Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
СОДЕРЖАНИЕ: В.Кинетические Свойства § 6. Кинетическое уравнение Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс.В.Кинетические Свойства
§ 6. Кинетическое уравнение
Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.
Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk (r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.
Посмотрим теперь, какими способами функция fk (r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:
1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t vk . Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t vk в момент времени 0:
fk (r, t ) = fk (r – t vk , 0). (35)
Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть
¶fk /¶t ]diff = – vk ¶fk /¶r = – vk fk . (36)
2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству
(37)
Величину 
можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем
(38)
следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью
(39)
(мы использовали здесь обозначение ¶fk /¶k для градиента в k-пространстве — оператора k ).
3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью
¶fk /¶t ]scatt = { fk (1 – fk ) – fk (l – fk )}Q(k, k) dk. (40)
Процесс рассеяния из состояния k в состояние k приводит к уменьшению fk . Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk ) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k в k, который ведет к увеличению функции fk ; он пропорционален величине fk (1 – fk ). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k. Для каждой пары значений k и k существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.
Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk (r) равна нулю, т. е.
¶fk /¶t ]scatt + ¶fk /¶t ]field + ¶fk /¶t ]diff = 0. (41)
Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f0 k , оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.
Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим
gk = fk – f0 k . (42)
где
f0 k = 1/{exp[(E k – z)/kT] + 1} (43)
Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0 k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим
gk(r)=fk (r) – f0 k {3T(r)}. (44)
Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например
gk (r)dk = 0. (45)
Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем
– vk ¶fk /¶r – e /(E + 1/c[vk H]) ¶fk /¶k = – ¶fk /¶t]scatt , (46)
или
– vk ¶fk /¶T T – e /(E + 1/c[vk H]) ¶ f0 k /¶k = – ¶fk /¶t]scatt + vk ¶gk /¶r + e /(E + 1/c[vk H]) ¶gk /¶k. (47)
С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде
(¶f0 /¶E)vk {( E (k) – z) / TT + e (E – 1/ez)} = – ¶fk /¶t]scatt + vk ¶gk /¶r + e /c[vk H] ¶gk /¶k. (48)
Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E¶gk /¶k) порядка E2 , соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk [vk H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.
Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk
(r) к функции распределения. Функция gk
(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.
§ 7. Электропроводность
Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем
(– ¶f0 /¶E)vk eE = – (¶f0 /¶t)]scatt = (fk – fk )Q(k,k)dk= (gk – gk )Q(k,k)dk (49)
Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk .
Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:
– ¶fk /¶t]scatt = gk /t (50)
Тем самым мы вводим время релаксации t. При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону
– ¶gk /¶t = gk /t, (51)
или
gk (t) = gk (0)e – t / t . (52)
Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим
gk = (– ¶f0 /¶E) tvk eE (53)
Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока
(54)
Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что
f0 k evk (r)dk 0,
использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.
В металле функция (– ¶f0 /¶E) ведет себя как d-функция от (E – z), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,
(55)
Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой
J = sE, (56)
где s – тензор. Получим
(57)
Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть
(vk vk E) = v2 x E, (58)
что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2
E.
Поэтому
(59)
где мы ввели длину свободного пробега
L = tv. (60)
Это есть основная формула для электропроводности.
Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения fk , заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk велика только вблизи поверхности Ферми.
Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми.
Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk eE0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.
Фактически по теореме Тейлора можно написать
(61)
Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (et/)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.
Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости t). Эта же формула справедлива при T = 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми.
Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде
fk = f0 (Ek + etvk E), (62)
как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина
dEk = etvk E. (63)
Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение интервала времени t. Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости dv в направлении поля; именно
dv(¶E/¶v) = evEt, (64)
или для классической частицы массы m
dv(¶E/¶v) = evEt / mv. (65)
Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна
J = nedv, (66)
и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим
s = ne2 t/m. (7.33)
Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.
Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi.
С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут
s = n|е|m (68)
где
m = |e|t/m (69)
есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством
s = nh |е| mh + ne |е| me . (70)
Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f° классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время релаксации t может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его среднее значение
(71)
где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,
me = |e|te /me (7.38)
где те — эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение t (EF ).