Расчет показателей эконометрики

СОДЕРЖАНИЕ: Поля корреляции, характеризующие зависимость ВРП на душу населения от размера инвестиций в основной капитал. Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии. Коэффициент множественной корреляции. Способы оценки параметров структурной модели.

Содержание

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Список используемой литературы

Приложение


Задача 1

По регионам страны изучается зависимость ВРП на душу населения (y тыс. руб.) от инвестиций в основной капитал (x - тыс. руб.):

№ региона 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x, тыс. руб. 9,4 2,5 3,9 4,3 2,1 6,0 6,3 5,2 6,8 8,2
y, тыс. руб. 35,8 22,5 28,3 26,0 18,4 31,8 30,5 29,5 41,5 41,3

Задание

1. Постройте поле корреляции, характеризующее зависимость ВРП на душу населения от размера инвестиций в основной капитал.

2. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии. Дайте интерпретацию коэффициента регрессии и знака при свободном члене уравнения.

3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.

6. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров. Сделайте вывод.

7. С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения ВРП на душу населения в предложении, что инвестиции в основной капитал составят 80% от максимального значения. Сделайте вывод.

Решение

1. Построение поля корреляции производится по исходным данным о парах значений ВРП на душу населения и инвестиций в основной капитал.


2. Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии производится обычным методом наименьших квадратов (МНК).

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным (табл. 1.1) рассчитываем y, x, yx, x2 , y2 .

Таблица 1.1 Расчетная таблица

y x yx x2 y2 Аi
1 35,8 9,4 336,520 88,360 1281,640 41,559 -5,759 16,087
2 22,5 2,5 56,250 6,250 506,250 22,248 0,252 1,122
3 28,3 3,9 110,370 15,210 800,890 26,166 2,134 7,541
4 26,0 4,3 111,800 18,490 676,000 27,285 -1,285 4,944
5 18,4 2,1 38,640 4,410 338,560 21,128 -2,728 14,827
6 31,8 6,0 190,800 36,000 1011,240 32,043 -0,243 0,765
7 30,5 6,3 192,150 39,690 930,250 32,883 -2,383 7,813
8 29,5 5,2 153,400 27,040 870,250 29,804 -0,304 1,032
9 41,5 6,8 282,200 46,240 1722,250 34,282 7,218 17,392
10 41,3 8,2 338,660 67,240 1705,690 38,201 3,099 7,504
Итого 305,6 54,7 1810,790 348,930 9843,020 305,600 0 79,027
Среднее значение 30,56 5,47 181,079 34,893 984,302 - - -
7,098 2,23 - - - - - -
50,381 4,973 - - - - - -

Система нормальных уравнений составит

Используем следующие формулы для нахождения параметров:

= 2,799

305,6 - 2,799*5,47 = 15,251

Уравнение парной линейной регрессии:

= 15,251 + 2,799* x

Величина коэффициента регрессии b = 2,799 означает, что с ростом инвестиций в основной капитал на 1 тыс. руб. доля ВРП на душу населения растет в среднем на 2,80 %-ных пункта.

Знак при свободном члене уравнения положительный, следовательно связь прямая.

3. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

или

где , - средние квадратические отклонения признаков x и y, соответственно

Так как = 2,23, = 7,098, то

= 0,879, что означает тесную прямую связь рассматриваемых признаков

Коэффициент детерминации составит

= 0,773

Вариация результата (y) на 77,3% объясняется вариацией фактора (x). На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 22,7%.

4. Средняя ошибка аппроксимации () находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок

= =7,9%,

(см. последнюю графу расчетной табл. 1.1.).

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных () и фактических (y) данных: среднее отклонение составляет 7,9%.

5. Стандартная ошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:

,

где m – число параметров при переменных x.

В нашем примере стандартная ошибка регрессии

= 3,782

6. Оценку статистической значимости построенное модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для парного линейного уравнения регрессии определяется как

F =

где Сфакт = - факторная, или объясненная регрессия, сумма квадратов; Сост = - остаточная сумма квадратов;

- коэффициент детерминации.

В нашем примере F-критерий Фишера будет равен (см. приложение №1):

F = = 27,233


Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы 1 и 8 и уровне значимости 0,05 составит: 0,05 F1,8 = 5,32, т. е. фактическое значение F(Fфакт = 27,233) превышает табличное (Fтабл = 5,32), и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо. Следовательно гипотеза Н0 отклоняется.

Чтобы оценить значимость отдельных параметров уравнения, надо по каждому из параметров определить его стандартные ошибки: mb и ma .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

mb = =

где S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

ma = .

Для нахождения стандартных ошибок строим расчетную таблицу (см. приложение №1).

Для нашего примера величина стандартной ошибки коэффициента регрессии составила:

mb == 0,536.

Величина стандартной ошибки параметра a составила:


ma = = 3,168

Для оценки существенности коэффициента регрессии и параметра a их величины сравниваются с их стандартными ошибками, т. е. определяются фактические значения t-критерия Стьюдента:

tb =, ta = .

Для нашего примера

tb = = 5,222, ta = = 4,814

Фактические значения t-критерии превосходят табличные значения:

tb =5,222 tтабл = 2,306; ta = 4,814 tтабл = 2,306

Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, т. е. a и b не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Для расчета точечного прогноза подставим в уравнение регрессии заданное значение факторного признака . Если прогнозное значение инвестиций в основной капитал составит:

= 9,4*0,8 = 7,52 тыс. руб

Тогда прогнозное значение ВРП на душу населения составит:

= 15,251 + 2,799* 7,52 = 36,299 тыс. руб.

Доверительный интервал прогноза определяется с вероятностью (0,95) как

,

где tтабл – табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости (1-0,95) и числа степеней свободы (n-2) для парной линейной регрессии; - стандартная ошибка точечного прогноза, которая рассчитывается по формуле:

В нашем примере стандартная ошибка прогноза составила

= 4,116

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

= = 2,306 * 4,116 = 9,491.

Доверительный интервал прогноза


= 36,299 9,491;

min = 36,299 – 9,491 = 26,808 тыс. руб.

m а x = 36,299 + 9,491 = 45,79 тыс. руб.

Выполненный прогноз ВРП на душу населения оказался надежным (р = 1 - = 0,95), но не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D составляет 1,708 раза:

D = m а x / min = 45,79 / 26,808 = 1,708.

Задача 2

Зависимость валовой продукции сельского хозяйства (y – млн. руб.) от валового производства молока (x1 – тыс. руб.) и мяса (x2 – тыс. руб.) на 100 га сельскохозяйственных угодий по 26 районам области характеризуется следующим образом:

= - 2,229 + 0,039* x1 + 0,303* x2 R2 = 0,956.

Матрица парных коэффициентов корреляции и средние значения:

y x1 x2 Среднее
y 1 25,8
x1 0,717 1 364,9
x2 0,930 0,489 1 45,3

Задание

1. Оцените значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделайте выводы.

2. Найдите скорректированный коэффициент множественной корреляции.

3. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте вывод.

4. Найдите частные средние коэффициенты эластичности и корреляции; сделайте выводы.

5. Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки целесообразности включения в модель фактора x2 после фактора x1 , если известно, что = 1350,5.

6. Оцените значимость интервала при факторе x2 через t-критерий Стьюдента и дайте интервальную оценку коэффициента регрессии с вероятностью 0,95.

7. Найдите стандартную ошибку регрессии.

Решение

1. Оценку значимости уравнения регрессии в целом дает F-критерия Фишера:

Fфакт =

где m- число факторных признаков в уравнении регрессии; R – линейный коэффициент множественной корреляции.

В нашем примере F-критерий Фишера составляет

Fфакт = = 249,864

Fтабл = 3,42; = 0,05.


Сравнивая Fтабл и Fфакт , приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу Н0, так как Fтабл = 3,42 Fфакт = 249,864. С вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R2 .

2. Скорректированный коэффициент множественной корреляции находится как корень из скорректированного коэффициента множественной детерминации (R2 скорр ):

Rскор = == = 0,976

3. Линейное уравнение множественной регрессии y от x1 и x2 имеет вид:

4. y = a + b1 *x1 + b2 *x2 .

5. По условию оно нам дано:

= - 2,229 + 0,039* x1 + 0,303* x2

Построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

ty = 1 *tx 1 + 2 *tx 2 .

Расчет -коэффициентов выполним по формулам:

1 = = = 0,345;

2 = = = 0,761.

Получим уравнение

ty = 0,345*tx 1 + 0,761*tx 2 .

6. Для характеристики относительной силы влияния x1 и x2 на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

;

= 0,552%; = 0,532%.

С увеличением валового производства молока x1 на 1% от его среднего уровня валовая продукция сельского хозяйства y возрастает на 0,55% от своего среднего уровня; при повышении валового производства мяса x2 на 1% валовая продукция сельского хозяйства y возрастает на 0,53% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния валового производства молока x1 на валовую продукцию сельского хозяйства y оказалась большей, чем сила влияния валового производства мяса x2 , но правда не намного.

Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формуле:

= = 0,817,

т.е. при закреплении фактора x2 на постоянном уровне корреляция y и x1 оказывается более высокой (0,817 против 0,717);


= = 0,953,

т. е. при закреплении фактора x1 на постоянном уровне влияние фактора x2 на yоказывается более высокой (0,953 против 0,930);

= = - 0,692

7. Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Вариация результата, y Число степеней свободы Сумма квадратов отклонений, S Дисперсия на одну степень свободы, s2 Fфакт

Fтабл

=0,05,

k1 = 2,

k2 = 23
Общая Df = n-1 = 25 35113 - - -

Факторная

- за счет x1

- за счет дополнительногоx2

k1 = m = 2

1

1

33568,028

18051,207

15516,821

16784,014

18051,207

15516,821

249,864

268,728

230,999

3,42

4,28

4,28
Остаточная k2 = n-m-1 = 23 1544,972 67,173 - -

Sобщ = = 1350,5 * 26 = 35113;

Sфакт = = 1350,5 * 26 * 0,956 = 33568,028;

Sфакт x 1 == 1350,5 * 26 * 0,7172 = 18051,207;

Sфакт x 2 = Sфакт - Sфакт x 1 = 33568,028 – 18051,207 = 15516,821;

Sост = = Sобщ - Sфакт = 35113 – 33568,028 = 1544,972;

Fфакт = = = 249,864;


Fфакт x 1 = = = 268,728;

Fчастн x 2 = = = 230,999.

= 16784,014;

= 15516,821;

= 18051,207

Включение в модель фактора x2 после фактора x1 оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т. е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора x2 , так как Fчастн x 2 = 230,999 Fтабл = 4,28.

8. Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимости коэффициента b2 связана с сопоставлением его значения с величиной его случайной ошибки: mb 2 .

Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии линейного уравнения находится по следующей формуле:

= 15,199.

При = 0,05; df = n-m-1 = 26-2-1 = 23; tтабл = 2,07. Сравнивая tтабл и tфакт , приходим к выводу, что так как = 15,199 2,07 = tтабл , коэффициент регрессии b2 является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе.

9. Стандартная ошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:

= = 8,196.

Задача 3

Рассматривается модель вида

где

Сt – расходы на потребление в текущий период,

Сt -1 – расходы на потребление в предыдущий период,

Rt – доход текущего периода,

Rt -1 – доход предыдущего периода,

Yt – инвестиции текущего периода.

Ей соответствует следующая приведенная форма (построена по районам области)

Задание

1. Проведите идентификацию модели.

2. Укажите способы оценки параметров каждого уравнения структурной модели.

3. Найдите структурные коэффициенты каждого уравнения, если известны следующие данные:

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Yt 4 4 6 10 9 8 7 6 8 12 8 16
Сt 14 13 15 20 20 14 16 12 12 21 12 17
Rt -1 15 14 16 22 26 18 18 15 19 28 18 26
Сt -1 12 11 12 15 17 12 14 10 11 20 12 16

Решение

1. Модель имеет три эндогенные Н (Сt , Yt , Rt ). Причем переменная Rt задана тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых двух уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределенные D(Сt -1 , Rt -1 ) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

I уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (Сt , Rt ), отсутствующих предопределенных переменных – 1 (Rt -1 ).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H(1 + 1 = 2) уравнение идентифицируемо.

II уравнение.

Н: эндогенных переменных – 1 (Yt ); переменная Rt в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной Rt -1 .

отсутствующих предопределенных переменных – 1 (Сt -1 ).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 H(1 + 1 1) уравнение сверхидентифицировано.

III уравнение.

Третье уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель сверхидентифицируема по счетному правилу.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

Сt Yt Rt Rt -1 Сt -1
I уравнение -1 0 b11 0 b12
II уравнение 0 -1 b21 -b21 0
III уравнение 1 1 -1 0 0

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 3-1=2.

I уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение Отсутствующие переменные
Yt Rt -1
Второе -1 -b21
Третье 1 0

Определитель матрицы не равен 0 (DetA = -1*0 – (1*-b21 ) 0), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.

II уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение Отсутствующие переменные
Сt Сt -1
Первое -1 b12
Третье 1 0

Определитель матрицы не равен 0 (DetA = -1*0 – (1*b12 ) 0.), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.

2. Первое уравнение идентифицируемое, следовательно, для его решения применяется косвенный метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (МНК):

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Путем алгебраических преобразований переходим от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели и получаем численные оценки структурных параметров.

Для решения второго уравнения, а оно у нас сверхидентифицируемое, применяется – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двушшаговый метод:

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Выявляем эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находим расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

- Обычным МНК определяем параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

3. Найдем структурные коэффициенты первого и второго уравнений на основании исходных данных.

Составим расчетную таблицу (Rt = Ct + Yt ; обозначим dRt = Rt - Rt -1 ).

Таблица 3.1 Расчетная таблица

№ Yt Ct Rt-1 Ct-1 Rt dRt Yt *dRt (dRt )2 (Rt )2 (Ct-1 *Rt Ct *Rt (Ct-1 )2 Ct *Ct-1
1 4 14 15 12 18 3 12 9 324 216 252 144 168
2 4 13 14 11 17 3 12 9 289 187 221 121 143
3 6 15 16 12 21 5 30 25 441 252 315 144 180
4 10 20 22 15 30 8 80 64 900 450 600 225 300
5 9 20 26 17 29 3 27 9 841 493 580 289 340
6 8 14 18 12 22 4 32 16 484 264 308 144 168
7 7 16 18 14 23 5 35 25 529 322 368 196 224
8 6 12 15 10 18 3 18 9 324 180 216 100 120
9 8 12 19 11 20 1 8 1 400 220 240 121 132
10 12 21 28 20 33 5 60 25 1089 660 693 400 420
11 8 12 18 12 20 2 16 4 400 240 240 144 144
12 16 17 26 16 33 7 112 49 1089 528 561 256 272
98 186 235 162 284 49 442 245 7110 4012 4594 2284 2611

Коэффициенты уравнений найдем методом наименьший квадратов:

(решение системы найдено в программе MATLAB)


Таким образом, получена система структурных уравнений

Задача 4

Динамика номинальной среднемесячной заработной платы одного работника области характеризуется следующими данными:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Тыс. руб. 3,2 3,1 3,5 3,5 3,7 4,0 4,1 4,0 4,1 4,2 4,3 5,4

Задание

1. Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.

2. Постройте линейное уравнение тренда. Дайте интерпретацию параметрам.

3. С помощью критерия Дарбина – Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.

4. Дайте интервальный прогноз ожидаемого уровня номинальной заработной платы на январь следующего года.


Решение

1. Коэффициент автокорреляции первого порядка рассчитывается по следующей формуле:

где ;

Для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка составим расчетную таблицу:

Таблица 4.1 Расчетная таблица

t yt yt-1
1 3,2 - - - - - -
2 3,1 3,2 -0,9 2,8 -2,5 7,9 0,8
3 3,5 3,1 -0,5 2,7 -1,3 7,3 0,2
4 3,5 3,5 -0,5 3,1 -1,5 9,7 0,2
5 3,7 3,5 -0,3 3,1 -0,9 9,7 0,1
6 4,0 3,7 0,0 3,3 0,0 11,0 0,0
7 4,1 4,0 0,1 3,6 0,4 13,0 0,0
8 4,0 4,1 0,0 3,7 0,0 13,8 0,0
9 4,1 4,0 0,1 3,6 0,4 13,0 0,0
10 4,2 4,1 0,2 3,7 0,8 13,8 0,0
11 4,3 4,2 0,3 3,8 1,2 14,5 0,1
12 5,4 4,3 1,4 3,9 5,5 15,3 2,0
Итого 47,1 41,7 0,0 37,3 2,1 129 3,4

= 3,991;

= 0,391.

Коэффициент автокорреляции первого порядка равен:

= = 0,1.

Это значение (0,1) свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней, т. е. слабой зависимости между номинальной среднемесячной заработной платы текущего и непосредственно предшествующего месяца.

2. Линейное уравнение трендов имеет вид:

Параметры a и b этой модели определяются обычным МНК. Система нормальных уравнений следующая:


По исходным данным составит расчетную таблицу:

Таблица 4.2 Расчетная таблица

t y yt t2
1 3,2 3,2 1
2 3,1 6,2 4
3 3,5 10,5 9
4 3,5 14 16
5 3,7 18,5 25
6 4 24 36
7 4,1 28,7 49
8 4 32 64
9 4,1 36,9 81
10 4,2 42 100
11 4,3 47,3 121
12 5,4 64,8 144
Итого 78 47,1 328,1 650
Средние 6,5 3,925 27,342 54,167

Система нормальных уравнений составит:

Используем следующие формулы для нахождения параметров:

= 0,153;

= 2,927.

Линейное уравнение трендов

= 2,927 + 0,153* t

Параметр b = 0,153 означает, что с увеличение месяца на 1 месяц номинальная среднемесячная заработная плата увеличивается в среднем на 0,153 тыс. руб.

3. Для оценки существенности автокорреляции остатков используют критерий Дарбина – Уотсона:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка может определятся как:

Для каждого момента (периода) времени t = 1 : n значение компонента определяется как

Составим расчетную таблицу

Таблица 4.3 Расчетная таблица

t y
1 3,2 3,080 0,120 - - - 0,014 - -
2 3,1 3,233 -0,133 0,120 -0,253 0,064 0,018 0,018 -0,016
3 3,5 3,386 0,114 -0,133 0,247 0,061 0,013 0,013 -0,015
4 3,5 3,539 -0,039 0,114 -0,153 0,023 0,002 0,002 -0,004
5 3,7 3,692 0,008 -0,039 0,047 0,002 0,000 0,000 0,000
6 4 3,845 0,155 0,008 0,147 0,022 0,024 0,024 0,001
7 4,1 3,998 0,102 0,155 -0,053 0,003 0,010 0,010 0,016
8 4 4,151 -0,151 0,102 -0,253 0,064 0,023 0,023 -0,015
9 4,1 4,304 -0,204 -0,151 -0,053 0,003 0,042 0,042 0,031
10 4,2 4,457 -0,257 -0,204 -0,053 0,003 0,066 0,066 0,052
11 4,3 4,610 -0,310 -0,257 -0,053 0,003 0,096 0,096 0,080
12 5,4 4,763 0,637 -0,310 0,947 0,897 0,406 0,406 -0,197
1,145 0,714 0,7 -0,067

Критерий Дарбина – Уотсона равен = 1,604.

Коэффициент автокорреляции равен = - 0,096.

Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. При n = 12 месяцев и m = 1 (число факторов) нижнее значение d’ равно 0,97, а верхнее – 1,33. Фактическое значение d=1,604 d’ =1,33, следовательно, автокорреляция остатков отсутствует.

Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, сравним фактическое значение d с (4-dL ) и (4-dU ):

4-dL 4-dU
1,604 3,03 2,67

Из таблицы видно, что в обоих случаях фактическое значение меньше сравниваемых. Это означает отсутствие в остатках автокорреляции.

Так же принято считать, что если фактическое значение d близко к 2, то автокорреляции остатков нет. В нашем примере это совпадает.

4. В соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда, каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста. Тогда:

а) Точечный прогноз составит:

Точечный прогноз по уравнению тренда – это расчетное значение переменной , полученное путем подстановки в уравнение тренда значений

(n – длина динамического ряда, l – период упреждения).

= 2,927 + 0,153* (12 + 1) = 4,916 (тыс. руб.)

ожидаемый уровень номинальной заработной платы на январь следующего года.

б) Интервальный прогноз составит:

Доверительный интервал прогноза определяется с вероятностью 0,95, как:

;

где, tтабл =2,2281 - табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы (n– 2 = 12 – 2 = 10); - стандартная ошибка точечного прогноза, которая рассчитывается по формуле:

Данные необходимые для расчета представим в таблице.

Таблица 4.4 Расчетная таблица

t y 2 2 2
1 1 3,2 3,080 2 -4,5 20,25 0,120 0,014 -5,5 30,25
2 2 3,1 3,233 3 -3,5 12,25 -0,133 0,018 -4,5 20,25
3 3 3,5 3,386 4 -2,5 6,25 0,114 0,013 -3,5 12,25
4 4 3,5 3,539 5 -1,5 2,25 -0,039 0,002 -2,5 6,25
5 5 3,7 3,692 6 -0,5 0,25 0,008 0,000 -1,5 2,25
6 6 4 3,845 7 0,5 0,25 0,155 0,024 -0,5 0,25
7 7 4,1 3,998 8 1,5 2,25 0,102 0,010 0,5 0,25
8 8 4 4,151 9 2,5 6,25 -0,151 0,023 1,5 2,25
9 9 4,1 4,304 10 3,5 12,25 -0,204 0,042 2,5 6,25
10 10 4,2 4,457 11 4,5 20,25 -0,257 0,066 3,5 12,25
11 11 4,3 4,610 12 5,5 30,25 -0,310 0,096 4,5 20,25
12 12 5,4 4,763 13 6,5 42,25 0,637 0,406 5,5 30,25
78 47,1 47,058 0,042 0,714 143
Сред 6,5

= 0,714 - остаточная сумма квадратов.

= 0,267 – среднее квадратическое отклонение остаточной суммы квадратов

= 0,313

Таким образом, прогнозируемый уровень номинальной заработной платы на январь следующего года составит

= 4,916 ± 2,2281*0,313 = 4,916 ± 0,697 тыс. руб.

Выполненный прогноз уровня номинальной заработной платы на январь следующего года оказался надежным (р = 1 - = 0,95), и не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D составляет 1,33 раза

D = m а x / min = 5,613 / 4,219 = 1,33.

Задача 5

Динамика численности незанятых граждан и объема платных услуг населению в регионе характеризуется следующими данными

Месяц Число незанятых граждан тыс.чел .,x1 Объем платных услуг населению млрд.руб., y1
Январь 44,0 6,5
Февраль 45,5 7,0
Март 47,9 7,0
Апрель 48,3 7,4
Май 49,1 7,5
Июнь 49,9 7,2
Июль 50,5 7,5
Август 51,9 7,9
Сентябрь 52,3 8,2
Октябрь 52,3 8,5
Ноябрь 53,5 8,9
Декабрь 54,7 9,2

В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициент детерминации(t=112):

А) для объема платных услуг населению

1 =6,3061+0,2196t,R2 =0,9259

Б) для численности незанятых граждан

х1 =43,724+0,8937t , R2 =0,989

Задание

1. Дайте интерпретацию параметров уровней трендов.

2. Определите коэффициент корреляции между временными рядами, используя:

А) непосредственно исходные уровни

Б)о тклонения от основной тенденции

3). Сделайте вывод о тесноте связи между временными рядами.

4). Постройте вывод о тесноте связи между временными рядами. Дайте интерпретацию параметров уравнения.


Решение

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного тренда. Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;

b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Для исходной задачи начальный уровень ряда для выпуска товаров соответствует значению 6,3061 млрд. руб., средний за период абсолютный прирост уровней ряда составляет 0,2196 млрд. руб. Параметр b 0, значит уровни ряда равномерно возрастают на 0,2196 млрд. руб. каждый год.

Для числа незанятых граждан тыс,чел коэффициент а - начальный уровень ряда соответствует значению 43,724 тыс. чел.; абсолютное ускорение увеличения среднесписочной численности работников соответствует 0,8937.

Рассчитаем коэффициент корреляции между временными рядами, используя непосредственно исходные уровни. Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Определяем его по формуле

rxy =

Расчет параметров коэффициента корреляции

№ X Y X x·y y
1. 1 2 3 4 5 6 7
1. 44 6,5 1936 286 42,25 15,96 78,9
2. 45,5 7 2070,25 318,5 49 16,2979 80,1
3. 46,8 7 2190,24 327,6 49 16,82494 82,08
4. 47,9 7,4 2294,41 354,46 54,76 17,08846 82,34
5. 48,8 7,5 2381,44 48,8 56,25 17,2644 82,98
6. 49,1 7,2 2410,81 353,52 51,84 17,25 83,62
7. 49,9 7,5 2490,01 374,25 56,25 17,3959 84,1
8. 50,5 7,9 2550,25 50,5 62,41 17,70334 85,22
9. 51,9 8,2 2693,61 425,58 67,24 17,79118 85,54
10 52,3 8,5 2735,29 444,55 72,25 17,79118 85,85
11 53,5 8,9 2862,25 476,15 79,21 18,0547 86,3
12 54,7 9,2 2992,09 503,24 84,64 18,31822 87,46
594,9 92,8 29606,65 3963,15 725,1 207,7402 1011,49
ср.знач 49,575 7,733333 2467,221 330,2625 60,425 17,31169 83,7075

sх = = = 3,08;

sу = = =0,821.

rxy = = -20,7110 - связь слабая, прямая.

При измерении корреляции между двумя временными рядами следует учитывать возможное существование ложной корреляции, что связано с наличием во временных рядах тенденции, т.е. зависимости обоих рядов от общего фактора времени. Для того чтобы устранить ложную корреляцию, следует коррелировать не сами уровни временных рядов, а их последовательные (первые или вторые) разности или отклонения от трендов (если последние не содержат тенденции).

Таким образом между временными рядами существует прямая слабая взаимосвязь.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

= a + b*x

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b.

,

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы

а = ;

b = = = 0,008;

а = 0,00286 – 0,701*0 = 7,334

Уравнение регрессии по отклонениям от трендов:

= 7,334+ 0,008*х


Список используемой литературы

1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.

2. Эконометрика: Учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.

3. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю. Эконометрика Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. - М., 2004. - 69 с.

4. Эконометрия - УП – Суслов – Ибрагимов – Талышева - Цыплаков - 2005 – 744 с.


Приложение №1

Таблица 1.2 Расчетная таблица

y x ()2 ()2 ()2 ()2
1 35,8 9,4 5,240 27,458 41,559 10,999 120,978 -5,759 33,166 3,930 15,445
2 22,5 2,5 -8,060 64,964 22,248 -8,312 69,089 0,252 0,064 -2,970 8,821
3 28,3 3,9 -2,260 5,108 26,166 -4,394 19,307 2,134 4,554 -1,570 2,465
4 26,0 4,3 -4,560 20,794 27,285 -3,275 10,726 -1,285 1,651 -1,170 1,369
5 18,4 2,1 -12,160 147,866 21,128 -9,432 88,963 -2,728 7,442 -3,370 11,357
6 31,8 6,0 1,240 1,538 32,043 1,483 2,199 -0,243 0,059 0,530 0,281
7 30,5 6,3 -0,060 0,004 32,883 2,323 5,396 -2,383 5,679 0,830 0,689
8 29,5 5,2 -1,060 1,124 29,804 -0,756 0,572 -0,304 0,092 -0,270 0,073
9 41,5 6,8 10,940 119,684 34,282 3,722 13,853 7,218 52,100 1,330 1,769
10 41,3 8,2 10,740 115,348 38,201 7,641 58,385 3,099 9,604 2,730 7,453
305,6 54,7 0,000 503,884 305,600 -0,001 389,468 0 114,411 0 49,722
Сред. знач. 30,56 5,47 - - - - - - - - -

Приложение 2.

Таблица значений F-критерия Фишера (двусторонний)

d.f.2 = n - k - 1) степени свободы остаточной дисперсии степени свободы факторной дисперсии – d.f.1 = k
k=1 k=2 k=3 k=4
Уровень значимости,
0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01
1 39,9 161,5 4052 49,5 199,5 5000 53,6 215,72 5403 55,8 224,57 5625
2 8,5 18,5 98,5 9,0 19,0 99,00 9,2 19,16 99,2 19,2 19,25 99,30
3 5,54 10,13 34,1 5,46 9,6 30,82 5,39 9,28 29,5 5,34 9,12 28,71
4 4,54 7,71 21,2 4,32 6,9 18,00 4,19 6,59 16,7 4,11 6,39 15,98
5 4,06 6,61 16,3 3,78 5,79 13,27 3,62 5,41 12,1 3,52 5,19 11,39
6 3,78 5,99 13,8 3,46 5,14 10,92 3,29 4,76 9,8 3,18 4,53 9,15
7 3,59 5,59 12,3 3,26 4,74 9,55 3,07 4,35 8,5 2,96 4,12 7,85
8 3,46 5,32 11,3 3,11 4,46 8,65 2,92 4,07 7,6 2,81 3,84 7,01
9 3,36 5,12 10,6 3,01 4,26 8,02 2,81 3,86 7,0 2,69 3,63 6,42
10 3,29 4,96 10,0 2,92 4,10 7,56 2,73 3,71 6,6 2,61 3,48 5,99
11 3,23 4,84 9,7 2,86 3,98 7,20 2,66 3,59 6,2 2,54 3,36 5,67
12 3,18 4,75 9,3 2,81 3,88 6,93 2,61 3,49 6,0 2,48 3,26 5,41
13 3,14 4,67 9,1 2,76 3,80 6,70 2,56 3,41 5,7 2,43 3,18 5,20
14 3,10 4,60 8,9 2,73 3,74 6,51 2,52 3,34 5,6 2,39 3,11 5,03
15 3,07 4,54 8,7 2,70 3,68 6,36 2,49 3,29 5,4 2,36 3,06 4,89
16 3,05 4,49 8,5 2,67 3,63 6,23 2,46 3,24 5,3 2,33 3,01 4,77
17 3,03 4,45 8,4 2,64 3,59 6,11 2,44 3,20 5,2 2,31 2,96 4,67
18 3,01 4,41 8,3 2,62 3,55 6,01 2,42 3,16 5,1 2,29 2,93 4,58
19 2,99 4,38 8,2 2,61 3,52 5,93 2,40 3,13 5,0 2,27 2,90 4,50
20 2,97 4,35 7,9 2,59 3,49 5,72 2,38 3,10 4,9 2,25 2,87 4,31
21 … 4,32 8,0 … 3,47 5,78 … 3,07 4,9 … 2,84 4,37
22 2,95 4,30 7,9 2,56 3,44 5,72 2,35 3,05 4,8 2,22 2,82 4,31
23 … 4,28 7,9 … 3,42 5,66 … 3,03 4,8 … 2,80 4,26
24 2,93 4,26 7,8 2,54 3,40 5,61 2,33 3,01 4,7 2,19 2,78 4,22
25 … 4,24 7,8 … 3,38 5,57 … 2,99 4,7 … 2,76 4,18
26 2,91 4,22 7,7 25,2 3,37 5,53 2,31 2,98 4,6 2,17 2,73 4,14
30 2,88 4,17 7,56 2,49 3,32 5,39 2,28 2,92 4,5 2,14 2,69 4,02
40 2,84 4,08 7,31 2,44 3,23 5,18 2,23 2,84 4,3 2,09 2,61 3,83
60 2,79 4,00 7,08 2,39 3,15 4,98 2,18 2,76 4,1 2,04 2,53 3,65
80 2,77 8,96 6,96 2,37 3,11 4,88 2,16 2,72 4,0 2,02 2,48 3,56
100 2,76 3,94 6,90 2,36 3,09 4,82 2,14 2,70 3,98 2,00 2,46 3,51
2,71 3,84 6,63 2,30 3,00 4,61 2,08 2,60 3,78 1,94 2,37 3,32

Шкала атрибутивных оценок тесноты корреляционной зависимости

Значения показателей корреляции () Атрибутивная оценка тесноты выявленной зависимости Значения показателей детерминации, % ()
До 0,3 Слабая До 10
0,3 – 0,5 Умеренная 10 – 25
0,5 – 0,7 Заметная 25 – 50
0,7 – 0,9 Тесная 50 – 80
0,9 и более Весьма тесная 80 и более

Приложение 4

Случайная ошибка коэффициента асимметрии для выборок разного объема

Объём выборки,
4 1,014 0,926
5 0,913 0,866
6 0,845 0,816
7 0,794 0,775
8 0,752 0,739
9 0,717 0,707
10 0,687 0,679
11 0,661 0,655
12 0,637 0,632
13 0,616 0,612
14 0,597 0,594
15 0,580 0,577
16 0,564 0,562
17 0,550 0,548
18 0,536 0,535
19 0,524 0,522
20 0,512 0,511
21 0,501 0,500
22 0,491 0,490
23 0,481 0,480
24 0,472 0,471
25 0,464 0,463

Скачать архив с текстом документа