Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса
СОДЕРЖАНИЕ: Рассмотрим пример сферической системы = (r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, i) и/или точечный заряд qc в центре.М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Рассмотрим пример сферической системы = (r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, i) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, = (r). Согласно теореме Гаусса,
| qinside = 4 r2 Dr = 4 0(r) r2 Er | (31) |
 |
(32) |
 |
(33) |
При наличии только объемного стороннего заряда
 |
(34) |
В точках разрыва (r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент перехода через заряженную сферу) соответствующая производная (r) или qinside(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет:
 |
(35) |
Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо = 0.
Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (1, R1 и 2, R2). Найти Er(r), (r) и , если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью .
Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1rR2: если раньше она была Dr = 0Er, то теперь Dr = 0 Er. Это повлечет за собой некоторые изменения в формулах.
Как и раньше,
| qinside = 4 r2 Dr(r) |
причем
| qinside | = | 0 при rR1 |
| 41R12 при R1rR2 | ||
| 41R12+42R22 при rR2 |
Поле на каждом из участков будет
| Er | = | 0 при rR1 |
 |
||
 |
При вычислении потенциала мы должны вычислить 
. При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:
| (r) | = |  |
| = |  |
|
| (r) | = |  |
| = |  |
|
| (r) | = |  |
| = |  |
В некоторых выражениях для (r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина .
Для нахождения на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер:
 |
, |  |
 |
, |  |
Нулевые значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях rR1 и rR2. Сразу же находим 
и 
(на других поверхностях никакого связанного заряда нет):
|
= |  |
|
= |  |
Легко проверить, что суммарный связанный заряд, то есть 
, равен нулю, как и должно быть.
Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом . Проницаемость шара . Найти Er(r), (r), (r), на краю шара.
Ответ: 
.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.