема изображена на рис. 6. На ферму действуют активные силы 
(
) и реакции опор. Реакция 
неподвижной шарнирной опоры С неизвестна ни по модулю, ни по направлению, поэтому ее разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие силы 
. Стержень А заменим одной силой, направленной под углом 
к горизонтали. Таким образом, ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.
Выбрав систему координат, составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:
(4)
(5)
(6)
Из уравнения (6):
Преобразуем знаменатель:
Определим, при каких условиях знаменатель обращается в 0:
Следовательно, при постановке задачи следует учитывать это ограничение на угол 
и задавать для него значения, далекие от 
. Например, 
Подставив значения активных сил и углов, найдем значение реакции опоры 
.
Из уравнения (4):
Из уравнения (5):
2.2 Расчет усилий в стержнях фермы 2
2.2.1 Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов
Для определения усилий в стержнях 1-11 вырежем узлы I-VII (см. рис. 6) и рассмотрим равновесие сил, приложенных к каждому из них. При этом необходимо учесть, что 
. Составим систему уравнений для каждого узла, начиная с первого. Сумма проекций всех сил на ось Ox будет соответствовать первому уравнению для каждого узла, а сумма всех проекций на ось Oy – второму уравнению.
Узел I. 
Узел II. 
Узел III. 
Узел IV. 
Узел V. 
Узел VI. 
Узел VII. 
Зная реакции опор, найдем усилия всех стержней.
Из уравнений I (где римская цифра означает уравнения проекций сил, действующих на соответствующий узел, на оси координат):
Из уравнений IV:
Из уравнений III:
Из уравнений VI:
Из уравнений VII:
Из уравнений VI:
Из уравнений II:
Из результатов расчетов следует, что реакции стержней 1-4, 6, 8, 9-10 имеют направления, противоположные принятым на расчетной схеме. Следовательно, эти стержни сжаты.
2.2.2 Определение усилий в стержнях фермы методом Риттера
Найдем усилия в стержнях 3, 9 и 11. Для этого рассечем данные стержни как показано на рисунке 8.
Из рисунка видно, что усилие в стержне 9 легко находится, если составить уравнение суммы моментов всех сил относительно точки D:
Усилие в стержне 3 легко находится из уравнения суммы проекций всех сил на ось Oy:
И, наконец, усилие в стержне 6 найдем из уравнения суммы проекций всех сил на ось Ox:
Сравним полученные результаты с теми, что были получены в математическом пакете MathCAD:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа 1-11 – соответствующие стержни, 12 - 
, 13 - 
, 14 - 
3.1 Определение опорных реакций фермы 3
На рисунке 9 изображена ферма с опорами и действующими на неё активными силами. На рисунке пронумерованы все узлы и стержни.
Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей 
. Расчетная схема изображена на рис. 10. На ферму действуют активные силы 
(
) и реакции опор. Стержень А заменим одной горизонтальной силой, стержень B заменим одной вертикальной силой, стержень С одной силой, направленной под углом 
к горизонтали. Таким образом, ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.
Выбрав систему координат, составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:
(7)
(8)
(9)
Из уравнения (9):
Преобразуем знаменатель:
Определим, при каких условиях знаменатель обращается в 0:
Следовательно, при постановке задачи следует учитывать это ограничение на угол 
и задавать для него значения, далекие от 
. Например, 
Подставив значения активных сил и углов, найдем значение реакции опоры
.
Из уравнения (7):
Из уравнения (8):
3.2 Расчет усилий в стержнях фермы 3
3.2.1 Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов
Для определения усилий в стержнях 1-11 вырежем узлы I-VII (см. рис. 10) и рассмотрим равновесие сил, приложенных к каждому из них. При этом необходимо учесть, что 
. Составим систему уравнений для каждого узла, начиная с первого. Сумма проекций всех сил на ось Ox будет соответствовать первому уравнению для каждого узла, а сумма всех проекций на ось Oy – второму уравнению.
Узел I. 
Узел II. 
Узел III. 
Узел IV. 
Узел V. 
Узел VI. 
Узел VII. 
Зная реакции опор, найдем усилия всех стержней.
Из уравнений I (где римская цифра означает уравнения проекций сил, действующих на соответствующий узел, на оси координат):
Из уравнений IV:
Из уравнений III:
Из уравнений VI:
Из уравнений VII:
Из уравнений VI:
Из уравнений II:
Из результатов расчетов следует, что реакции стержней 2-4, 6, 8-10 имеют направления, противоположные принятым на расчетной схеме. Следовательно, эти стержни сжаты.
3.2.2 Определение усилий в стержнях фермы методом Риттера
Найдем усилия в стержнях 3, 9 и 11. Для этого рассечем данные стержни как показано на рисунке 8.
Из рисунка видно, что усилие в стержне 9 легко находится, если составить уравнение суммы моментов всех сил относительно точки D:
Усилие в стержне 3 легко находится из уравнения суммы проекций всех сил на ось Oy:
И, наконец, усилие в стержне 6 найдем из уравнения суммы проекций всех сил на ось Ox:
Сравним полученные результаты с теми, что были получены в математическом пакете MathCAD:
Графики зависимостей усилий стержней от угла 
для всех ферм представлены в приложении. Выводы об оптимальном выборе набора опор для ферм сделаны в конце работы (см. стр. 27).
4. Расчет плоской сложной конструкции 1
Конструкция состоит из балки ВС, на левом конце которой имеется стержень В, а справа она соединена с помощью шарнира с другой балкой - АС. К балке ВС приложена сила F под углом 
к этой балке. Кроме того, к балке AC приложена линейная нагрузка с максимальной интенсивностью 
(рисунок 12). Определить реакции стержня B и шарнира С, если F=1 кН, 
, b=0.8 м, a=0.7 м, 
.
Составим расчетную схему, освободившись от опор и заменив их соответствующими реакциями связей (рисунок 13). Для определения реакции шарнира С необходимо расчленить конструкцию. Чтобы оптимальным способом определить искомые реакции, необходимо, чтобы в уравнениях отсутствовали реакции связей жесткой заделки А. Поэтому выберем часть конструкции, показанную на рисунке 14.
Поскольку нам неизвестно направление реакции шарнира С, разобьем её на две взаимно перпендикулярные составляющие: горизонтальную - 
и вертикальную - 
. Реакция стержня В направлена по этому стержню. Заменим линейную нагрузку равнодействующей: 
. Она приложена на расстоянии 
от точки С.
Составим уравнения равновесия для этой части конструкции
(10)
(11)
(12)
Из уравнения (12) найдем
Из уравнения (11):
Из уравнения (10):
Реакцию шарнира 
найдем из соотношения:
Таким образом
Реакции связей 
получены с отрицательным знаком, то есть их направления противоположны тем, что показаны на рисунке.
5. Расчет плоской сложной конструкции 2
Рассматриваемая конструкция (рисунок 15) состоит из балки ВС, которая соединена с другой балкой – АD с помощью шарнира С. К балке AD прикреплен груз P. К балке ВС приложена линейная нагрузка с максимальной интенсивностью 
. Определить реакции шарнира С и вертикальную составляющую реакции связи в точке B, если P=1 кН, 
, a=0.7 м, r=0.4 м.
Составим расчетную схему, освободившись от опор и заменив их соответствующими реакциями связей (рисунок 16). Для определения реакции шарнира С необходимо расчленить конструкцию. Сначала рассмотрим равновесие той части, которая показана на рисунке 17. Покажем все активные силы:
- соответственно, горизонтальная и вертикальная составляющие реакции шарнира С.
- соответственно, горизонтальная и вертикальная составляющие реакции шарнира B.
- сила натяжения нити.
Найдем точку пересечения линий действий сил и 
. Она показана на рисунке 17. Найдем сумму моментов всех сил относительно этой точки и приравняем её к нулю:
(13)
Легко заметить, что больше нельзя составить уравнений равновесия, которые не содержали бы неизвестные реакции, определять которые не требуется. Значит необходимо рассмотреть другие части конструкции.
Рассмотрим, например, ту часть, которая изображена на рисунке 18. При этом необходимо учесть, что составляющие реакции шарнира С нужно направить в противоположные стороны, однако, по модулю оставить равными, т.е. 
. Шарнирную опору А заменим двумя взаимно перпендикулярными составляющими 
.
Конструкция находится в состоянии равновесия, значит сумма моментов всех сил, вычисленных относительно любой точки, равна нулю, например, относительно точки А:
(14)
Итак, для трех неизвестных реакций мы составили два уравнения равновесия. Необходимо составить ещё одно уравнение. Вернемся вновь к схеме, изображенной на рисунке 17. «Разрежем» балку ВС в том месте, где к ней прикреплена нить и отбросим правую часть с линейной нагрузкой и шарнирной опорой В. Отброшенную часть заменим силой 
, линия действия которой совпадает с балкой ВС. Найдем точку пересечения линий действий сил и 
. Она показана на рисунке 19. Третье уравнение равновесия для нахождения неизвестных реакций будет иметь вид:
(15)
Таким образом, имеем:
Из уравнения (15) выразим 
:
(16)
Из уравнения (14) выразим 
:
(17)
Подставим 
и в уравнение (13). После всех преобразований получим:
(18)
Из (18) найдем 
:
Из уравнения (17):
Из уравнения (16):
Реакцию шарнира С найдем из соотношения:
6. Расчет плоской сложной конструкции 3
Расчет данной конструкции проведем с помощью математического пакета MathCAD. Исходная схема представлена на рисунке 20. Данная конструкция состоит из двух частей. Для каждой можно составить по 3 уравнения равновесия, итого, 6 уравнений равновесия. Число неизвестных реакций тоже 6:
- реакции жесткой заделки А,
- реакции шарнирной опоры В,
- усилие в стержне С.
Составив уравнения для каждой части конструкции, запишем коэффициенты при неизвестных реакциях в матрицу A. Все известные величины запишем в матрицу-столбец B. Тогда матрица-столбец Х из неизвестных реакций будет вычисляться по формуле:
Ниже представлено решение, полученное в MathCAD’е:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При составлении уравнений, направление усилия в стержне С было выбрано в предположении, что он растянут. Но в результате реакция стержня получилась с отрицательным знаком, то есть стержень С сжат.
7. Расчет плоской сложной конструкции 4
Расчет данной конструкции также проведем с помощью математического пакета MathCAD. Исходная схема представлена на рисунке 21. Данная конструкция состоит из трех частей. Для каждой можно составить по 3 уравнения равновесия, итого, 9 уравнений равновесия. Число неизвестных реакций тоже 9:
- реакции жесткой заделки А,
- реакции шарнирной опоры В,
- реакции шарнирного соединения С,
- реакции шарнирного соединения D.
Составив уравнения для каждой части конструкции, запишем коэффициенты при неизвестных реакциях в матрицу A. Все известные величины запишем в матрицу-столбец B. Тогда матрица-столбец Х из неизвестных реакций будет вычисляться по формуле:
Ниже представлено решение, полученное в MathCAD’е:
8. Расчет пространственной конструкции
Исходная схема конструкции представлена на рисунке 22. Проанализировав ее, приходим к выводу, что для того, чтобы данная конструкция находилась в состоянии равновесия необходимо и достаточно, чтобы выполнялось 5 условий: сумма проекций всех сил на оси Ox, Oy равнялась нулю, и сумма моментов всех относительно всех координатных осей равнялась нулю. Это вытекает из того, что все силы параллельны плоскости xOz, т.е. проекции всех сил на ось Оу равны 0. Ниже представлено решение, полученное в математическом пакете MathCAD:
Главный вектор пространственной системы сил:
Главный момент пространственной системы сил:
Матрица коэффициентов при неизвестных реакциях
Матрица, содержащая известные силы:
Выводы
При расчете ферм необходимо было выбрать оптимальное значение угла 
, при котором опорные реакции были бы наименьшими. Для этого с помощью средств MathCAD были построены графики, на которых представлены зависимости модулей неизвестных сил от угла 
. С помощью опции «Trace» были оценены значения модулей опорных реакций и был выбран искомый угол.
После расчетов, оценивая полученные результаты, приходим к выводу, что самым оптимальным будет набор опор, соответствующий ферме 3 с углом 
(рисунок 9).
12 – реакция стержня А, 13 – реакция стержня В, 14 – реакция стержня С.
Список литературы
1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) – М.: Наука, 2000.
2. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т.1 (Кинематика, статика, динамика точки) – М.: Наука, 1977.
3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике под редакцией А.А. Яблонского. – М.: Высшая школа, 1983.
4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1990.
Приложения
Ферма 1.
Ферма 2.
Ферма 3.