Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.
СОДЕРЖАНИЕ: Уравнения Максвелла и уравнение Пуассона применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div.М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла
(28) |
и уравнение Пуассона
(29) |
применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div. Если при решении уравнения Пуассона потенциал найден на отдельных участках, то сшивка осуществляется согласно условиям
(30) |
Теорема Гаусса как математический закон не теряет свой силы при наличии диэлектриков, но для ее практического использования не только плотность заряда , но и должны иметь высокосимметричное распределение. Например, в случае сферической симметрии , как и , должен зависеть только от r.
Интегрирование закона Кулона в системах с диэлектриками является недопустимым, за исключением одной искусственной ситуации. Если = const во всем пространстве (кроме проводников), то в задачах для вакуума просто заменяем 0 на произведение 0. В частности, для точечного заряда .
Реакция диэлектрика на электрическое поле заключается в поляризации диэлектрика - ориентации дипольных моментов его молекул по полю. Количественно этот эффект тем сильнее, чем выше диэлектрическая проницаемость и чем сильнее поле. Поляризованные молекулы сами являются источниками поля, которое накладывается на внешее поле, что осложняет ситуацию даже при простой геометрии.
Задача: Диэлектрический брусок внесен в поле точечного заряда. В какую сторону (качественно) изменится поле на прямой заряд-брусок в сравнении с тем, каким оно было бы при отсутствии бруска?
Решение - Диэлектрический брусок поляризуется в поле - возникает диполь , ориентированный от заряда q, если q0. Поле этого диполя накладывается на поле заряда. Направим ось x от заряда в сторону диполя и введем вектор от диполя в точку, где оценивается поле. Тогда , для xxd и для xxd (xd - координата диполя). По формуле получаем, что поле диполя в любом месте оси x направлено в сторону ее положительного направления. Это означает, что при x0 поле точечного заряда q, существовавшее без диэлектрика, возрастет, а при x0 - уменьшится.
Количественные характеристики поляризации - вектор поляризованности и связанный заряд .
= |
Места локализации связанного заряда:
- там, где есть свободный заряд
- там, где const (диэлектрик неоднороден)
может быть отлична от 0 (т.е. = ):
- там, где есть (например, обкладки конденсатора)
- там, где имеет место разрыв (стык диэлектриков).
Суммарный связанный заряд, проинтегрированный по всему объему тела, равен 0 - иначе тело оказывается изначально заряженным.
Задача. Найти плотность связанного заряда у границы металла с диэлектриком (). Заряд металла .
Ответ: .
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.