Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

СОДЕРЖАНИЕ: В.Кинетические Свойства § 6. Кинетическое уравнение Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс.

В.Кинетические Свойства

§ 6. Кинетическое уравнение

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk (r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция fk (r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t vk . Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t vk в момент времени 0:

fk (r, t ) = fk (r – t vk , 0). (35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть

¶fkt ]diff = – vk ¶fk /¶r = – vk fk . (36)

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству

(37)

Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)

следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью

(39)

(мы использовали здесь обозначение ¶fk /¶k для градиента в k-пространстве — оператора k ).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью

¶fkt ]scatt = { fk (1 – fk ) – fk (l – fk )}Q(k, k) dk. (40)

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k приводит к уменьшению fk . Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk ) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k в k, который ведет к увеличению функции fk ; он пропорционален величине fk (1 – fk ). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k. Для каждой пары значений k и k существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk (r) равна нулю, т. е.

¶fkt ]scatt + ¶fkt ]field + ¶fkt ]diff = 0. (41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f0 k , оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим

gk = fk – f0 k . (42)


где

f0 k = 1/{exp[(E k – z)/kT] + 1} (43)

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0 k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим

gk(r)=fk (r) – f0 k {3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например

gk (r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

– vk ¶fk /¶r – e /(E + 1/c[vk H]) ¶fk /¶k = – ¶fk /¶t]scatt , (46)

или

– vk ¶fk /¶T T – e /(E + 1/c[vk H]) ¶ f0 k /¶k = – ¶fk /¶t]scatt + vk ¶gk /¶r + e /(E + 1/c[vk H]) ¶gk /¶k. (47)

С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

(¶f0 /¶E)vk {( E (k) – z) / TT + e (E – 1/ez)} = – ¶fk /¶t]scatt + vk ¶gk /¶r + e /c[vk H] ¶gk /¶k. (48)

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E¶gk /¶k) порядка E2 , соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk [vk H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk (r) к функции распределения. Функция gk (r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.

§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем

(– ¶f0 /¶E)vk eE = – (¶f0 /¶t)]scatt = (fk – fk )Q(k,k)dk= (gk – gk )Q(k,k)dk (49)

Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk .

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:

– ¶fk /¶t]scatt = gk /t (50)

Тем самым мы вводим время релаксации t. При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону

– ¶gk /¶t = gk /t, (51)

или

gk (t) = gk (0)e – t / t . (52)

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

gk = (– ¶f0 /¶E) tvk eE (53)

Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

(54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

f0 k evk (r)dk 0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– ¶f0 /¶E) ведет себя как d-функция от (E – z), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J = sE, (56)


где s – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть

(vk vk E) = v2 x E, (58)


что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2 E. Поэтому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

L = tv. (60)

Это есть основная формула для электропроводности.

Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения fk , заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk велика только вблизи поверхности Ферми.

Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk eE0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.

Фактически по теореме Тейлора можно написать

(61)

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (et/)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.

Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости t). Эта же формула справедлива при T = 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми.

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

fk = f0 (Ek + etvk E), (62)

как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

dEk = etvk E. (63)

Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение интервала времени t. Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости dv в направлении поля; именно

dv(¶E/¶v) = evEt, (64)


или для классической частицы массы m

dv(¶E/¶v) = evEt / mv. (65)

Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

J = nedv, (66)

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

s = ne2 t/m. (7.33)

Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.

Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi.

С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут

s = n|е|m (68)


где

m = |e|t/m (69)

есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством

s = nh |е| mh + ne |е| me . (70)

Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f° классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время релаксации t может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его среднее значение

(71)

где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,

me = |e|te /me (7.38)

где те эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение t (EF ).

Скачать архив с текстом документа