Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
СОДЕРЖАНИЕ: Характеристика и использование итерационных методов для решения систем алгебраических уравнений, способы формирования уравнений. Методы последовательных приближений, Гаусса-Зейделя, обращения и триангуляции матрицы, Халецкого, квадратного корня.Реферат з курсу “ Введение в численные методы ”
Тема: “ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ”
Содержание
1. Метод последовательных приближений
2. Метод Гаусса-Зейделя
3. Метод обращения матрицы
4. Триангуляция матрицы
5. Метод Халецкого
6. Метод квадратного корня
Литература
1. Метод последовательных приближений
Наиболее распространенными методами применительно к большим системам являются итерационные методы, использующие разложение матрицы на сумму матриц, и итерационные методы, использующие факторизацию матрицы, т.е. представление в виде произведения матриц.
Простая итерация
: уравнение 
приводится к виду 
, например, следующим образом:
,
где 
и 
содержат произвольную матрицу коэффициентов, по возможности желательно близкую к 
.
Если выбрать A=H+Q
так, чтобы у положительно определенной H
легко находилась 
, тогда исходная система приводится к следующему удобному для итераций виду:
.
В этом случае, при симметричной матрице A
и положительно определенной Q
итерационный процесс сходится при любом начальном 
.
Если взять H
в виде диагональной матрицы D= 
, в которой лишь на главной диагонали расположены ненулевые компоненты, то этот частный случай называется итерационным методом Якоби
.
2. Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя отличается тем, что исходная матрица представляется суммой трех матриц:
.
Подстановка в и несложные эквивалентные преобразования приводят к следующей итерационной процедуре:
.
Различают две модификации: одновременную подстановку и последовательную. В первой модификации очередная подстановка выполняется тогда, когда будут вычислены все компоненты нового вектора. Во второй модификации очередная подстановка вектора выполняется в тот момент, когда будет вычислена очередная компонента текущего вектора. В векторно-матричной форме записи последовательная подстановка метода Гаусса-Зейделя выглядит так:
.
Вторая форма требует существенно меньшее число итераций.
3. Метод обращения матрицы
Эквивалентные преобразования матрицы в произведение более простых, приводящих к решению или облегчающих его получение, начнем с рассмотрения метода обращения матрицы. Так как в общем виде решение системы представляется через обратную матрицу в виде 
, то предположим, что
,
тогда, умножив справа равенство на матрицу A , получим
.
Отсюда можно сделать вывод, что матрицы 
должны последовательно сводить матрицу A
к единичной. Если преобразующую матрицу выбрать так, чтобы только один ее столбец отличался от единичных векторов-столбцов, т.е. 
, то вектор-столбец 
можно сформировать таким, чтобы при умножении на текущую преобразуемую матрицу 
в последней i-
тый столбец превратился в единичный 
. Для этого берут
и тогда 
.
Фактически это матричное произведение преобразует все компоненты промежуточной матрицы по формулам, применяемым в методе исключения Гаусса. Особенность этого процесса заключается в том, что диагональные элементы исходной и всех промежуточных матриц не должны быть нулевыми.
Кроме обратной матрицы, равной произведению всех T -матриц, теперь можно получать и решения уравнений для любого вектора в правой части.
4. Триангуляция матрицы
Разложение исходной матрицы на произведение двух треугольных матриц (триангуляция матрицы ) не является однозначной. В соответствии с этим имеется несколько различных методов, привлекательных с той или иной стороны.
Сам способ формирования уравнений или формул для вычисления элементов треугольных матриц в различных методах практически одинаков: это метод неопределенных коэффициентов .
Различия возникают на стадии выбора условий разрешения полученных уравнений. Пусть
,
где 
–
нижняя треугольная матрица,
–
верхняя треугольная матрица.
Выполняя перемножения треугольных матриц и приравнивая получающиеся элементы соответствующим элементам исходной матрицы несложно для k- той строки и m- того столбца записать
.
Полученная система состоит из 
уравнений и содержит 
неизвестных коэффициентов. За счет лишних n
неизвестных существует свобода выбора, благодаря которой и имеется разнообразие методов разложения.
5. Метод Халецкого
Если положить 
, то разложение и последующее решение системы из двух векторно-матричных уравнений с треугольными матрицами называется методом Халецкого
.
Элементы треугольных матриц L и U последовательно будут вычисляться по следующим формулам:
Если исходная матрица симметричная, то от треугольных матриц можно потребовать, чтобы они были друг к другу транспонированными, т.е., например, 
и
так, что
. В этом случае элементы треугольных матриц находятся в соотношении 
и, следовательно, число неизвестных уменьшается вдвое. В результате элементы треугольной матрицы могут вычисляться по следующим формулам:
6. Метод квадратного корня
Использование разложения на взаимно транспонированные треугольные матрицы при решении систем алгебраических уравнений называется метод квадратного корня .
Метод разложения на транспонированные треугольные матрицы имеет модификацию, заключающуюся в выделении в произведении диагональной матрицы D
с элементами на диагонали 
.
Таким образом, для исходной матрицы, которая может быть и эрмитовой (симметричной и комплексно сопряженной), разыскивается произведение трех матриц: 
.
Каждое km -тое уравнение, определяется произведением k- того вектора-строки левой треугольной матрицы на диагональную матрицу, умноженную на m -тый столбец правой треугольной матрицы, и имеет вид:
.
Для однозначного разложения, учитывая комплексную сопряженность симметричных элементов треугольных матриц, в первом уравнении (i=
1), имеющем вид 
, полагают 
. В этом случае
.
Аналогично, отделяя знак диагонального элемента диагональной матрицы от его модуля, можно получить формулы для вычисления 
:
Литература
1. Хеннер Е. К., Лапчик М. П., Рагулина М. И. Численные методы. Изд-во: Академия/Academia, 2004. – 384c.
2. Бахвалов И. В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.
3. Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 400c.